三角函数典型例题分析

上利用公如asin2a但溯个公式由三角函数的定义1+tanQ1+cota很容易推出，所以不用专门推导和记忆这些公式，这类问题由现有的关系式和方法均可解决.例8证明tan°•sinQtan。+sinQtana-smQtana•sinaMl本题的证明方湃艮多，可由关系式tW二卞馮两边的cosCl叫；nv萨来证叭也可用比较法证明两边的差削或者由左二右或由右二左，因鳩式两边均为角。的三角函数，因此也可用三角函数的定义来证明.【证法_］左边=—rsm-sin*cossina1-cosQ右边二sinCL+$indcosasin2a1+COS(1Ma消去COsCl,祜$赤a+=1,即曲気忙^+机犷。-m*1=o?mJT兀因为-=+2k兀0.•:cosCL=Jl-sir?。-71-m2IECmmVl-m3从而tgd=——=—__厂71-m11_尬当a在第II>m象限时，•••COSaV0,cosCl-从而tg。-1说明(1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况.本题在进行讨论时，为什么以COSa的符号作为分类的

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，而不按Sina的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2.三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述

要求

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：函数种类尽可能地少.次数尽可能地低.项数尽可能地少.尽可能地不含分母.尽可能地将根号中的因式移到根号外面来.化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简.例3化简sin2a•tga+COS2a•Ctga+2sinaCOSa原式=sin2Cl*smacosacosa*cosaH—+2sinCl*cosClsmasin+a+cos4a*261?acos2asin*cosG2sina*cosa=seca•CSCa原式=(sin2a•tga+sina•cosa)+(COS2a•Ctga+SinaCOSa)=tga•(sin2a+COs2a)+Ctga(sin2a+COS?a)=tga+Ctga帅［a+加acosa*sino=seca•CSCa说明（1）在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的.⑵解2中的逆用公式将sina•COSa用tga表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用.例4化简：(-2tgx(0cosx=aa1=1{x|x=2k兀+arccosa,keZ}a1<1&|x=2k兀士arccosa,k乏z}tgx=a{x|x=心+arctga,k亡Z}ctgx=a{x|x=小+arcctga,kz}正弦函数、余弦函数的图象和性质•典型例题分析例1用五点法作下列函数的图象y=2-sinx,x€[0,2n]nit(2)y=cos(z+y)p,描点法作图:02it33122仇u=sinx010-1022电2兀07nT~T2几V5jlT8口T1HTy=cosu104011131XT例2求下列函数的定义域和值域.(ljy二Iganxs(2)y=2jco$取.解(1)要使Igsinx有意义，必须且只须sinx>0,解之,得2knVxV(2k+1)n,k€Z.又T0vsinx<1,•••-Igsinx<0.•••定义域为(2kn,(2k+1)n)(k€Z)，值域为(-^,0].⑵要使2阪东有意义，必须且只须co53x>0,解之；得2kir-^<3x<2k%+?k6Z,2kK~V2kn~vn~6kEz3此时故0<2Vcos3xC2.二定义域为[琴-f,卑^+；](圧2),值域为02].636例3已知函数汗验的定义域是0扌,求下列函数的定义域.(l)f(cos2x)；(2)f(sin2x--^).分祈分别把⑼抵池％斗整体葩看成f(x)的自变量，求出它们的取值范围，进而再利用三角函数线或函数图象，求出x的取值范围解(1)依题意，有0⑵由读者自己完成，其结果为ITJT2JT37T空[k兀+才，kH+y]U[kK+—,kJT+—](k6z)例4求下列函数的最大值与最小值:(2)y=2cosx+Ssinx-4；7T(l)y=2-sin(x-—)f兀2(3)y=3cosJx-4cosx+l?xE[—i二兀].JTJT?JTJT解⑴当x・=~=2k兀+亍，即x=2k开+〒(k€Z)时】sin(x)取最大值1,从而yaii=l.JT兀JTJT当x-—=2kn,即x=2k71-—(k£Z)0^,sin(i〒)取最小244值从而y„=3.22y=2cosx+5sinx-4=-2sinx+5sinx-2=-2伽「护+#sinx€[-1,1],JT•当sinx二丄即x=-y+2k兀紙Z）吋,y有最小值・9兀当sinx-1,即x=—+2kn(k£Z)B^,y有最大值匕(3)y=3cos2x-4cosx+l=3(cosx-TOC\o"1-5"\h\z兀?nii・[$，孑]，coskE[_2,弓（借助単调性即得）12兀15从而当COSX=--,即55=丁时，孑峽二丁*1兀1当COSX=-,>Px=y时，yaih=--・例5求下列函数的值域.(i)y=COSX2cosx+1⑵厂2sin垃•cosax1+sinx屛⑴由萝=COSZ2cosx+1可得(1-2y)coax=y&01)l-2y2■/|cosx|<1二coxx<1即一-—Cl.从而3y2-4y+l>0(1-2y)・'・yC]或故函数yj*i的值域为（-8,1]U[1,+8）2cosx+l3说明上面解法的实质是从已知关系式中，利用|cosx|<1消去X,从而求出y的范围.=2⑷(1曲対二2sinxfl-泗刃=豳.1^4-11+sinx22二函数汁罕士的值域为耳|]1+sinx2例6比较下列各组数的大小.3(l)sm194°与260”,(2)cos-f(3)sin(sin—(anfcos飞一)；二：81sinw7-COS—*4分析化为同名函数，进而利用增减性来比较函数值的大小.解(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°•••0v14°v70°v90°,•••sin14°vsin70°，从而-sin14°>-sin70°，即卩sin194>cos160而y=cosx在［0,n］上是减函数，故由0v1.39v1.47v1.5vn可得cos1.5vcos1.47vcos1.39即cos—0(为什么？)•••(D)为奇函数，应选(D).例9试判断函数f仅)J+wex在下列区间上的奇偶性.+cosx+smxKTV兀兀(1)心L刊(2)xEF—]解(l)Vf(z)=(1+sinx-cosx)(l+cosx-sinx)(1+cosx+sinx)(l+cosk-sinx)二f(P=1-(cosx-sinx)2(1+cosx)3一an2xsin(-x)1+cos(-z)sinx1+cosx“亠兀兀因此，在(-—,可)内.f(-x)=Ssinxcosx2，■21+2cosx+cosx-anx1+cosk71兀二此函数在,三)内是奇函数.TTTT7T⑵由于X二丁吋.f(s)—1,而f(・z)无意义,因此在卜丁I—]-ti函数不具有奇偶性.说明奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视.函数y=Asin(wx+j)的图象•典型例题分析例1已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来2倍•然后把所到的图形沿X轴向左平移y个单位•这样得到的曲线罚弓吹的图象相同，那么，己知函数yg)的解£1Z兀C・f(x)=-an(y+y)17T17TE・f(x)=ysin(2x+—)D.f(x)=-sin(2z-—)分祈对函数y=|sinx的图象作相反的变换，寻求应有的结论.1'TT解把y图像沿曙由向右平移㊁个单位，得到解析式为y二1兀二呛・〒)的函数图象再像它的图象上各点的纵坐标不变‘横坐标91jt缩小到原来的|倍，就得到解析式为y=—sin(2x-可)的函数图象，这个乙£结果与D相同，故选D.TOC\o"1-5"\h\z1兀_⑴函数f(x)=2cos(-x-〒)的増区问为;兀⑵函数f⑵=帅(可心)的増区间为1(3)函数f(x)=lg(sin2x)的增区间为;⑷函数f(x)=|sinx|的增区间为.分析基本方法是转化为y=sinx与y=cosx的单调区间的求法.但既要注意定义域,还要注意复合函数的单调性质的运用.1H解(1)丁比兀+兀+2兀，8兀”/14兀严4k7T+—0,①〉0）xER的图象是先把y=沁图象上所有点向左（QO）或向右（附<）平移创个单位，再把所得点的横坐标缩短（S〉1）或伸长（0<«<1）到原来的丄倍（纵坐标不变），再把（1）所得点的纵坐标伸长（A>1）或缩短（0vAv1）到原来的A倍.（横坐标不变）再将图象上所有点向上b>0或向下bv0平移|b|个单位，同一周T期内最高点与相邻的最低点的自变量的差为-、函数值差的绝对值为2|A|,从而确定解析式y二耘m（①藍+@）+l>.正切函数、余切函数的图象和性质•典型例题分析例1求函数y=tg=-的周期.s兀3JT解T=——223小13兀9兀②驱（・〒），ctg〒例2比较下列各组数的大小tg1,tg2,tg3解(1)ttg2=tg(2-n),tg3=tg(3-n)兀又丁y＜2＜兀兀JT—<3<712ITITJT%显然1亍＜2.兀＜3■兀W㊁，W=tgxS,㊁）内是増函数二tg(2-n)vtg(3-n)vtg1即tg2vtg3v11371JTH(2)Vctg(-^-)=ctg(-2K+—)=ctgy971K兀Qtg(m)=utg(兀+y)=ctgy且o<—<—ctgy9兀(□眄即ctg—>ctg^例1已知ctga=-^f且Q是第二象限的角，求角a的集合.解先求出符合条件缺=¥的锐角a=y在9b-180°之间满足条件的角为孚二所求角集为|d|a二比兀+孚,kfZ|例2已知sin(a+P)-l,求sm(2Cl+B)的值.分析由w(a+3)=1得a+p^2kn+—f圧乙而2。+3二2(a+B)-B=4kn+n-B,k€Z,从而sin(2a+B)与sinB之间的联系被发现.n解因为an(a+P)=lp所以a+p=2k7T+—,圧Z,乙故sin(2a+B)=sin[2(a+B)-B]sin(4kn+n-B)=sin(n-B):门乙-全章小结一、本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念，同角三角函数之间的关系，诱导公式，以及三角函数的图象和性质.二、根据生产实际和进一步学习数学的需要，我们引入了任意大小的正、负角的概念，采用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数的集合R之间建立了这样的一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应•采用弧度制时，弧长公式十分简单：l=|a|r（l为弧长，r为半径，a为圆弧所对圆心角的弧度数），这就使一些与弧长有关的公式（如扇形面积公式等）得到了简化.三、在角的概念推广后，我们定义了任意用的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的六种三角函数•它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数•由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.四、同角三角函数的八个基本关系或是进行三角恒等变换的重要基础，它们在化简三角函数式和证明三角恒等式等问题中要经常用到，必须熟记，并能熟练运用.0°〜90°间角的三角五、掌握了五组诱导公式以后，就可以把任意用的三角函数化成函数.六、利用正弦线、余弦线可以比较精确地作出正弦函数、余弦函数的图象•可以看出，因长度为一个周期的闭区间上有五个点（即函数值最大和最小的点以及函数值为零的点）在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用.咼考真题选讲题1('98)已知点P(sin53兀、fA.—,—I-a-cosa，5兀]tga）在第一象限，则在［0，2n］内a的取值范c.37TsinCl>cc>s<^tgCl>0L分析点P在第一象限，满足A.C.B.D.1273T-cosd>0tgQ>0g7T71」5兀即一