利用导数解决函数零点问题

利用导数解决函数零点问题 x,log,0x,2,fx,1. 已知，关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根，则实数a的，，, x,3,0.x,, 取值范围是( a>1 ) 3,1,,,,aa,2,143,,,3变式: 若 若关于的方程有两个不相hama,，haaa,,,,,3,a，，，，,,,2722,,, 84,3.,,aa,y ,, 等的实数解，求实数的取值范围( m 1,,a O 1,,解:由题意有两个不相等的实数解， hama,，，，,,,,0,,2,,2,, 1,,O 即函数的图像与直线有两个 yma,，ha，，,,2,, k,,1 11,,,,,,0不同的交点(而直线yma,，恒过定点， ,,,,k,,4 22,,,, 由右图知实数的取值范围是( m,,4,1，， a92.已知函数(当时，如果函数仅有一个零点，fxxa()(),，,lnRa,gxfxk()(),,2x，1 k求实数的取值范围; 99a,f(x),lnx，解:当时，，定义域是， (0,，,)22(x，1) 119(2x,1)(x,2),,x,x,2f(x),,,， 令f(x),0，得( 或222x2(x，1)2x(x，1) 11,,0,x,x,2,x,2？当或时，，当时，， f(x),0f(x),022 11(0,)(,2) 函数在、上单调递增，在上单调递减( ？(2,，,)f(x)22 31f(),3,ln2f(2),，ln2的极大值是，极小值是( ？f(x)22 x,，0？当时，; 当x,，,时，， f(x),,,f(x),，, 3k,，ln2k,3,ln2k？当仅有一个零点时，的取值范围是或( g(x)2 1 32f(x),ln(3x，2),x变式.已知函数,若关于的方程在上恰好有f(x),,2x，b[0,1]x2 两个不同实根，求实数b的取值范围。 32ln(3x，2),x，2x,b解:由可得 f(x),,2x，b2 332'g(x),ln(3x，2),x，2xg(x),,3x，2令 , 则， (x,[0,1])3x，22 77'令g(x),0，得 x,或(舍去) x,,33 77？函数在上单调递增，在区间上单调递减， [0,)(,1]g(x)33 71271g(0),ln2,g(1),ln5，()()ln(27) gx,g,，,， max2363 关于的方程在上恰好有两个不同实根， ？f(x),,2x，b[0,1]x 1271[ln5，bln(2，7),，实数的取值范围，) 263 gx，，afxxa,，,(3. 已知函数R, , 若关于的方程,,fxe2)x(egxx,ln，，，，，，2xx 为自然对数的底数)只有一个实数根, 求的值 a gx，，lnxalnx2,，,xe2,,，xexa2解: 由, 得, 化为. ,,fxe2，，22xxxx lnx1ln,x''hx,hx,令, 则. 令, 得. xe,hx,0，，，，，，2xx ''0,,xe当时, ; 当时, . xe,hx,0hx,0，，，， 0,e?函数在区间上单调递增, 在区间上单调递减. hxe,，,，，，，，， 1he,?当时, 函数取得最大值, 其值为. xe,hx，，，，e 222mxxexaxeae,,，,,，,2而函数, ，，，， 2当时, 函数取得最小值, 其值为. xe,mxmeae,,，，，， gx，，1122ae,,ae,，? 当, 即时, 方程,,fxe2只有一个根. ，，2eex 2 32变式:.试讨论关于的方程:根的个数。 x2lnx,x,2ex，tx 2lnx2,x,2ex，tx,0解: 因为 ，所以方程可变为 x 2(1,lnx)2lnx'2L(x),L(x), 令 ，H(x),x,2ex，t 则 2xx 2lnx'L(x), 当 时，L(x),0，在上为增函数 x,(0,e](0,e]x 2lnx'L(x), 当 时，L(x),0，在上为减函数 x,(e,，,)(e,，,)x 2L(x)L(e),, 当时， x,emaxe 2222 又H(x),x,2ex，t,(x,e)，t,e 则有 H(x),t,e min 2222,,,，tete ? 当 ，即 时，方程无解 ee 2222,,,，tete? 当 ，即 时，方程有一个根 ee 2222,,,，tete? 当 ，即 时，方程有两个根 ee 3