4第一类椭圆积分

第一类椭圆积分让椭圆模量满足,雅可比振幅是由。第一类完全椭圆积分定义为(1)第一类椭圆积分的实现Wolfram语言作为EllipticF(φ,m](注意参数的使用而不是模).让(2)(3)(4)方程(1)可以写成(5)(6)让(7)(8)积分也可以写成(9)在哪里是互补的椭圆模量.的逆函数给出的雅可比振幅(10)积分(11)出现在计算一个钟摆的时期,也是一个第一类椭圆积分。使用(12)(13)写(14)(15)(16)所以(17)现在我们(18)因此,角是改变了(19)范围从0到哪一个作为从0到不同。以微分给(20)或(21)堵在了(22)(23)(24)所以(25)(26)稍微不同的替代,所以导致一个等价,但更复杂的达式,涉及一个第一类完全椭圆积分,(27)(28)因此,身份(29)至少在一些地区复平面。该地区的适用性,如上所示。第一类椭圆积分满足(30)特殊的值包括(31)(32)在哪里被称为第一类完全椭圆积分.计算和>特殊功能>椭圆函数>计算和分析>特殊功能>椭圆积分>椭圆模量椭圆模量是一个用于数量椭圆积分和椭圆函数定义为,在那里是参数。一个椭圆积分写当参数使用,而通常是写吗使用椭圆模量。椭圆模量往往是更常用参数(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.337;维特克和华生1990,p.479),尽管大多数阿布拉莫维茨和Stegun(1972年,页587-607),即,整个一章椭圆积分,Wolfram语言的EllipticE,EllipticF,EllipticK,EllipticPi等,使用参数.椭圆模量可以计算显式的雅可比θ的函数零和的论点省通过(1)的真正的期和虚构的期是由(2)(3)在哪里是一个第一类完全椭圆积分和互补的模量定义为(4)与模量。第一类完全椭圆积分第一类完全椭圆积分的一个函数,如上图椭圆模量,被定义为(1)(2)(3)在哪里是不完整的第一类椭圆积分和是超几何函数.它的实现Wolfram语言作为EllipticK[m],在那里是参数.它满足身份(4)在哪里是一个勒让德多项式。这简化了(5)对于所有复杂的值除了可能是真实的与.此外,满足身份(6)在哪里是互补的模量。令人惊讶的是,这降低了漂亮的形式(7)为沃森(1908,1908)。可以计算在封闭形式的特殊值,在那里是一个叫做椭圆积分奇异值。其他特殊值包括(8)(9)(10)(11)(12)满足(13)可能模的问题,它可以来源于方程17.4.17阿布拉莫维茨和Stegun(1972,第593页)。有关雅可比椭圆函数通过(14)在哪里省被定义为(15)与,在那里是互补的模量.满足勒让德关系(16)在哪里和完成第一和椭圆积分第二种分别为,和是互补的积分。模量简洁往往是压抑,所以呢和往往简单地写和,分别。积分模量是由互补(17)(18)和满足的微分方程(19)所以(20)(21)(惠塔克和沃森1990,页499年和521年)。微分方程的解(22)(Zwillinger1997,p.1997;GradshteynRyzhik2000,p.907)(23)上面的两个解决的说明和在哪里.定积分的包括(24)(25)(26)(27)在哪里(不要混淆)是加泰罗尼亚的常数.第二类椭圆积分让椭圆模量满足。(这也可能是书面的参数或模块化的角)。第二类完全椭圆积分定义为(1)第二类椭圆积分的实现Wolfram语言作为EllipticE(φ,m](注意参数的使用而不是模).的第二类完全椭圆积分被定义为(2)将第二类椭圆积分的一个稍微不同的形式,让(3)(4)所以椭圆积分也可以写成(5)(6)一个泛化取代与(1)给出(7)第二类完全椭圆积分的形式可以写成的第一个完全椭圆积分和第二种作为(8)为.参见:模块化的角给定一个椭圆模量在一个椭圆积分模块化的角被定义为。一个椭圆积分写当参数使用,当椭圆模量是使用,当使用模块化的角度。第二类完全椭圆积分第二类完全椭圆积分,说明上面的函数,被定义为(1)(2)(3)(4)在哪里是一个不完整的第二类椭圆积分,是超几何函数,是一个雅可比椭圆函数.它的实现Wolfram语言作为EllipticE[m],在那里是参数.可以计算在封闭形式的和椭圆α函数对于特殊的值,在那里是一个叫做椭圆积分奇异值。其他特殊值包括(5)(6)第二类完全椭圆积分满足勒让德关系(7)在哪里和完成椭圆积分的第一第二种,分别和是互补的积分。的导数是(8)(惠塔克和沃森1990,p.521)。微分方程的解(9)(Zwillinger1997,p.1997;GradshteynRyzhik2000,p.907)给出(10)如果是一个奇异值(即,(11)在哪里是椭圆lambda函数),和椭圆α函数也知道,然后呢(12)参见:椭圆积分奇异值当椭圆模量奇异值,完全椭圆积分可以计算解析形式的吗伽马函数。亚伯(援引1990年惠塔克和华生,p.525)证明的时候(1)在哪里,,,,是整数,是一个第一类完全椭圆积分,是互补的第一类完全椭圆积分,那么椭圆模量是根的代数方程整数系数.一个椭圆模量这样(2)被称为椭圆积分的奇异值。的椭圆lambda函数提供的价值.Selberg和Chowla(1967)显示和表示的是一个有限数量的吗伽马函数。完整的第二类椭圆积分和可以表达的吗和的援助椭圆α函数.的值对于小整数而言,伽马函数如下。(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)在哪里是γ函数和是一个代数数(BorweinBorwein1987,p.298)。Borwein和朱克(1992)给令人惊异的表情完全椭圆积分的奇异值中央β函数(20)此外,他们显示总是使用这些功能的。在这种情况下,函数表达式中出现的形式在哪里和。条款分子依靠的符号克罗内克符号。前几的值是(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)在哪里是真正的根的(39)和是一个代数数(Borwein和Zucker1992)。请注意,在上面的列表是唯一的价值不能表达的中央β函数.使用椭圆α函数,第二类椭圆积分也可以找到(40)(41)根据定义,(42)参见:椭圆Lambda函数窗体顶端   最小值 马克斯   再保险     即时通讯   窗体底端椭圆lambda函数是一个------模块化的功能上定义半平面上通过(1)在哪里是半周期比,是省(2)和是雅可比θ的函数.椭圆lambda函数本质上是一样的逆省,区别在于,椭圆lambda函数的函数半周期比,而逆省是一个函数的省,在那里本身就是一个函数的.它的实现Wolfram语言函数ModularLambda(τ)。椭圆lambda函数满足功能方程(3)(4)级数展开的(5)(OEISA115977),级数展开的(6)(OEISA029845康威和诺顿1979;BorweinBorwein1987,p.117)。提供的值椭圆模量的互补和正常第一类完全椭圆积分是相关的(7)即。,椭圆积分奇异值为。它可以计算(8)在哪里(9)和是一个雅可比θ的函数.有关通过(10)所有理性的,和被称为椭圆积分奇异值,可以表达有限数量的伽马函数1967年,塞尔伯格((Selberg)如此Chowla)。的值对小包括(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)在哪里(28)这些给出的代数订单2,2,4,2、8、4、4、4、8、4、12、4、8、8、8、4,……(OEISA084540).给出了一些额外的精确值(29)(30)(31)(32)(33)(34)确切的值也可以发现理性,包括(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)在哪里是一个多项式的根.有关Ramanujang-和G-functions通过(45)(46)参见:半周期比是比的两个half-periods和一个椭圆函数(惠塔克和沃森1990,页463年和473年)的定义虚部。的符号有时被用来代替吗.半周期比是最常见的定义省作为(1)(BorweinBorwein1987,pp。41岁,109年和114年,惠塔克和华生1990,p.463)是完整的第一类椭圆积分,是参数,是椭圆模量,,是互补的椭圆模量.的符号(2)有时遇到数量理论文献(达文波特1980,p.1980)。不幸的是,在模块化的形式理论,而不是定义是很常见的事。保健咨询时,因此需要文学。为了避免这种模棱两可,因此比写(3)(Borwein和Borwein1987,p.118)。椭圆α函数椭圆α与完整的功能椭圆积分的第一和第二种在椭圆积分奇异值根据(1)(2)(3)在哪里是一个雅可比θ的函数和(4)(5)和是椭圆lambda函数。椭圆α函数是相关的椭圆δ函数通过(6)它满足(7)和有限制(8)(Borweinetal.1989年)。一些特定的值(BorweinBorwein1987,p.172)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)j.Borwein写了一个算法它使用点阵减少提供代数基础值吗.参见:椭圆积分奇异值当椭圆模量奇异值,完全椭圆积分可以计算解析形式的吗伽马函数。亚伯(援引1990年惠塔克和华生,p.525)证明的时候(1)在哪里,,,,是整数,是一个第一类完全椭圆积分,是互补的第一类完全椭圆积分,那么椭圆模量是根的代数方程整数系数.一个椭圆模量这样(2)被称为椭圆积分的奇异值。的椭圆lambda函数提供的价值.Selberg和Chowla(1967)显示和表示的是一个有限数量的吗伽马函数。完整的第二类椭圆积分和可以表达的吗和的援助椭圆α函数.的值对于小整数而言,伽马函数总结如下。(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)在哪里是γ函数和是一个代数数(BorweinBorwein1987,p.298)。Borwein和朱克(1992)给令人惊异的表情完全椭圆积分的奇异值中央β函数(20)此外,他们显示总是使用这些功能的。在这种情况下,函数表达式中出现的形式在哪里和。条款分子依靠的符号克罗内克符号。前几的值是(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(37)(38)在哪里是真正的根的(39)和是一个代数数(Borwein和Zucker1992)。请注意,在上面的列表是唯一的价值不能表达的中央β函数.使用椭圆α函数,第二类椭圆积分也可以找到(40)(41)根据定义,(42)参见:中央β函数窗体顶端   最小值 马克斯   再保险     即时通讯   窗体底端中央β函数被定义为(1)在哪里是β函数。它满足的身份(2)(3)(4)(5)与,后者给了沃利斯公式。为,2,…最初几个值是1,1/6,1/30,1/140,1/630,1/2772,…(OEISA002457),分母.当,(6)在哪里(7)中央β函数满足(8)(9)(10)(11)为一个奇怪的正整数,中央β函数满足的身份(12)参见:第三类椭圆积分让。不完全椭圆积分然后定义为第三类(1)(2)在哪里是一个常数称为椭圆特征和是椭圆模量。它的实现Wolfram语言作为EllipticPi(n,φ,m)。完整的第三类椭圆积分(3)上面的说明。椭圆特征一个参数用于指定一个第三类椭圆积分.