投资组合的熵理论和信息价值兼析股票期货等风险控制

目录1. 引言：我为什么要写这本书 1意外的发现——从信息熵到增值熵 2适者生存——残酷的市场 5再向权威挑战 7读建议和联系电话 122. 投资组合——从掷硬币打赌谈起 15几个基本概念 15收益率和产出比 15收益的概率预测 16期望收益和方差 17几何平均收益和几何增长 18几何增长的魅力 21从掷硬币打赌看投资比例优化 22从鸡蛋和篮子的投资实验看分散投资的效果 26从掷硬币打赌看收益相关性对投资效果的影响 28Markowitz投资组合理论及其缺陷 313. 优化投资组合的数学方法 35优化投资组合的最大增值熵原理 35单硬币打赌下注优化 39允许透支和卖空时的增值熵及投资比例优化 42考虑转移成本的增量优化公式 46多硬币打赌下注优化 49分散投资极限定理 50考虑消费和人力资源时的增值熵及基金 52优化投资比例的近似公式及递减的效用函数 55多证券相关性模拟和电脑优化举例 58分散和集中的选择 62新的投资风险测度Rr——和Markowitz理论的进一步比较 644. 中国股市投资风险和对策 67股市的魅力 67认识中国股市 72认识中国企业 72中国股市的特色 731996—1997年中国股市走强的原因 79股市的风险 80大多数股民注定要亏钱的原因 86格雷厄姆、巴菲特、林奇等人的成功经验 89股票真实价值和成长性分析 93本书建议的投资战略、策略及数学理由 99战略——瓜分未来的行业巨人 99策略之一：根据大势和股票投资价值定头寸 102策略之二：重点投资优胜者和潜在的优胜者 106策略之三：分散投资高科技股，网撒黑马 109策略之四：通过组合投资减小风险 112策略之五：注重数字不注重概念 115策略之六：低价市场买产权 1175. 期货投资的风险和对策 121期货交易的特点及风险 121期货市场存在的合理性 124从熵理论看期货输家的教训 128不知防守，头寸太大 128拒不认输，越陷越深 129短线频繁，得不偿失 131逆势做庄，自取灭亡 132期货投资策略分析 133如何根据盈亏空间和概率定头寸 133关于分散投资 137跨期套利和跨品种套利分析 1396. 从熵理论看期权和保险 143期权的收益特征 143期权的投资组合意义及头寸控制 145期权发行者的风险控制 147配股权证和可换股债券 149买保险分析 153买保险的意义和投保比例优化 153买保险也应注意风险 154保险公司的风险控制 156承保量和保费比率优化 156保费投资选择 1597. 其它投资的数学分析及风险对策 162人生目的、投资目的及工具选择 162银行存款 165个人住房、金银首饰 166艺术品、古董、邮票、古钱币等 167国债和国债回购 168垃圾债券、贷款和集资 171担保和名义出租 173产业投资及投资基金 1768. 从熵理论看赌博 180赌博、投资和下围棋比较 180赌马的下注问题 181怎样战胜“小神仙” 182贪大的数学分析 1849. 从Shannon信息论到广义信息论 186Shannon信息论简介 186Shannon熵和Shannon互信息的编码意义 189投资和编码比较 191投资渠道和投资容量——Shannon信道容量理论推广 193广义信息论研究背景 196鲁氏广义信息论 198集合Bayes公式和三种概率的区别和联系 198广义通信模型和广义信息测度 201广义信息测度用于预测、检测和模式识别的评价和优化 20910.信息价值、预测评价和经济学应用 214基于增值熵的信息价值公式 214和Arrow的信息价值公式比较 217信息价值测度用于股市的预测评价和优化 219从保真度信息率到保价值信息率 222增值熵作为效用函数用于博弈 227关于信息经济学 229有效市场理论有用吗——为巴菲特辩护 232电子信息理论和经济信息理论的统一 23711. 从增值熵看进化论 242生物进化和资本增值类比 242基于热力学熵和增值熵的宇宙观 244参考文献 246引言：我为什么要写这本书投资组合也就是英文所说的portfolio，portfolio通常被译为“证券组合”，但是它更确切的译法应该是“资产组合”，因为组合的内容不仅限于证券。我们把“资产组合”改为“投资组合”，为的是使含义更明确。用“投资组合”而不是“组合投资”也是为了使它和portfolio原意更相近。信息价值指的是由信息带来的效用的增量。本书的信息价值理论建立在本人的广义信息理论[1—5]和本书的投资组合熵理论之上。预测和决策几乎是所有行业都会遇到的两个基本问题。要想在风险投资领域生存和发展，好的预测和好的决策缺一不可。对于投资来说，决策主要就是选取投资对象和控制投资比例。投资组合理论讲的是投资决策问题，但是其中的基本结论对于商业、军事等方面的决策也有一定意义。促使我写这本书的原因之一是完善广义信息理论[1—5]的需要。我所着的《广义信息论》[4]中关于信息价值的讨论并不理想，而基于新的投资组合理论的信息价值理论正好可以弥补《广义信息论》的不足。我一直认为，信息论应该走出而且也能够走出电子通信编码的圈子，进入日常信息交流——比如经济信息交流——领域，由于我的广义信息论在信息价值问题上的不足，使得它更像是哲学理论（解释世界），而不像是能够切实应用的理论。有了新的投资组合和信息价值理论，可以期望我的广义信息论能在经济领域有很好的应用，期望它能成为沟通电子信息研究和经济信息研究的桥梁。原因之二是我耳闻目睹许多人遭遇的本可以避免的惨痛失败，希望我的研究成果有助于国人避免重蹈覆辙。原因之三是想向美国一些权威挑战。意外的发现——从信息熵到增值熵我的专着《广义信息论》在完成之后一段时间里找不到愿意正常出书的出版社。为了弄到包销资金，我开始炒起股票（那是1993年初）。可幸的是后来中国科大出版社慧眼识金，不仅按正常方式出了那本书，还帮我把版权卖到了台湾。但是笔者炒股票也没有因此而终止。意外的是，炒股票时的思考导致我发现了一种可以用于优化投资组合的数学公式——增值熵公式[6]。基于增值熵公式的信息价值公式又反过来使广义信息理论更加完善。熵概念来自热力学，1864年由德国的克劳修斯（Clausius）提出，它反映系统的微观混乱程度。1882年，玻尔兹曼（Boltzmann）发展了熵理论，并把熵解释为“失去的信息”。1948年美国人仙农（Shannon）使用熵函数建立了通信的数学理论（经典信息论以它为核心）[7]，熵的概念和方法从此被越来越广泛地应用。在中国，由自然辩证法研究会组织的“熵和交叉科学研讨会”已开过5次（每两年一次）。我所建立的广义信息论中就采用了几种广义熵函数——它们是Shannon熵函数的推广，增值熵也可以说是广义熵中的一种。炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，先赚50%再亏50%；或者先亏后赚，这样一来，你会发现，你的资金变少了（变成×=倍）。这说明避免大比例亏损特别重要。由于我刚从广义信息论研究的云雾中钻出来，满头脑的广义熵公式，于是自然想起用对数表示盈亏的效用，进而用熵函数表示资金的平均增值速度。新的优化方法的优势只能通过统计显示出来。为了检验理论，我于1995年初投身期货市场。因为和股票市场相比，期货市场投资周期短，杠杆比例大（即保证金比例小），不同品种之间收益的相关性复杂——不同于股市的同涨同跌，投资组合技术更容易发挥作用。从1995年6月开始，我在南方某基金管理部门干了一年（任高级研究员），继续从事股票和期货的分析和交易。关于投资组合和风险控制，我又增加了不少见识。我曾做多沪市327、337国债，做空大连1995年11月玉米，买过海南1995年5月咖啡，同时抛空7月咖啡——赚了；也曾做空广东1996年1月豆粕，做多上海1996年5月大豆——亏了。但总的说来盈多亏少。我不靠技术分析，也不靠内幕消息，靠的只是基本面分析和投资比例控制技巧。图1.1熵理论指导下的投资业绩和深沪指数比较1996年6月，我回到长沙，一边继续理论研究并写作本书——从1996年8月开始至1997年7月完稿——一边继续管理一个亲戚朋友投资的合作帐户（模拟开放基金）。正是因为有新的数学理论指导决策，我才有幸成为不多的同在股市和期市赚钱的赢家之一，所管理的合作帐户由1993年5月的1元，到1997年7月（我修改本节内容时）已变为11元多，涨了10倍；而同期深圳股市上涨不到1倍，上海股市上涨不到倍（比较见图）。实践显示了新理论确有优势。适者生存——残酷的市场我读过里森的自传《我如何弄跨巴林银行》，也知道住友期铜惨败事件。我目睹了1995年美元的大跌大涨，听说中国的一些银行机构为此损失惨重。我亲眼目睹了国债期货327事件疯狂悲壮的一幕，了解到广东1995年11月籼米期货多头主力如何覆灭的过程；体会到了玉米、天然胶、豆粕、胶合板…………期货的大起大落带来的大悲大喜…………有散户如兔如羊——死了（输光了）；有机构如虎如狼——也死了。我知道1993年以来，许多股民损失惨重，一些股民因为透支或借贷炒股而弄得倾家荡产。我更目睹了96年11—12月新股民入市的激情，看到了他们在12月16日开始的连跌停板面前如何目瞪口呆，不知所措。大跌前，有几位新老股民情愿听信股评家（可能是机构放风者）的话买10元1股的湘中意，而不愿听我之言买业绩好10倍的14元1股的青岛海尔。理由是湘中意有合资概念，有庄家拉抬，湘中意“活跃”。相信似是而非的概念，把风险看成活跃，把抢钱的看成财神爷，这就是中国股民的一大特色。一周后，青岛海尔只跌了1元多，而湘中意却已“活跃”到了6元以下。我写这段文字时，湘中意正被590多万股的抛单打在元的跌停板上，“活跃”不再，而青岛海尔仍在12元左右（半年后，海尔的价格在30元上下，是湘中意价格的五六倍——修改时注）。大家知道，1996年上半年，上海股市涨了50%，深圳股市涨了100%，可是许多上市基金赚的还钱不到其净资产的10%。有的只赚了2%（96年上市基金中业绩——净资产收益率——最好的也未能赶上深圳指数涨幅的1/4——修改时注）。为什么因为大多数资金拆借出去或投到房地产上了。错过如此大好机会，怎不令基金投资人痛心疾首更要命的是本以为没有风险的拆借可能风险最大——你要人家的利，人家要你的本。有的机构为了一点小利出租在天津国债回购市场的席位，结果被辽国发之类害得很惨，不得不承担他人欠下的巨额债务。我不久前回到老家，听说当地大多数乡镇企业面临破产。最令人痛心的是我下放的公社（现在是乡）好不容易有了点钱，投资近千万建起一个柠檬酸钠厂，结果无法开工，几乎血本无归…………很多人习惯于把上述种种失败归咎于预测不好。但是，就没有好一些的决策减轻因预测不好带来的风险吗我相信：在我们这个投资充满风险的时代，预测准确是不可能的，这样决策往往比预测更加重要。有了好的决策，可以以不变应万变。动物世界是适者生存，使用太保守的策略如兔如羊不行；总是冒险如虎如狼也不行。虎狼厉害，可是就生存能力来说，还不如蚂蚁和老鼠。人类之所以能成为自然的征服者，就在于它采用了适当的策略——素食行肉食也行，爬树行游泳也行，既能采集又会耕种，既能捕猎又会养殖——总之，人类的成功就在于它既善于保护自己又不乏进攻能力。市场经济下同样是适者生存，太保守不行，太冒险也不行；首先要能安全生存，然后才能考虑赚大钱。再向权威挑战我的理论研究是从试图解决达尔文理论和美学的矛盾开始的。那时还未出大学校门（南京航空学院77级学生），自认为发现了美感的秘密：美感是促进喜爱情绪和欲望的反馈信号，促使人在空间接近对象，就像甜促使人多吃一样；美感的强度取决于是否缺少，是否不满足……[8，9]当时我兴奋得不得了，以为（现在还以为）自己同时解决了生物学和美学难题，一说别人都会恍然大悟——可惜论文很长时间不能发表，后来发表了也没引起多大反响。接着我又发现了颠倒色觉的逻辑可能性问题，由此得出自己的哲学理论：模拟符号论。其基本思想是：语言一致，比如同样称花红草绿，而感觉不同是可能的；感觉是模拟符号，一种感觉并不一定反映特定的物性，感觉系列中的差异或者说信息才是客观的；语言所指不能是感觉、要素（马赫用法）或现象界（康德用法）中的东西，而是现象界后面的客观存在；我对语言和感觉的分析反倒证明马赫的要素论和逻辑经验主义是自相矛盾的[10，11]。我又一次兴奋了，以为（现在还以为）延续了几千年的哲学基本问题的争论可以到此终止。1987年去加拿大进修时，我才知道北美哲学家——功能主义（functionalism）和生理主义（physicalism）——围绕颠倒色觉的逻辑可能性问题已争论了好几年。不同的是，我得出乐观主义结论——认为由此可以解决哲学基本问题，而他们得出悲观主义结论，不得不用驼鸟策略回避这一问题[12]。到目前为止，我的分析哲学理论和我的美学理论命运类似。为了支持我的哲学理论，我又去研究色觉机制的数学问题。我这个人在理论上太不容易满足了，觉得已有的数学模型都不够巧妙，后来我终于建立了一个新的对称的色觉机制数学模型——译码模型[13，14]。它的运算和数字电路中3—8译码器的运算类似，不同的是输入输出是模拟量。这一模型能使色觉的三色素说和颉颃说得到巧妙的统一。我还做了一个物理模型。当我发现这一数学模型时又兴奋了一次。不过它后来的命运也和前面的理论差不多。虽然《光学学报》发表了，可是注意它的人并不多。看来，在心理学和生理学领域，数学模型和近似公式似乎没有区别，人们总是习惯于描述而不是解释，习惯于“是什么”而不是“为什么”。1988年，为了从信息论的角度解释我的译码模型，我又开始研究广义信息理论。到1992年我终于如愿以偿，Shannon公式的小小改变居然解决了大问题，使常识的信息概念和工程的信息概念得到统一，使Popper的科学进化论和Shannon理论得到统一。我又兴奋起来，又以为我的理论会很快传遍世界。虽然论文在《通信学报》上发表了，专着《广义信息论》出版后，也有不少朋友很感兴趣，但是其反响并不如自己所期望。我还曾异想天开地研究宇宙模型，以为宇宙是一个四维空间中的球，以时间为半径，以空间为球面；遥远星空中一串串类星体中的每一串并不真的是一串，而是一个。一个类星体发的光在到达我们眼睛之前可能绕球面转了许多圈，圈数不同，像就不同……为此，我兴奋过，也失望过（因为数据检验不合）。后来我看到北京的邓晓明在《潜科学》上发表了同样的模型[15]，他用时间乘上一个系数作为球的半径，数据检验吻合得很好。我马上写信向他祝贺。我们很快由不认识到成了知心朋友；他倒是非常慷慨，说将来和我分享诺贝尔奖。可是，这一模型的遭遇和我前几个发现一样。我们这个时代似乎已失去了对理论的激情；可能是因为这些理论离我们的日常生活太远，了解它们并不能增加我们的收入；也可能是因为这些理论太抽象，鉴别它们没有简单明了的方法；还可能是因为向权威挑战就像在拳坛上向老拳王挑战一样，你必须明确无误打倒对手，而决不能指望以点数取胜；也可能是因为世道仍像鲁迅先生所言：我独不解中国人何以于旧状况那么心平气和，于较新的机遇就这么疾首蹙额，于已成之局那么委屈求全，于初兴之事就这么求全责备，知识高超而目光远大的先生们开导我们：生下来的尚不是圣贤、豪杰、天才，就不要生；写出来的尚不是不朽之作，就不要写；改革的事尚不是一下子就变成极乐世界，或者，至少能（!）有更多的好处，就万万不要动！……我相信我的色觉模型能够得到神经生理学实验的检验，我的信息理论也能得到天气预报、预测编码和模式识别的检验……然而我没有条件也没有时间。人生有限，一个人如果把时间都花在争取别人的承认上，那就太可悲了！现在我有了新的投资组合理论。要说理论意义，它涉及经济学和生物学的基本问题；要说实际意义，它和我们的日常生活，特别是经济收入以及人生幸福密切相关；要说实践检验，你用几个硬币就可以比较出本理论和其它理论的优劣。我又一次兴奋了。我不知道这一新理论的命运是否会比前面的几个好一些。不管怎么样，我自己先用它赚点钱再说，我的理论研究不能没有经济支持。开始我并不知道美国人的投资组合理论，后来才陆续找到一些关于它们的资料。我产生写这本书的念头是在仔细看了两本书之后。这是两本诺贝尔经济学奖获奖者的书：一本是W.F.Sharpe的着作《证券投资理论与资本市场》[16]（W.F.Sharpe和H.M.Markowitz及M.Miller共获1990年诺贝尔经济学奖）；这是一本深入浅出的好书，然而其中的理论基础——Markowitz证券组合理论——关于最优证券组合问题存在重大缺憾。另一本是K.J.Arrow的论文集《信息经济学》[17]（K.J.Arrow是诺贝尔经济学得奖者，70年代当过美国经济协会会长）；其中一个重要思想是：给定概率预测，可以求出相应的最优决策，有信息时的最优决策效用较之无信息时的最优决策的效用增量就是信息价值。本书继承了这一思想。然而我以为：Arrow建立信息价值公式所用的投资组合模型是不对的，基于这样的模型之上的信息价值理论只能“误人子弟”。可以说，就投资组合模型来说，Markowitz是对的而Arrow错了，但就给定概率预测是否存在客观的最优组合来说，Markowitz是错的而Arrow是对的。简单地结合两者之长是不可能的，因为Arrow理论存在的问题和Shannon信息论的局限性有关。最近我看到一本书《一个美国资本家的成长——世界首富沃伦·巴菲特传》[18]，其中Buffett（巴菲特）和首届（1970年）诺贝尔经济学获奖者P.Samuelson（萨缪尔逊）等理论权威关于信息和有效市场理论的争论更加坚定了我早日完成这本书的决心。我是完全站在Buffett一边的。我感到吃惊的是，信息概念在经济学领域的应用产生了一大批诺贝尔获奖者（最近又有人因信息不对称理论而获奖），而关于经济信息和信息价值如何度量这样的基本问题，还没人给出合适的公式。我在过去的两年里写了不少股市和期市杂谈、短评（笔名：鲁莽），还有一篇赞美游侠骑士精神的连载小说：《股指山熊妖征战记》[19]（主人翁是沪吉柯德和深桑丘——分别代表上海和深圳股市的灵魂）。我写这本书或许还因为受游侠骑士精神的驱使。阅读建议和联系电话本书是为有关领域的大专学生、教师和研究人员，以及有一定文化水平的投资或决策者写的。我曾考虑过不将信息和信息价值理论同投资组合理论放在一起。最后没有这样做是因为：没有投资组合优化理论就讲不清信息价值问题，并且了解了信息论中的各种熵公式和编码优化才能对投资组合优化有更深的理解；同时因为许多大学开设的信息管理专业需要学习这两方面内容。因为要经得起理论专家的挑剔，所以书中有一大堆数学公式；因为要适于经济特别是证券行业的学生和从业人员阅读，所以书中有许多例子。读者不妨各取所需。对于一般的股票投资者来说，只需看2—4章，5—7章也可选看。对于专业投资者，阅读2—7章是合适的；对于从事统计和预测的研究者来说，8、9章也将有用；希望对哲学感兴趣的读者最好不要放过8—10章；对于从事投资决策的厂长经理和地方行政官员以及有关学者，我的希望是：能看懂多少是多少。我已经编出股票和期货投资比例优化软件（3种证券，加现金共4种），并且所提供的最优比例可以通过计算机模拟来检验。证券种数更多且包括预测的软件正在研制之中。欢迎合作交流。下面电话至少有一个可以找到我：（0731）4314523；（0565）4312733；（0551）2827280。投资组合——从掷硬币打赌谈起如果谁能准确预测未来，或是他所从事的投资的收益都是确定的，投资组合理论对他来说就毫无用处。他只要把全部资金投入到收益最大的证券或项目中去就行了。而一般情况下，收益的准确预测是不存在的（放债的收益似乎稳定，可是也有可能：借贷人破产或耍赖皮使得放债人本息全无），因而我们只能作概率预测，即预测各种盈亏幅度的可能性有多大。因为我们研究的投资的收益是不确定的，并且亏损是很可能的，所以这样的投资又叫风险投资。风险投资和赌博类似，但也有不同（参见第8章）。优化投资组合说具体一点就是：在给定未来收益的概率分布的情况下优化投资比例。好的投资比例不能保证一两次投资赚钱最多，但是它应当能保证多次投资后，累计的盈利最多。几个基本概念收益率和产出比我们称赢利（或盈利）除以本金为收益或收益率，对应的英文单词是return，后面用r表示。有些行业把赢利或绝对收益叫做收益，本书不同。我们用r0表示存款利息或国债收益，称?＝r?r0为超常收益（excessreturn）。如果借贷投资，r0便是贷款利率，它这时又被称为资金成本，或市场平均收益。我们称收入除以本金为投入产出比，简称产出比，后面用R表示。根据定义，产出比R=1+r，市场平均产出比R0=1+r0。比如说，投资股票100元，赢利20元，收益为r=20/100==20%；产出比R=120/100==120%；如不买股票买国债的收益是r0=，则超常收益是?=?==10%。收益的概率预测我们以掷硬币打赌为例说明概率和概率预测。概率是频率的极限。设硬币有A，B两面，做N次掷币实验，出A面的次数是N1，当N越来越大时，P1=N1/N越来越接近，即就是出A面的概率。假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二，则我们把收益的概率预测写成Fr={P1|r1，P2|r2}={|?1，|2}产出比的概率预测写成FR={P1|R1，P2|R2}={|0，|3}其中r1，r2是两种可能的收益（相对于赌注），R1，R2是两种可能的产出比，P1和P2是两种收益出现的概率，在0和1之间变化。两个表示盈亏可能性（或概率）对半。当可能的盈亏为N种时，收益的概率预测变为Fr={P1|r1，P2|r2，...，PN|rN}期望收益和标准方差期望收益（expectedreturn）就是算术平均收益（arithmaticmeanreturn），后面记为E或ra。对于上面的掷硬币打赌例子，有ra=P1r1+P2r2=（?q+2q）=其中，q是下注资金占自有总资金或净资产的比例。当一种投资的可能收益有多种时，期望收益变为（）我们称相应于期望收益的产出比Ra是期望产出比，于是有Ra=1+ra。标准方差被定义为（）它反映可能收益的分散程度，流行的Markowitz投资组合理论用它表示投资风险。几何平均收益和几何增长几何平均产出比被定义为（）比如对于前面的掷硬币打赌，几何平均产出比是（）而几何平均收益是rg=Rg?1。容易看出，算术平均收益和投资比例q成正比关系，而几何平均收益不是（参看图）。上式中q增大时，几何平均收益变化类似于抛物线，先大后小。改变q可以求出Rg的极大值。图2.1几何平均收益和算术平均收益随投资比例q的变化几何平均收益能够反映资金增值速度和累积收益。因为累积产出比的期望=几何平均产出比投资周期（）而算术平均收益不能反映累积收益。比如，对于上面的掷硬币打赌，如果你下注资金比例总是1，则算术平均收益是。能反映你的累积收益吗不能，因为有一次你输了，你就什么也没有了，亏掉100％。1988－1989年，日本股市从21564点上涨了80％，到达38921点；然后开始大跌，1992年8月跌到14194点，跌幅达63％。虽然80％大于63％，算术平均大于0，可是总的来说是跌的，跌了约1/3，因为累积产出比是（1+）（1?）=，累积收益是?1=?。几何平均小于算术平均可以通过图得到说明。图几何平均小于算术平均说明图中的a，b分别是相同概率的两种可能的产出比，因为logRg=（ab）?log[（a+b）/2]=logRa所以有几何平均收益小于算术平均收益rg=（ab）?1?（a+b）/2?1=ra由图还可以看出，在算术平均收益不变的情况下，a和b相差越大（即证券未来可能收益的方差越大），特别是a越接近于0，几何平均和算术平均的差越大，也即投资风险越大。可以说投资组合的目的就是使几何平均收益尽可能接近算术平均收益，从而减小投资风险并提高增值速度。几何增长的魅力尽管战后美国几种主要股票的年几何平均收益只有10％，但是当初投资1元50年后就变为=117元。可见几何增长的厉害。有人做过计算说明，虽然两百年前美国政府以极便宜的价格从印地安人手里买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。几何平均收益的微小变化多年累积后就导致投资业绩的巨大差异（参见表）。表2.1几何平均收益对10年累积产出比的影响 几何平均收益 10年产出比 世界上最成功的投资大师巴菲特的年几何平均收益就是表中最后一列的[18]，40年使1元变为=23423元。彼得·林奇和索罗斯也是世界着名投资大师，他们的几何平均收益不比巴菲特的差，只是投资时间短些。看来要成为世界级投资大师似乎并不难，只要持续年盈利25%－30％就行。而实际上难就难在持续。国内许多股市期货炒手对稳定的30％的年收益不屑一顾，他们情愿冒高风险追求100%－200％的年收益，但是一旦亏损，就前功尽弃。本书的投资组合优化理论就是讨论如何追求较为稳定的几何增长。从掷硬币打赌看投资比例优化对于节的打赌问题，假设你开始只有100元，输了不能再借。现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户你可能为了尽快地变为百万元户而押上你的全部资金。可是只要有一次你输了，你就会变成穷光蛋，并且永远失去发财机会；你可能每次下注10元。但是，如果连输10次，你就完了。再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完（假设下注的资金可以无限小）；第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的（1+）×（1?）=倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了点，太急人了！有没有更快的方法有!每次将你所拥有资金的25%或倍用来下注（参见节优化公式），你变为百万富翁的平均速度将最快。假设你每次下注的比例是q，则你的资金随掷币结果变化如表所示。表2.2掷硬币打赌资金变化计算 掷币结果 总资金 开始 100 B（赢） 100（1+2q） A（输） 100（1+2q）（1?q） B 100（1+2q）（1?q）（1+2q） B 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q） A 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q）（1?q） ... 100（1+2q）（1?q）（1+2q）（1+2q）（1?q）...由表可知，最终盈亏数只和A、B面出现的频率有关，而和它们出现的次序无关。这样可以看出，使几何平均收益达最大的比例也就是使累积收益达最大的比例。图不同下注比例增值比较几种不同下注比例带来的资金变化如图和表所示。 表2.3不同下注比例的盈利比较 实验序号 掷币结果 张大胆下100％ 李糊涂下50％ 你下25％ 王保守下10％ 0 100 100 100 100 1 B（赢） 300 200 150 120 2 A（亏） 0 100 108 3 B 0 200 4 B 0 400 5 A 0 200 6 B 0 400 7 A 0 200 8 B 0 400 9 A 0 200 10 A 0 100 ... ... 0 ... ... ... 20 A 0 100 如果概率预测不同，最优比例也不同。求最优比例方法将在节详细介绍，这里且提供一个简单的优化公式：（）即最优比例等于收益的期望除以收益的乘积的绝对值。比如概率预测变为Fr={|?，|}时，和前面相比，期望收益没有变，但是盈亏幅度减小了，风险也小了，最优投资比例增大为2/3，优化的几何平均收益增大为%。当概率预测变为Fr={1/3|?1，2/3|1}时，最优比例是1/3，即%，我们可以用掷骰子来模拟这一投资——出1，2亏1倍，出3，4，5，6赚1倍。有人会说：实际投资过程中，收益的概率预测是不断变化的，前面的优化比例仍然适用吗回答是：仍然实用。我们假设投资是一个漫长的过程，虽然不同概率的预测交替出现，比如概率预测序列为：F1，F2，F3，F2，F1，F1，F4，...但是，如果你能在预测序列为F1，F1，...，F2，F2...，F3，F3，...，F4，...（Fi出现的顺序变了而次数不变）时能够成为赢家，那么用同样的方式优化投资比例也能保证你在前一种概率预测序列出现时成为赢家。因为资金是按乘积方式增长的（如表所示），和盈亏顺序无关。有人会说：概率预测可能不准，如此优化仍然有用吗回答是：好的概率预测和好的决策，两者同样重要，没有一方的配合，另一方的作用就要大打折扣。不过既然我们选定了一种预测，我们就应当相信它是准确的或者说是不错的，如果你怀疑它，你可以用更加模糊的预测（像许多股评家常做的那样）来代替它——这比没有好，从而降低因预测不准带来的风险。从鸡蛋和篮子的投资实验看分散投资的效果俗话说，不要把鸡蛋放在一个篮子里。下面我们将说明这是有数学道理的。前面我们假设只有一种投资（证券或项目），如果有两三种呢是否有最优的在各证券上的投资比例有!现在我们假设有两种可选择股票，它们的收益由两个硬币的投掷结果确定（出A面你投一亏一，出B面你投一赚二），概率预测是Fr={1/4|（?1，?1），1/4|（?1，2），1/4|（2，?1），1/4|（2，2）}其中（?1，?1）表示两个硬币皆出A面，各导致1倍亏损，其它同理。这时如何确定现金比例和各股票上的投资比例，使得重复投资后累积收益最大上面问题和下面问题是等价的假设用两个足够大的篮子贩运鸡蛋，运到目的地可赢利200%（增值为原来的3倍），每个篮子在路上被打翻从而损失100%的概率是，两个篮子是否被打翻是相互无关的，每个篮子各装价值多少资金的鸡蛋，可使多次贩运后，资金增值最多掷硬币实验表明，各投总资金的23%可使长期累积增值或几何平均增值最快（参看表）。表2.4两种证券时，不同下注比例的增值比较 实验序号 掷币结果 张大胆各下50％ 李糊涂各下25％ 你各下23％ 王保守各下％ 0 100 100 100 100 1 A，B 150 125 123 2 A，A 0 3 B，A 0 4 B，B 0 5 B，A 0 6 B，B 0 7 A，B 0 8 A，A 0 ... ... 0 ... ... ... 16 A，A 0 几何平均收益 -100% % % %假如有三个、四个篮子，甚至无穷多个篮子呢，后面的理论表明有表和图结果。表2.5优化比例和几何平均收益随篮子数目变化 篮子数目 1 2 3 4 N?? 最优投资比例（%） 1?25 2?23 3? 4? N?100/N 几何平均收益（%） 50图投资比例和收益随篮子数目变化可见，篮子越多，资金越分散，资金增值速度越快。当然，实际投资中，过于分散会增加信息和操作成本，适当地将鸡蛋分放在五、六个篮子里，投资组合的效果就会相当不错了。从掷硬币打赌看收益相关性对投资效果的影响 在前面我们假设几个篮子被打翻是相互独立的，如果几个篮子被打翻是相关的会怎么样呢显然，如果两个篮子总是一道被打翻，那么，将鸡蛋放在两个篮子里和放在一个篮子里是一样的，并不能降低风险并提高收益。同样的道理，分散买几种同涨同跌振幅相同的股票和只买一种股票，风险是同样的。假设共有两个篮子，如果只有而且总有一个篮子被打翻（反相关），则你可以全部投入资金（各投50%），这时每次收益稳定不变，几何平均收益等于算术平均收益（×（?1）+×2）×100%=50%组合效果最好。我们用相关系数c（在?1和1之间变化，即c?[?1，1]）表示两种证券或投资的收益的相关性（covariance），c=?1表示两者盈亏总是相反，c=0表示两者盈亏互不相关；而c=1表示两者盈亏总是同步的。我们用一对硬币的两面表示投资一个期货品种或打赌的收益，同时是A面你亏200%，同时是B面你赚300%，一A一B你赚50%。现在有两个期货品种I和II，它们的价格由两对硬币的投掷结果确定（两对可能共用或反用一个或两个硬币，从而使收益相关性变化）。全部投入资金（各50%）和按优化比例投入资金的几何平均收益随相关性变化如表所示。表中e1，e2，e3，e4是等可能取值为0或1的随机变量；r1=?2，r2=，e_1是e1的非（两者取值相反）。e_2同理；rI和rII是两个品种的投资收益，比例q和q*是在每种证券上的投资比例和优化的投资比例。表2.6相关系数对几何平均收益的影响及优化结果 硬币共有情况 相关系数 相关收益确定rI=r1+（e1+e2）r2 rg（%）q=50％ rg*（%）q=q* 优化比例q* 共用一对 1 rII=r1 ?100 共用一个 rII=r1+（e1+e3）r2 ?100 不共用 0 rII=r1+（e3+e4）r2 ?100 反用一个 ? rII=r1+（e_1+e4）r2 反用两个 ?1 rII=r1+（e_1+e_2）r2 50 50 50可见，相关系数越大，组合效果越差；相关系数为1时，等价于全部投资于一种证券，不赚反亏。相关系数越小，组合效果越好。相关系数为?1时效果最好，这时几何平均收益等于算术平均收益。从本章前面内容，我们可以看出投资组合的意义：1）在收益不确定且可能亏损的情况下，改变投资比例可以提高资金的平均增值速度；2）如果有多个收益和风险相同且彼此互不相关的品种，适当分散投资比集中投资风险小，且资金增值的平均速度快；3）同时投资反相关的品种可以减小总的投资风险，提高资金平均增值速度。以上关于减少风险的结论和美国的诺贝尔经济学获奖者Markowitz的结论大体一致。但是Markowitz等人并不知道或没有研究使资金增值最快的客观的最优比例，更不知道怎么求出。Markowitz投资组合理论及其缺陷Markowitz开创的投资组合理论[16,20,21]取得了很大成就，他和W.F.Shape及M.Miller因此获得1990年诺贝尔经济学奖。Markowitz用收益的期望E和标准方差?表示一种证券的投资价值，期望越大越好，而标准方差越小越好。标准方差反映了收益的不确定性或投资的风险。投资嗜好无差异曲线可以写成?=?E+a（）a=??E+?越小则投资价值越高。至于?如何确定，没有客观标准，有人不在乎风险只希望期望收益越大越好，而有人为了小一些的风险情愿要低一些的期望收益。对于有N种证券的组合P，期望收益变为（）其中Ek是第k种证券的期望收益，qk是相应的投资比例；标准偏差变为（）其中ckl是协方差系数，?k和?l是两种证券的标准方差，?kl是相关系数，即（）优化投资组合实际上是在qk的某些限制下（比如?qi=1），改变投资比例q1，q2，...，qN，使 （）达最小。Markowitz还定义了有效投资组合(efficientportfolio):给定期望收益时，使风险（?）达最小的组合；或者是给定风险时，使期望（E）达最大的组合；或者是使a=??EP+?P达最小的组合。分散投资或选择收益反相关的品种组合投资之所以能减小风险是因为那样能减小总的收益的标准方差。比如：对于前面掷硬币打赌的例子（出A面你投一亏一，出B面你投一赚二），赌注全部下在一个硬币上，标准方差是?=[（0?）2+（3?）2]=而如果将赌注均等地下在两个硬币上，则?=[（0?）2+（?）2+（3?）2]=即风险系数由减小为。虽然Markowitz理论的成就是巨大的，但是其缺陷也是不容忽视的。缺陷之一：不认为有客观的最优投资比例，或者说并不提供使资金增值最快的投资比例（当然也就不能解决前面的打赌问题）；缺陷之二：标准偏差并不能很好反映风险。下面我们举例说明。例两种证券当前价格皆是1元，证券I（像是期权）未来价格可能是0元和2元，概率分别为1/4和3/4。证券II（像是可转换债券）的收益的期望和标准方差同样是和，但是收益的概率分布以为中心（产出比以为中心）对称反转了一下（见图），两者投资价值分析如表所示（这里忽略银行利息和交易手续费，Rr是本书定义的风险测度，参见节）。表2.7两种证券的投资价值分析 E ? Rr Rg(q=1) 优化比例（%） 优化后的几何平均收益 证券I 0 50 证券II ?100 ?图期望和标准方差相同但风险不同的两个证券最优投资比例?100%意味着：如果可以贷款或透支，投更多更好。按Markowitz理论，I和II投资价值相同，而按常识和本书理论，II远优于I。对于存在大比例亏损可能的投资，比如期权、期货、放贷（可能收不回本金），Markowitz理论的缺陷尤为明显。优化投资组合的数学方法本章叙述新的投资组合数学理论。对数学不感兴趣的读者可以掠过数学公式的推导而只注意其中结论。优化投资组合的最大增值熵原理令N种证券价格构成N维矢量，设第k种证券价格有nk种可能取值，k=1，2，...，N，则共有W=n1×n2×...×nN种可能的价格矢量。设第i种价值矢量为xi=（xi1，xi2，...，xiN），i=1，2，...，W；当前价格矢量为x0=（x01，x02，...，x0N）；假设单位时间（比方说一年）后，价格矢量xi发生，则第k种证券价格增长为原来的Rik倍，总的价值增长为原来的（）倍。其中qk，k=1，2，...，N是在第k种证券上的投资比例，q0是投资人所持现金比例；R0k=R0=（1+r0），r0=存款利率或市场利率。市场利率比如：拆借利率，国债回购利率。产出比Rik=xik/x0k（）当采用保证金交易时，它变为Rik=1+K（xik?x0k）/x0k（）其中K?1是杠杆倍数，意味交易者可以按交易额的1/K倍交纳保证金，价格涨跌r%时交易者盈亏Kr%。这里我们假定投资收益和投入的资金量成正比。实际上，当投资某一项目或股票的资金增大到一定程度，比如投资某一股票达数千万元时，收益将呈非线性变化（效益递减）。这时我们可以用qkRik的非线性函数代替它（不赘述）。设做m次确定价格矢量的投资实验，xi或ri发生的次数是mi，则m次投资后资金增值为原来的倍数是（）平均每次投资后资金增长为原来的倍数，即几何平均产出比是 （）笔者最近了解到Henry.A.Latane和Donald.L.Tuttle1967年在一篇文章中提出了上式所示投资组合数学模型[22]，并称之为财富最大化模型。但是本书下面的研究结果和他们的研究结果完全不同，原因之一是期望和标准方差不再充当重要角色；原因之二是本书使用一种广义熵——增值熵——作为分析工具。对上式取对数并令m?∞，得（）我们称H为增值熵，它是广义熵的一种，其量纲和信息量纲相同。设log以2为底，这时H的单位为比特（bit），表示资金的翻番数。这一熵函数和K.J.Arrow曾使用的效用函数表面上有些相似[17]，但实质不同（参见节）。和信息论中的广义熵[5]相比，增值熵少一负号。几何平均收益是rg=Rg?1=2H?1。设几何平均产出比为Rg的证券组合在T年后增值为M，即RgT=M（）则（）比较物理学公式时间=距离/速度可见H反映了资金的增值速度。后面我们简记矢量Pi=P（xi）=P（xi1，xi2，……，xiN），记概率分布为P=（Pi）=（P1，P2，……，PW），记投资比例矢量q=（qk）=（q0，q1，……，qN），其它类推。改变q可使H达最大，使H达最大的投资比例矢量q=q*=（qk*）就是最优的。投资比例矢量是有限制条件的。比如通常的股票投资有下面三个限制条件：条件I：（）这意味着可用现金和各项投资资产之和等于自有资产的1倍，是在任何情况下成立的条件；条件II：qk?1，k=0，1，...，N；并且（）或q0?0，这意味着不许透支或贷款；条件III：qk?0，k=1，2，...，N；这意味着不许卖空（卖空比如：期货做空或股票先融券卖空，等低价买回平仓）。在给定q的限制条件下求使增值熵（）达极大的q，这是一个非线性规划问题，可用已有方法解决。这一问题只有在某些简单情况下才有代数解。在一般情况下需要通过计算机编程得到数值解。单硬币打赌下注优化下面我们通过最简单的投资模型——单硬币打赌模型——讨论最优投资比例的代数解。定义我们称前面的投资模型是单硬币打赌模型，如果1.投资项目或证券种数N=1；1.可能的赢亏种数n1=2（赢亏概率未必相等）；1.要确定的投资比例有两个：现金（或国债）和非现金比例，k=0，1。单硬币打赌的优化问题是最简单的，也是最有代表性的投资比例优化问题，节所述的掷硬币打赌问题是它的一个特例（赢亏概率相等）。对于单硬币打赌问题，增值熵是（）其中P1和P2是赢亏的概率，R1和R2是相应的两种产出比；r1和r2是相应的两种收益（率）；R0=1+r0，r0是存款利率或市场利率；q0=1?q；?1=R1?R0=r1?r0，?2=R2?R0=r2?r0，?1和?2是扣除银行利率或市场利率的收益，简称超常收益（excessreturn）。 如果?2>?1>0（只赢不亏），最优比例显然是1。如果?1<?2<0（只亏不赢），最优比例显然是0（不许卖空时）。为了讨论方便，后面我们只讨论?1<0<?2的情况。下面我们用求极值方法求最优比例。令dH/dq=0，得（）整理得最优投资比例公式（）注意上式中的分子正好是期望超常收益。在不许透支也不许卖空的情况下（条件I，II，III成立），最优投资比例是，1>q’>0（）令q'=1得满仓条件（）令期望收益等于R0，于是得到空仓（投资0%）条件（）图直观地显示了q*和（r1，r2）的关系。注意r2/r1不变的点，q*随两者增大而减小，这说明期望收益不变时，收益波动越大，优化的投资比例应越小。图3.1单硬币打赌优化投资比例——r1-r2平面图上的等q*线（不可透支和卖空，R0=；左边：P1=P2=；右边：P1=，P2=）对于节的打赌问题，将，P1=P2=1/2，?1=-1，?2=2，R0=1代入（）得q*=，这就是说，最优下注比例是25%。由（）可得出一个非常有意义的结论。令?1=-1（亏损100%），R0=1，于是有 （）这就是说：只要亏光资金的概率是P1，则不管可能的盈利幅度?2有多大，都不要投入比例超过1?P1的资金。比如说，只要亏光的概率不是0，就一定不要满仓；只要亏光的概率达，就一定不要超过半仓——哪怕有10倍20倍利润的可能。此结论对期货、期权、配股权证、放贷等投资特别有意义。许多人在期货、期权、外汇等交易中损失巨大，或者玩不了多久就赔光出场，原因就在于他们受到可能的高额利润诱惑，持仓比例往往过大。允许透支和卖空时的增值熵及投资比例优化公式（）假设条件I，II，III同时成立。如果条件II不成立，则意味可以从银行或证券公司透支或贷款去投资（比如买股票）。这时增值熵变为（）其中R0'=（1+r0'）（r0'>r0是贷款利率）；q0=max（0，1?q），q0'=max（0，q?1）是贷款比例；?1'=R1?R0'=r1?r0'，?2'同理。最优投资比例是（）其中M=可用资金相对自有资金的倍数=（1+可透支或贷款的倍数）如果存款利率和贷款利率相同，则有R0=R0'，上式简化为（）如果限制条件III也不存在，即允许qk<0，k=1，2，...，N；则意味着可以卖空。什么是卖空在股票和国债市场上，通常我们只能先买后卖。如果可以借别人的股票或国债先卖出，然后买回来补还券主（期望高价卖低价买），则说可以融券卖空。在期货市场上，卖出自己未必拥有的未来的商品，叫抛空，也是卖空的一种。下面我们以可融券股票买卖为例说明投资比例优化。期货的投资比例优化还涉及保证金比例问题。方法类似。假设融券用同样价值的资金抵押，这时剩余资金比例是q0=max（0，1?|q|），贷款比例是q0'=max（0，|q|?1）；（）变为：（）其中??1=r1?（?r0）=r1+r0，意味r1在负方向超出-r0的部分，??2同理；?'?1=r1+r'0，?'?2同理。允许透支和卖空时的最优投资比例公式是：（）上式划分的各个区域（包括空仓区、抛空区、透支区、透支满仓区等）及等q*线如图所示。图3.2单硬币打赌下注比例优化（可透支和卖空，P1=P2=；r0=，r0'=；M=2）对于一般的投资组合（多证券或项目），在允许贷款和卖空时，增值熵由（）变为（）其中（）其它变量参考（）类推。而最优投资比例需用电脑搜索投资矢量空间才能得到。考虑转移成本的增量优化公式转移成本或者说交易手续费（包括证券公司和交易所收取的交易费用和税金等）对交易的影响是显然的，如果转移证券增加的收益抵不上转移成本，转移就不该发生。前面的优化公式中没有考虑交易手续费，从而也没有考虑如何优化转移量。下面我们以单硬币打赌模型（一种证券，两种可能收益）为例说明如何根据手续费优化投资比例增减量。假设1?q??1。设当前投资比例为q#，现金或国债比例为q#0=1?q#，投资比例增量为?q=q?q#（因为1?q??1，所以1?q#??q??1?q#），交易手续费是交易额的d倍（比如对于深沪股市，d=），每一元在交易后变为d'=1?d元（增加头寸用?，减少头寸用+），资金?q在交易后变为?qd’元，于是有增值熵（）令R#01=q#0R0+q#R1，R#02=q#0R0+q#R2，?#1=d'R1?R0，?#2=d'R2?R0，于是得到（）它和前面的式（）非常相似。令dH/d?q=0，得到优化比例增量公式（）当q#=0从而q#