第十一章 Choquet积分

第十一章 Choquet积分 11.1 非负函数的Choquet积分 令 是一个单调可测空间。即， 是一个非空集合， 是 的子集的一个 代数，且 是一个单调测度。同样令 且 是 上的一个非负可测函数。我们看到，由于 的非加性， 关于 的勒贝格积分可能意义不明确。的确，对两个非递减函数序列 和 有 ，其中对每个 有 和 ，可能 幸而，存在某些关于单调测度空间仍是有效的勒贝格积分等价定义。其中之一是8.1节中看到的黎曼积分。以这种方式使用时，积分被称为Choquet积分。 定义11.1. 由 表示的可测集合 上的非负可测函数关于 的Choquet积分由 定义，其中对 有 。当 时， 通常记为 。 由于定义11.1中的 是可测的，我们知道，对 有 ，因此 。所以 对 意义明确。此外， 是关于 非增的集合的类，并同样是 中的集合。因为单调测度 是非递减集合函数，我们知道， 是 的非递减函数，因此，上述黎曼积分有意义。这样，非负可测函数关于一个可测集合上的单调测度的Choquet积分有明确的意义。 下列定理为Choquet积分关于有限单调测度的定义建立一个等价型。 定理11.1. 令 是有限的。则 其中对 有 。 证明：对任意给定的 ，我们有 因为 ，令 ，我们得出 ( 在单调测度是 加性的特殊情况，由于Choquet积分的定义正是勒贝格积分的等价定义，Choquet积分与勒贝格积分一致。所以，Choquet积分是勒贝格积分的实推广。 例11.1. 令 ，对 有 ， 是 中所有博雷尔集合的类，且对 有 ，其中 是勒贝格测度。我们知道 是 代数 上的一个单调测度， 是 上的一个非负可测函数。根据定义11.1， 关于 的Choquet积分是 当上述黎曼积分的被积函数 不能用 的显代数式表示时，或者表达式太复杂，Choquet积分的值不得不用某些数值计算（例如辛普森方法）。 11.2 Choquet积分的性质 不同于勒贝格积分，由于 的非加性，Choquet积分通常关于它的被积函数是非线性的。即，对某些非负的可测函数 和 ，我们可以有 例11.2. 令 ，且 在这种情况， 上的任意函数是可测的。考虑两个函数 和 我们有 和 由于 ，我们得到 这样， 。这说明Choquet积分关于它的被积函数一般不是线性的。 然而，Choquet积分有某些勒贝格积分的性质。这些性质在下列定理列出。 定理11.2. 令 和 是 上的非负可测函数， 和 是可测集合，并且 是一个非负的实常数。则 (1) ； (2) ； (3) 如果在 上 ，则 ； (4) 如果 ，则 ； (5) 证明：这些结果直接从定义11.1得到。我们把详细的证明留给读者。 定理11.3. 若 ，则 ，即，在 上几乎处处 ；反之，如果单调测度 是从下连续的，且 ，则 证明：对第一个结论，从 我们知道对每个 因为 是非负的，对每个 我们有 这样 现在我们着手证明第二个结论。我们先用反证法说明，若 ，对任意 ， 。实际上，对某些 有 意味着对所有 ，由于 是非递减的， 。这样 这与 矛盾。其次， 即， 是递减集合序列 的极限。利用 的从下连续性，我们有 ( 下一个定理中给出的性质称为Choquet积分的可平移性。这对定义11.3节给出的有实值被积函数的Choquet积分是重要的。 定理11.4. 对满足 的任意常数 ，我们有 证明：直接从Choquet积分的定义，注意对每个 ， 在0和 之间时 我们有 ( 11.3 可平移的和对称的Choquet积分 11.1节给出的Choquet积分的定义局限于非负可测函数。在这一节，我们把它扩张到实值可测函数。可以利用来自8.1节对勒贝格积分的指导思想，即把一个实值可测函数分解为两个不同的非负可测函数。 令 是一个单调测度空间， 是一个可测集合， 是 上的实值可测函数。为简化讨论，我们不失普遍性地假设 。 类似于在8.1节，令 和 和 都是非负可测函数。这样，我们可以给出实值可测函数关于一个单调测度的Choquet积分的定义。 定义11.2. 由 表示的实值可测函数 关于单调测度 的对称Choquet积分用差 定义，只要右边两项不都为无穷。 显然，对称Choquet积分式对称的。即对任意实值可测函数 可惜，这样一个积分丢了一个重要并有用的性质，有非负被积函数的Choquet积分有的可平移性。这意味着等式 可能不总是对的，其中 是一个实数。 有一种择一方法，直接使用平移性，对实值可测函数扩展Choquet积分。首先，我们对有下界的可测函数定义可平移的Choquet积分。 定义11.3. 令 且 是 上的一个有下界的可测函数；即，对所有 有 。用 表示的 关于 的可平移Choquet积分是 （11.1） 这个定义是单值的，即 只要 和 都是函数 的下界。 定理11.5. 有下界的被积函数的Choquet积分关于它的被积函数是非递减的。即，对两个有下界的可测函数 和 ，只要 证明：令 。则 。用定理11.2的(3)中所示的结果，我们知道 因此，对非负可测函数，从可平移Choquet积分的定义，我们有 ( 现在，用有下界被积函数的可平移Choquet积分，我们可以对不必是有下界的实值可测函数，定义可平移的Choquet积分。 定义11.4. 令 且 是 上的一个实值可测函数。用 表示的 关于 的可平移Choquet积分是 其中函数 定义为 由于定理11.5和 关于 是非递减的的事实，定义11.4中的极限存在（包括负的和正的无穷）。此外，不难说明，有实值被积函数的可平移Choquet积分同样是非递减的，即，对任意两个满足 的实值可测函数 和 ，我们有 定理11.6. 令 是 上的可测函数。则对任意实数 证明：令 和 我们有 。这样 ( 这个定理说明，定义11.4中引入的可平移Choquet积分对实值可测函数保持可平移性。实际上，对实值可测函数可平移Choquet积分的可供选择的定义，同样可以用8.1节说明的对应实值可测函数的勒贝格积分的等价定义得到。即 （11.2） 这两个可平移Choquet积分定义的等价性的证明，留给读者作为练习。当然，类似于定理11.1，这个可平移Choquet积分定义的等价定义也能表示成 然而，这个形式不对称。即， 可能不是 。事实上，我们有下列定理。 定理11.7. 令 且 是 上的可测函数。则 其中 是由 定义的 的对偶。 证明：我们用给出有实值被积函数的Choquet积分的等价定义的定理11.1。 ( 与对称的Choquet积分相比，可平移Choquet积分更合适，因为对称的Choquet积分违背了原来的可平移性，尽管它有新的对称的性质。况且，实值可测函数的可平移Choquet积分比我们可以在下一节看到的实际问题中的对称Choquet积分更合理。这样，从这一点，我们简称它为Choquet积分并略去积分的类型指标 的下标 。亦即，我们用与11.1节引入的有非负被积函数的Choquet积分相同的符号。同样，在11.5节讨论的应用中我们只用可平移Choquet积分。 11.4 收敛定理 令Choquet积分有明确定义的所有实值可测函数的集合这里用 表示，并令它的由所有有有限值的Choquet积分的可测函数组成的子集用 表示。此外，在这一节我们假设， 上的单调测度 有限且连续。 令 和 。要研究Choquet积分序列的收敛定理，除了第七章讨论过的收敛性之外，我们还需要基于Choquet积分的可测函数序列的收敛概念。 定义11.5. （关于Choquet积分）平均收敛于 ，用 表示，只要 定义11.5中收敛的新概念与第七章引入的收敛的其它概念有关联，如下列定理表示的。 定理11.8. 一致收敛蕴含平均收敛，而后者蕴含依测度收敛。 证明：第一个蕴含从定理11.2中的(1)、(3)和(5)得到。要证明第二个蕴含，我们使用反证法。假设 不依测度收敛于 ，即存在 ，和序列 使得 因为 关于 是非增的，对 我们得到与 的一个矛盾。 ( 利用类似于定理9.6对Sugeno积分采用的方法，我们得到经典法图引理的下列推广。 引理11.1. 令 。如果存在 使得对 有 ，则 引理11.1中 是连续单调测度的条件可以简化成 是下半连续单调测度的条件。此外，可以建立经典有界收敛定理的推广。这里我们略去证明，因为它类似于定理9.7中对Sugeno积分所建立的。 定理11.9. 令 。如果 且存在 使得 上对 有 ，则 引理11.2. 令 且 。如果 是零加性且几乎处处 ，则 证明：因为 且 ，由 的单调性和零加性，我们有 从Choquet积分的定义，我们直接得到 逆不等式可以按类似方法得到。( 下列定理称为几乎处处收敛定理。 定理11.10. 令 是零加性的且 。如果 且存在 使得在 上对 几乎处处 ，则 证明：这个结果直接从定理11.9、引理11.2和 是零加性单调测度时 零集合的可数并仍是一个( 零集的事实得到。( 为了阐述和证明关于Choquet积分序列的收敛的一个重要定理，我们需要如下引理和可测函数序列等度可积性的新概念。 引理11.3. 如果 是自连续的，则对任意根据集包含全序的类 和任意 ，存在 使得只要 ，和 类似地，对 中任意全序类 和任意 ，存在 使得只要 ，和 这里略去引理11.3的证明。读者具体可参考[Wang, 1984]。引理11.3中的第一个结论称为 的局部一致从上自连续，而第二个称为 的局部一致从下自连续。当 满足这些结论时，称为局部一致自连续。 定义11.6. 令 。如果对任意 ，存在 使得对所有 序列 称为在 上等度可积，其中 是 的对偶。 显然，如果存在 使得对所有 有 ， 是等度可积的。 定理11.11. 令 ， 是等度可积的，且 。如果 且 是自连续的，则 证明：不失一般性假设 ，且 。记 。对任意给定的 ，利用 的等度可积性，我们可以找到 使得对任意 因为 根据集包含是全序的，并由引理11.3， 是局部从上自连续的，从上面以及 和 ，我们知道对给定的 存在 使得 只要 和 。这样，对任意 相反，对任意给定的 ，用 的可积性，我们可以找到 使得 因为由引理11.3 是局部从下一致自连续的，从 和 ，我们知道对给定的 存在 使得 只要 和 。这样，对任意 ， 合并这两个不等式，我们得到 ( 从定理11.8和11.1，我们得到下列推论。 推论11.1. 令 ， 是等度可积的，且 。如果 且 是自连续的，则 下列定理证实定理11.11的相反结果。这样，有限单调测度 的自连续性起到Choquet积分序列的单调测度定理中收敛性的充分必要条件的作用。 定理11.12. 如果 ，只要 ， 是等度可积的， 且 ，则 是自连续的。 证明：对任意给定的 和 有 ，取 和 ，对任意 我们有 这表明 。由于 和 从假定 ，得到 。这说明 是自连续的。( 下列定理称为一致收敛定理。 定理11.3. 令 。如果在 上 ，则 证明：对任意给定的 ，存在 使得对任意 和 用定理11.2(3)和定理11.4，我们有 这表明 ， ( 11.5 有限集合上的Choquet积分 在数据库中，属性的数量总是有限的。令 表示属性的一个有限集合。则 是一个可测空间。由 分别表示的 的每个记录（或观测值）正是 上的实值函数 。因为 的幂集被取作 代数， 上的任意实值函数是可测的。定义在 上的单调测度 通常用来描述在 到必然目标中属性的相关重要性和个体重要性。要得到从 到这个目标的整体贡献，我们需要一个聚合工具。由于 的非加性，作为一般的聚合工具，勒贝格积分失效。在这种情况，我们在11.1节看到，Choquet积分可以代替勒贝格积分。 函数 关于单调测度 的Choquet积分像黎曼积分贝定义为 因为 是有限集，一旦 和 给定，我们可以为计算 的值展开一个简单公式。 令 和 。因为 的值在 和 之间，当 我们有 及 时有 。因此利用Choquet积分的可平移性，我们有 如果将函数 ， ，重排成非递减序列为 其中 是 的一个置换，则对 有 时，集合 总是 。这样，我们有 （11.3） 约定 。 当 是一个广义测度，即，当 不必是非递减的，虽然 关于 可能不是单调的，它仍带有有界变分。所以，黎曼积分 和 存在。如果这些积分不都是无限的，Choquet积分 也是有明确定义的。上面给出的计算公式同样可用于关于广义测度的Choquet积分。 选出（见3.4节）任意带号广义测度 可以分解为两个不同的广义测度： ，其中 和 这样，我们可以用 定义函数关于带号广义测度 的Choquet积分。因此， 即，我们有与前面同样的表达式。此外，Choquet积分关于带号广义测度的计算公式与Choquet积分关于广义测度的相同。 现在，我们同样可以看到，使用实值函数的可平移Choquet积分对它的推广和计算相当方便。 例11.3. 回想例8.2，三个工人 和 分别独立工作6天、3天和4天。如果他们有时一起工作，我们必须考虑他们的合作效率，以计算在给定的时间周期制造的玩具总数。我们可以用 表示 和 的合作效率。类似， ， 和 分别是 和 及 和 的合作效率和总效率。假设 和， 。那么随着例8.2中的 ，和 ， 是一个带号广义测度（当然是一个广义测度，因为他是非负的）。它是非加性的。例如， 。这个不等式表明，工人 和 合作很好。 的非加性描述这三个工人对他们制造玩具的总数贡献率之间的相互作用。这样，在给定的周期这三个工人制造的玩具总数取决于他们的合作。假设他们以这样的方式工作：他们在这周的第一天开始一起工作，持续他们的工作到各自工作的最后那天。即，头三天他们全体一起工作；然后 和 一起工作一天；最终其余两天 独立工作。这样，三个工人在这周制造的玩具总数为： 把他们的效率当作一个带号测度 ，工作天数当作这三个工人的集合上的一个函数 ，上面制造的玩具总数正是 关于 的Choquet积分值。事实上，从 ， 和 ，我们有 和 。根据Choquet积分的计算公式，我们有 我们得到相同的制造玩具的总数。 根据8.4节表述的有限集上积分的概览，非负被积函数关于有限集上带号单调测度的Choquet积分简化特殊形式的积分。相应Choquet积分划分可描述如下： 对任意给定的非负函数 ，划分 由 对每个 得到，其中 是 的一个置换使得 并如上面所做的约定 。容易验证 所以， 是 的一个划分。在这样一个划分中，至多只有 个有 的集合 。将集合函数 和 看作 维向量，我们有 。 例11.4. 让我们重新考虑例11.3给定的数据，图11.1说明了相应于Choquet积分 的划分，其中黑色部分、灰色部分和亮的部分分别表现 和 。在其它集合 的值为零。几何上，这个划分规则水平分割函数 。 与勒贝格积分比较，相应于Choquet积分的水平划分规则最大限度地考虑属性的坐标。即，划分的方式尽可能在属性中建立坐标，而相应于后面的垂直划分最小限度地考虑坐标（零坐标）。这是考虑属性坐标中的两种极端情形。 11.6 交错计算公式 在数据挖掘中，学习数据集合在带号测度 的值需要最优估计时给定。这是信息融合的一个反问题。在这样一个问题，因为Choquet积分的值不能表示为 值的线性显函数，上一节表明的计算公式不方便。好在实值函数 关于带号广义测度 的Choquet积分可以用交错公式 （11.4） 表示，其中若对每个 按二进制数 表示 ， 并且对 （11.5） 在上边公式中， 表示 的分数部分，且我们需要在空集上所取的极大值为零的约定。这个公式可以通过替换 和 。这个交错公式的意义在于Choquet积分的现在表示为 值的线性函数。因此，当被积函数 值的数据集合及相应的积分值时可用的，可用代数的方法估算 的最优值。所以，在数据挖掘中，诸如在多重线性回归，这个计算公式比上一节表明的公式(11.3)更方便，尽管后者在信息融合上方便。 至于这个新公式的确认，对 将旧公式重写为 其中 和 并注意，当且仅当 有 ，我们可以看到新公式等价于旧公式。在上面 的表达式，我们需要约定 同时我们应该注意，上面表达式中函数定义为两部分。当对 有 时它们交叠。它们在交叠的 都是零，因此，这两部分是相容的。 附注 11.1. 据说，名称“Choquet积分”是为了相信在他的创造性的工作中[Choquet，1953—54]引入了积分的Gustave Choquet由Schmeidler提出的。然而，实际情况是，Giuseppe Vitali在1925年用意大利语发表的中首次引入这个积分，论文近期才翻成英文[Vitali，1997]。因此在20世纪80年代后期，在文献中相当广泛地讨论了Choquet积分。几个代表性的参考文献是[Benveniuti和Mesiar，2000；De Compos和Bolaños，1992；Dennerberg，1994a，2000a；Grabish等，2000；Grabish和Labreuche，2005；Krätschmer，2003a；Morufushi和Sugeno，1989，1991a,b，1993；Pop，1995；Wang等，1996b，Wang，1997；Wang和Klir，1997a]. 11.2. Šipoš[1979a,b]引入了对称的Choquet积分，并经常在文献中称为Šipoš积分。Denneberg[1994a]，Mesiar和Šipoš[1994]以及Pop[1995]详尽地探讨了这个积分的性质。 11.3. Choquet积分通常是在单调测度的范围讨论的。Murofushi等[1994]Choquet积分关于广义测度的意义。Wang和Ha[2006]研究模糊值函数的Choquet积分，Wang等[2006a]研究关于在模糊集上定义的单调测度的Choquet积分。 练习 11.1. 令 ，对 有 ， 是 中所有博雷尔集的类，且对 有 ，其中 是勒贝格测度。计算 . 11.2. 证明定理11.2. 11.3. 令 是单调测度空间，并令 和 是实值可测函数。证明如果 有 11.4. 找出一个反例来说明，据有实值被积函数的Choquet积分一般不是可平移的。 11.5. 证明定义11.3的无歧义性，即，当 时一个有限单调测度时， 只要 和 都是函数 的下界。 11.6. 如果我们用 定义有实值被积函数的Choquet积分，说明它是可平移的，因此这个定义等价于定义11.3和11.4. 11.7. 将带号广义测度表示为两个不同的广义测度的方式不是惟一的。说明，如果一个带号测度 也能表示为 ，其中 和 是广义测度，则 11.8. 令 。 和 的值在表11.1列出。找出 的值。 表11.1. 练习11.8给出的函数 Set A Set A 0 2 3 4 1 5 4 6 5 3 4 7 6 8 8 9 4 7 3 6 6 8 5 9 7 7 6 8 5 6 9 8 3 7 5 2 1 11.9. 在包含的集合函数 是单调测度的假设下给出了11.2节显示的Choquet积分的性质。当集合函数是广义测度或带号广义测度时，鉴定不再成立的那些性质。 _1360761812.unknown _1360864334.unknown _1360938989.unknown _1360950423.unknown _1360994315.unknown _1360999434.unknown _1361080913.unknown _1361200891.unknown _1361205395.unknown _1361207283.unknown _1361209126.unknown _1361209377.unknown _1361209504.unknown _1361209637.unknown _1361209685.unknown _1361209721.unknown _1361210995.unknown _1361209672.unknown _1361209600.unknown _1361209445.unknown _1361209474.unknown _1361209413.unknown _1361209270.unknown _1361209317.unknown _1361209346.unknown _1361209298.unknown _1361209180.unknown _1361209245.unknown _1361209151.unknown _1361207525.unknown _1361207669.unknown _1361209061.unknown _1361209103.unknown _1361207902.unknown _1361207591.unknown _1361207626.unknown _1361207561.unknown _1361207413.unknown _1361207468.unknown _1361207495.unknown _1361207446.unknown _1361207353.unknown _1361207385.unknown _1361207313.unknown _1361206570.unknown _1361207134.unknown _1361207235.unknown _1361207263.unknown _1361207186.unknown _1361207087.unknown _1361207121.unknown _1361207044.unknown _1361206215.unknown _1361206263.unknown _1361206341.unknown _1361206251.unknown _1361205649.unknown _1361206177.unknown _1361205405.unknown _1361204321.unknown _1361204464.unknown _1361205166.unknown _1361205273.unknown _1361204488.unknown _1361204399.unknown _1361204392.unknown _1361201014.unknown _1361201130.unknown _1361201177.unknown _1361201368.unknown _1361201092.unknown _1361200973.unknown _1361200994.unknown _1361200958.unknown _1361086452.unknown _1361119935.unknown _1361120575.unknown _1361120866.unknown _1361121040.unknown _1361120829.unknown _1361120060.unknown _1361120250.unknown _1361120030.unknown _1361118561.unknown _1361119762.unknown _1361119856.unknown _1361118802.unknown _1361087522.unknown _1361117729.unknown _1361086931.unknown _1361084864.unknown _1361085332.unknown _1361085947.unknown _1361086032.unknown _1361085491.unknown _1361085209.unknown _1361085315.unknown _1361085130.unknown _1361081005.unknown _1361081792.unknown _1361081877.unknown _1361084303.unknown _1361081091.unknown _1361080976.unknown _1361080987.unknown _1361080932.unknown _1361036171.unknown _1361040469.unknown _1361080609.unknown _1361080883.unknown _1361080701.unknown _1361080712.unknown _1361040915.unknown _1361041034.unknown _1361040533.unknown _1361037072.unknown 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