【青岛版】八年级数学下册专题讲练《巧用三角形中位线试题》含答案

青岛版八年级数学下册专题讲练含 巧用三角形中位线 1. 三角形中位线定义 连结三角形两边中点的线段叫中位线。 注意：（1）要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。 （2）三角形有三条中位线。 2. 定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 如果EF为△ABC的中位线，则EF∥BC且EF= BC。 注意：位置关系——平行 数量关系——等于第三边的一半 3. 三角形中位线定理的应用： （1）证明角相等关系； （2）证明线段的倍分以及相等关系； （3）证明线段平行关系。 例题1 如图，自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，垂足分别为D、E。 求证：DE∥BC。 解析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明三线合一易证D是AG的中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AHG的中位线，当然有DE∥BC。 答案：证明：延长AD、AE交BC、CB的延长线于G、H， ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2， 又∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠BDG=90º ∴△ABG为等腰三角形 ∴AD=DG，同理可证，AE=GE， ∴D，E分别为AG，AH的中点，  ∴ED∥BC 点拨：本题巧妙地应用了等腰三角形的三线合一，但最终还是利用中位线的性质得出结论。 例题2 如图，已知平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EF，交BD于M点。 求证：（1）BM= BD；（2）ME=MF。 解析：（1）由E、F分别为AB、BC的中点想到连结AC，由平行线等分线段定理可证得BM=MO。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD，即BM= BD。（2）由问题(1)中的辅助线，即连结AC，由三角形中位线定理可得 ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。 答案：证明：（1）连结AC，交BD于O点， ∵E、F分别为AB、BC中点， ∴EF∥AC， ∴BM=MO= BO 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO=OD= BD，AO=OC= AC， ∴BM= BO= BD； （2）∵M是BO的中点，E、F分别是AB、BC的中点。 ∴ME= AO，MF= OC，又∵AO＝OC，∴ME＝MF。 点拨：问题（1）运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。 三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线是一个重点也是一个难点。要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理。 例题 如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：∠ATF=∠BSF。 解析：连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD，EH= AD，FH∥BC，FH= BC，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证。 答案：证明：如图，连结AC，取AC的中点H，连结EH、FH， ∵E、F分别是CD、AB的中点， ∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线， ∴EH∥AD，EH= AD，FH∥BC，FH= BC ∵AD=BC， ∴EH=FH， ∴∠EFH=∠FEH， 又∵EH∥AD，FH∥BC， ∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH， ∴∠ATF=∠BSF。 点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键。 （答题时间：30分钟） 一、选择题 1.（宜昌）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述错误的是（　　） A. AB=24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2 2.（泸州）如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3.（泰安）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连结DC并延长到E，使CE= CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F。若AB=6，则BF的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 4. （福州模拟）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连结OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 12 5.（邢台二模）如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为（　　） A. 20 B. 40 C. 36 D. 10 二、填空题 6. （怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC=　_________　。 7.（邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。∠A=30°，AB=8，则DE的长度是_________。 8.（沈阳）如图，△ABC三边的中点D，E，F组成△DEF，△DEF三边的中点M，N，P组成△MNP，将△FPM与△ECD涂成阴影。假设可以随意在△ABC中取点，那么这个点取在阴影部分的概率为_________。 9.（天桥区一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为_________。 10.（海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点。若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为_________。 三、解答题 11.（南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F。 （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？ 12.（鞍山一模）（1）如图1所示，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接FE并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD。（提示取BD的中点H，连结FH，HE作辅助线） （2）如图2所示，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度。 一、选择题 1. D 解析：∵M、N分别是AC，BC的中点， ∴MN∥AB，MN= AB， ∴AB=2MN=2×12=24m， △CMN∽△CAB， ∵M是AC的中点， ∴CM=MA， ∴CM：MA=1：1， 故描述错误的是D选项。 2. C 解析：由等边△ABC得∠C=60°， 由三角形中位线的性质得DE∥BC， ∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°， 3. C 解析：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6， ∴CD= AB=3。 又CE= CD， ∴CE=1， ∴ED=CE+CD=4。 又∵BF∥DE，点D是AB的中点， ∴ED是△AFB的中位线， ∴BF=2ED=8。 4.B 解析：∵BD，CE是△ABC的中线， ∴ED∥BC且ED= BC， ∵F是BO的中点，G是CO的中点， ∴FG∥BC且FG= BC， ∴ED=FG= BC=2， 同理GD=EF= AO=1.5， ∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7。 5. A 解：∵A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形，AC=8，BD=10， ∴A1D1=B1C1= BD=5，A1B1=C1D1= AC=4，A1D1∥BD∥B1C1，A1B1∥AC∥C1D1， ∵四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直， ∴四边形A1B1C1D1是矩形， ∴SA1B1C1D1=5×4=20。 二、填空题 6. 1：4 解析：∵D、E是边AB、AC上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE= BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC=（1：2）2=1：4。 7. 2 解析：∵D为AB的中点，AB=8， ∴AD=4， ∵DE⊥AC于点E，∠A=30°， ∴DE= AD=2。 8. 解析：∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴ED∥AB，且DE= AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴ = = ， ∴S△CDE= S△CBA。 同理，S△FPM= S△FDE= S△CBA， ∴S△FPM+S△CDE= S△CBA， 则 = 。 9. 16 解析：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2， ∴BC=2EF=2×2=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周长为4BC=4×4=16。 10. 64° 解析：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是三角形ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠AFC=90°，E为AC的中点， ∴EF= AC，AE=CE， ∴EF=CE， ∴∠EFC=∠ECF， ∴∠ECF=∠EFC= ∠ACB=26°， ∴∠FAE的度数为90°﹣26°=64°， 三、解答题 11. 解：（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， 又∵EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形。 理由如下：∵D是AB的中点， ∴BD= AB， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE= BC， ∵AB=BC， ∴BD=DE， 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形。 12.（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH。 ∵E、F分别是BC、AD的中点， ∴EH∥AB，EH= AB，FH∥CD，FH= CD， ∵∠BME=∠CNE，∠BME=∠HEF，∠CNE=∠HFE，∴∠HEF=∠HFE。 ∴HE=HF， ∴AB=CD； （2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH， ∴EH∥AB，EH= AB，HO∥DC，HO= DC。 ∵AB=CD， ∴HO=HE， ∴∠HOE=∠HEO， ∵∠OEC=60°， ∴∠HEO=∠AGO=60°， ∴△OEH是等边三角形， ∵AB=DC=5， ∴OE= 。 PAGE 1 _1481914372.unknown _1481914380.unknown _1481914624.unknown _1481914708.unknown _1481914788.unknown _1481915228.unknown _1481914761.unknown _1481914631.unknown _1481914672.unknown _1481914630.unknown _1481914384.unknown _1481914391.unknown _1481914536.unknown _1481914537.unknown _1481914535.unknown _1481914385.unknown _1481914386.unknown _1481914382.unknown _1481914383.unknown _1481914381.unknown _1481914376.unknown _1481914378.unknown _1481914379.unknown _1481914377.unknown _1481914374.unknown _1481914375.unknown _1481914373.unknown _1481722113.unknown _1481914355.unknown _1481914370.unknown _1481914371.unknown _1481914369.unknown _1481722115.unknown _1481723994.unknown _1481722114.unknown _1481721937.unknown _1481722111.unknown _1481722112.unknown _1481722077.unknown _1481721618.unknown _1481721895.unknown _1481721896.unknown _1481721232.unknown _1481721249.unknown _1481721250.unknown _1481721233.unknown _1481720223.unknown