武汉科技大学武汉科技大学_信号与系统习题精解第4章

第4章 时域离散信号的频域 4.1 学习要点 1. z变换的定义 序列 的z变换定义为： (4-1) 单边z变换定义为： (4-2) 对因果序列，单边z变换与双边z变换相等。 2. z变换的收敛域 并不是所有序列的z变换对所有 值都是存在的。序列的z变换存在，就必须有 (4-3) 又因为 ，则要求 (4-4) 根据罗朗级数的性质，z变换的收敛域一般是某个环域： ，式中 < ， 可小到0， 可以大到 。求序列的z变换，必需给出收敛域，因为不同序列的z变换可能相同，但收敛域不同。讨论z变换的收敛域问不仅涉及z变换的存在性和惟一性，而且由收敛域的形态，可大致推断出其对应信号的类型，归纳于4-1中。 表4-1 序列类型与收敛域的对应关系 序列类型 收敛域 有限长序列 右边序列 左边序列 双边序列 3. z反变换 已知 及其收敛域，反过来求序列 的变换称为z反变换。z反变换的定义为： (4-5) c为 收敛域内环绕原点的一条逆时针闭合围线。直接计算围线积分是比较麻烦的，一般采用幂级数展开法、留数法和部分分式展开法。 （1） 幂级数展开法 幂级数展开法，又叫长除法。根据z变换的定义，可用长除法将 展开为幂级数形式，其系数就是相应的原序列的值。幂级数展开法的一般步骤：①根据收敛域确定对应的序列是因果序列还是反因果序列；②若为因果序列，可将 展成负幂级数（分子、分母也按 的降幂排列），若为反因果序列，可将 展成正幂级数（分子、分母也按 的升幂排列）；③序列的规律。 （2） 留数法 对于有理z变换，式(4-5)的围线积分可用留数定理来计算。设在有限的 平面上， 是 在围线 内部的极点集， 是 在围线 外部的极点集。根据柯西留数定理，有 (4-6) 或 (4-7) 围线 内的极点一般对应于一个因果序列，而 外的极点对应于一个反因果序列，因此当 时，使用式(4-6)；当 时，使用式(4-7)。 如果 是 的有理函数，且 处有 阶极点，即 (4-8) 式中， 在 处无极点，那么 在 处的留数可用下式计算 (4-9) （3）部分分式展开法 同拉普拉斯反变换一样，z反变换也可使用部分分式展开法来求取原序列。其主要思想依然是将有理分式的象函数分解为基本己知序列的象函数之和，从而求出原序列。若 为两个多项式 和 的比，设 和 的阶次分别为 和 。当 且 只有一阶极点时，则 可以表示成下列形式的部分分式展开式。 (4-10) 式中， 是 的极点。 可由极点上的留数求得，即 = (4-11) 如果 ，则 可展开成如下形式： (4-12) 式中， 可直接用长除法得到， 仍由式(4-11)求得。如果 具有多阶极点，则需要对式(4-12)进行修正，设 在 处有一 阶的重极点，其余为单极点， 可展为： (4-13) 其中， 计算同上。 为： (4-14) 部分分式展开法的步骤：①求出 的所有极点；②根据极点进行部分分式分解，求出 、 和 ；③根据收敛域，分清哪些部分分式对应的是因果序列，那些部分分式对应的是反因果序列；④根据常用序列z变换，求出 所对应的 。 在已知 及其收敛域求解序列 的三种中：幂级数展开法原理简单，但一般得不到封闭解；留数法能得到封闭解，但需要讨论多种情况；相比较而言，部分分式展开与收敛域相结合的方法是最适用的。当然也可以应用z变换的性质来求z反变换，灵活掌握z变换的性质不仅能简化求z变换的运算，也能简化求z反变换的运算。 4. z变换的性质 将z变换的基本性质列于表4-2中。 表4-2 z变换的基本性质 序列 Z变换 收敛域 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 为因果序列， 12． 为因果序列， 的极点都在单位圆内 13． 5. 序列傅里叶变换 序列 的傅里叶变换定义为： （4-15） 反变换的定义为： (4-16) (4-15)和(4-16)式组成一对傅里叶变换公式。在物理意义上， 表示 的频谱密度，简称频谱， 为数字域频率。 一般为复数，可用实部和虚部表示为： (4-17) 或用幅度和相位表示为： (4-18) 其中 (4-19) (4-20) 序列傅里叶变换有两个特点： (1) 是以 为周期的 的连续函数。这是因为 ，所以从式（4.6-1）可得出 。 (2) 当 为实序列时， 的幅值 在 区间内是偶对称函数，相位 是奇对称函数。 序列傅里叶变换是单位圆上的z变换。只有绝对可和的序列（即 ）才能用（4-15）式求傅里叶变换。特殊地，周期序列需要引入冲激信号，才能得到周期序列的傅里叶变换。 6. 序列傅里叶变换的性质 表4-3列出了序列傅里叶变换的一些重要性质。 表4-3 序列的傅里叶变换的有关性质 时域离散信号 傅里叶变换 1．线性 2．移位 3．调制 4．反转 5．乘以n 6．复共轭 7．卷积 8．相乘 9．对称性 7. 周期序列傅里叶级数 定义 ，周期序列的傅里叶级数（DFS）变换对为： (4-21) 将 和 进行周期延拓可得， (4-22) (4-23) 式（4-22）和(4-23)表明：（1）将周期序列分解成 次谐波，第 次谐波频率为 ， ，幅度为 ；（2）基波分量的频率是 ，幅度是 。一个周期序列可以用离散傅里叶级数表示其频谱分布规律。（3）DFS具有线性性质、移位性质、调制性质和时域、频域卷积性质。 8. 周期序列傅里叶变换 对于一般的周期序列 ，其傅里叶变换为： （4-24） 式中 为离散傅里叶级数， 。表4-4中给出了一些常用序列的傅里叶变换。 表4-4 常用序列的傅里叶变换 常用序列 傅里叶变换 1 为有理数 为有理数 为有理数 周期序列傅里叶变换是以 为周期的频率为 的一系列冲激，这是周期序列频谱和非周期序列频谱的最大区别。 进而联系时域连续信号的频谱特点，可以总结出：时域的连续性对应频域的非周期，时域的离散性对应频域的周期性，时域的周期性对应频域的离散性，时域的非周期对应频域的连续性。 9. 序列z变换、序列傅里叶、时域连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换之间的关系 序列z变换、序列傅里叶变换和时域连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换有着千丝万缕的联系。 （1）在连续域，信号傅里叶变换是虚轴上的拉普拉斯变换，即 （4-25） （2）在离散域，序列傅里叶变换是单位圆上的z变换，即 （4-26） （3）将连续域和离散域结合起来，当 ，序列z变换等于时域连续信号拉普拉斯变换 以 为周期进行的周期延拓，即 （4-27） 序列傅里叶变换 等于时域连续信号傅里叶变换 以 为周期进行的周期延拓，即 （4-28） （4） 平面和 平面的关系。令 ， ，由 得到 ，因此 (4 –29) (4-30) 根据式(4-29)，当 时，有 ，即 平面中的 轴映射到 平面中的单位圆上；当 时，有 ，即 平面的左半平面映射到 平面的单位圆内部；当 时，有 ，即 平面的右半平面映射到 平面的单位圆外部。根据式(4-30)，当 从 增加到 时， 则由 增加到 ，即辐角旋转一周，或将整个 平面映射一次。这样，当 再增加 （一个采样频率）时，则 相应地又增加 ，即辐角再次旋转一周，或将整个 平面又映射一次。因此， 平面上宽度为 的水平带映射到整个 平面，左半带映射到单位圆内部，右半带映射到单位圆外部，长度为 的虚轴映射成单位圆周。由于 平面可被分成无限条宽度为 的水平带，所以 平面可映射到 平面无限多次。由于这些 平面重叠在一起，因此这种映射不是简单的一一映射。图4-1描述了这种映射关系。 4.2 精选例题 例1 利用z变换的性质求下列序列的z变换，并注明收敛域。 （1） （2） （3） （4） 解： （1） 所以 （2）因为 所以 （3）因为 所以 （3） 因为 又因为 所以 例2 因果序列的z变换如下，求 、 、 。 解：由z变换的定义得 是关于z的幂级数，所以 例3 已知 ，求下列信号的z变换。 （1） （2） 式中， 为正整数。 解：（1） 所以 （2） 例4 已知象函数 求其收敛域分别为（1） ；（2） ；（3） 时对应的原序列 。 解：将 进行部分分式分解，得 所以 ① （1） 当收敛域为 时， 为因果序列，查表4-1得原序列 （2） 当收敛域为 时，式①等号右端第一项对应因果序列，第二、三项对应反因果序列，查表4-1得原序列 （3） 当收敛域为 时，式①等号右端第一、二项对应因果序列，第三项对应反因果序列，查表4-1得原序列 例5 已知序列 ， 是信号 的傅里叶变换，求： （1） 的值； （2） 的值； （3） 的值。 解： （1） 由离散时间傅里叶变换的定义式 ，当 时， （2） 由离散时间傅里叶反变换的定义式 EMBED Equation.3 ，当 时， （3） 由帕斯瓦尔定理得 。 例6 是一个实的且为偶周期信号，周期为 ，傅里叶级数系数为 ，已知： ， ， ， 。确定 ， ， ，和 的值。 解：因为 是一个实的且为偶周期信号，周期为 ，所以 。 又因为 ， ，傅里叶级数系数 ，所以 例7 已知某离散时间序列 ，其傅里叶变换 如例7图所示。 ， 分别画出 ， 的频谱 ， 。 例7图 解： （1） FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= = = = 或者 FT[ ]= （2） FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= ， 的频谱 ， 如例7解图所示 。 例7解图 4.3 习题精解 1. 求出以下序列的z变换及收敛域。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解： （1）ZT[ ] （2）ZT[ ] （3）ZT[ ] （4）ZT[ ]=1， （5）ZT[ ]= ， （6）ZT[ ]= 2. 求以下序列的z变换及收敛域，并在 平面上画出零-极点分布图。 （1） （2） （3） 解： （1） =0，零点为： ； =0，极点为： 零极点分布图如题2解图（a）所示，图中 处的零极点相消。 （2） = 零点： ，极点： ， 零极点分布图如题2解图（b）所示。 （3）令 ，则 ， 因为 因此得到 极点为： ， ，零点为： ； 在 处的零极点相消，收敛域为： ，零极点分布图如题2解图（c）所示。 （a） （b） （c） 题2解图 3. 已知： 求出对应 的各种可能的序列表达式。 解： 有两个极点： ， ，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况： ， ， 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1） 当收敛域为 时，由收敛域可得原序列为左边序列。 查表4-1可得 （2） 当收敛域为 时， 由收敛域可得 对应的原序列为右边序列，而 对应的原序列为左边序列，查表4-1可得 （3） 当收敛域为 时，由收敛域可得原序列为右边序列。 查表4-1可得 4.已知 。分别求 （1） 的z变换； （2） 的z变换； （3） 的z变换。 解： （1） ， （2） ， （3） ， 5.已知 ，分别求： （1）收敛域 对应的原序列 ； （2）收敛域 对应的原序列 。 解： 有两个极点： ， ，所以利用部分分式进行展开为： 其中 所以 （1）收敛域 对应的原序列 ，由收敛域可得 对应的原序列为左边序列，而 对应的原序列为右边序列，查表4-1可得 （2）收敛域 对应的原序列 ,由收敛域可得 、 对应的原序列都为右边序列，查表4-1可得 6.分别用长除法、部分分式法求以下 的反变换： （1） （2） 解： （1）部分分式法： 有两个极点： ， ，所以利用部分分式进行展开为： 所以 由收敛域 可得原序列为右边序列，查表4-1可得 长除法 （2）部分分式法： 有两个极点： ， ，所以利用部分分式进行展开为： 所以 由收敛域 可得原序列为左边序列，查表3-2可得 长除法 … 0 8 -4 32 -16 128 … 7.设确定性实序列 的自相关函数用下式表示： 试用 的Z变换 和傅里叶变换 分别表示自相关函数的Z变换 和傅里叶变换 。 解： 令 ，则 = 或者 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 因为 是实序列， ，因此 = 。 8.设 和 分别是 和 的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 解： （1） FT[ ]= 令 ， ，则 FT[ ]= （2） FT[ ]= （3） FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= EMBED Equation.3 （4） FT[ ]= EMBED Equation.3 证明 = FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= = = EMBED Equation.3 （5） FT[ ] = = = = 或者 FT[ ]= （6） 因为 ，对该式两边对 求导，得到 FT[ ] 因此 FT[ ]= （7） FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= = = = 或者 FT[ ]= （8） FT[ ]= 利用（5）题结果，令 ，则 FT[ ]= = （9） FT[ ]= 令 ，则 FT[ ]= 9.已知 求 的傅里叶反变换 。 解： 10.线性时不变系统的频率响应 ，如果单位序列响应 为实序列，试证明 的稳态响应为 解： 假设输入信号 ，系统单位脉冲响应为 ，系统输出为 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 = = 上式中 是 的偶函数，相位函数是 的奇函数，即 = ， = 11.试证当 为实序列且具有偶对称或奇对称时，即 或 时，频谱具有线性相位。 证明：因为当 为实偶序列时， 也是实偶函数，相角为0； 当 为实奇序列时， 为是纯虚奇函数，相角为 。 12.设题图12所示的序列 的傅里叶变换用 表示，不直接求出 ，完成下列运算。 （1） ； （2） ； （3） ； （4）确定并画出傅里叶变换实部 的时间序列 ； （5） ； （6） 。 解：（1） = （2） = = （3） = （4）因为傅里叶变换的实部对应序列的共轭对称部分，即 = 按照上式画出 的波形如题12解图所示： 题12解图 （5） = （6）因为 因此 = 13.试求如下序列的傅里叶变换。 （1） （2） （3） （4） 解： （1） （2） （3） （4） = = = 或者 = = 14.设 （1） 是实偶序列， （2） 是实奇序列， 分别分析推导在以上两种假设下，其 的傅里叶变换的性质。 解：令 （1） 是实偶函数， 两边取共轭，得到 因此 上式说明 是实序列， 具有共轭对称性质。 由于 是偶函数， 是奇函数，那么 因此 该式说明 是实函数，且是 的偶函数。 总结以上 是实偶函数时，对应的傅里叶变换 也是实偶函数。 （2） 是实奇函数， 上面已经推出，由于 是实序列， 具有共轭对称性质，即 由于 是奇函数， 是奇函数，那么 因此 该式说明 是纯虚数，且是 的奇函数。 15.设 ，试求 的共轭对称序列 和共轭反对称序列 ，并分别用图表示。 解： ， 和 的波形如题15解图所示。 题15解图 16.设 ，分别求出 的偶序列 和奇序列 的傅里叶变换。 解： 因为 的傅里叶变换对应 的实部， 的傅里叶变换对应 的虚部乘以j，因此 FT[ ]= = = FT[ ]= = = 17.若序列 是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式 求序列 及其傅里叶变换 。 解： 18.若序列 是实因果序列， ，其傅里叶变换的虚部为 求序列 及其傅里叶变换 。 解： 19.设系统的单位序列响应 ，输入序列为 完成下列各题 （1） 求出系统输出序列 ； （2） 分别求出 、 和 的傅里叶变换。 解： （1） EMBED Equation.3 *[ ]= + （2） 20.已知 ，式中 ，以采样频率 对 进行采样，得到采样信号 和时域离散信号 ，试完成下面各题： （1）写出 的傅里叶变换表达式 ； （2）写出 和 的表达式； （3）分别求出 的傅里叶变换和 的傅里叶变换。 解： （1） 上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，其傅里叶变换可表示成： EMBED Equation.3 （2） ， ， （3） = 式中 = = 式中 上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数 函数，才能写出其傅里叶变换表示式。 � EMBED Visio.Drawing.11 ��� 题12图 图4-1 s平面到z平面的映射关系 (b) z平面 (a) s平面 � EMBED Visio.Drawing.11 ��� � EMBED Visio.Drawing.11 ��� � EMBED Visio.Drawing.11 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 30 85 _1284724865.unknown _1284727518.unknown _1285481928.unknown _1286815595.unknown _1289830495.unknown _1289830821.unknown _1289833922.unknown _1289838668.unknown _1289910238.unknown _1289928121.unknown _1289928540.unknown _1292659161.unknown _1292661143.vsd × Re[z] jIm[z] × _1292663056.unknown _1292663066.unknown _1292662908.vsd 0.5 1 0 1 2 3 -1 -2 -3 _1292662938.vsd 0.5 -0.5 0 1 2 3 -1 -2 -3 _1292662097.vsd 2 1 0.5 -0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 _1292660065.vsd 1 0 _1292660846.vsd × Re[z] jIm[z] _1292660038.vsd 0 1 _1289929937.unknown _1289973731.unknown _1289973839.unknown _1289930583.vsd 1 0 _1289928736.unknown _1289928734.unknown _1289928735.unknown _1289928733.unknown _1289928398.unknown _1289928451.unknown _1289928495.unknown _1289928443.unknown _1289928247.unknown _1289928269.unknown _1289928187.unknown _1289924479.unknown _1289925257.unknown _1289928090.unknown _1289925417.unknown _1289928032.unknown _1289925314.unknown _1289924648.unknown _1289924726.unknown _1289924534.unknown _1289922991.unknown _1289924457.unknown _1289922950.unknown _1289922849.unknown _1289922912.unknown _1289910345.unknown _1289909226.unknown _1289909515.unknown _1289909714.unknown _1289909905.unknown _1289909571.unknown _1289909487.unknown _1289909317.unknown _1289909352.unknown _1289909288.unknown _1289839515.unknown _1289839535.unknown _1289839043.unknown _1289839505.unknown _1289834300.unknown _1289838386.unknown _1289838443.unknown _1289834514.unknown _1289834248.unknown _1289834254.unknown _1289833932.unknown _1289834087.unknown _1289832522.unknown _1289833347.unknown _1289833708.unknown _1289833907.unknown _1289833499.unknown _1289833265.unknown _1289833281.unknown _1289832553.unknown _1289832614.unknown _1289831231.unknown _1289831582.unknown _1289831641.unknown _1289831520.unknown _1289831165.unknown _1289831180.unknown _1289831016.unknown _1289830704.unknown _1286815945.unknown _1289546876.unknown _1289555763.unknown _1289830219.unknown _1289830336.unknown _1289830389.unknown _1289830308.unknown 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