整式的加减

合德教育学科老师讲义学员姓名：李智鹏年级：初一科目：数学学科老师：尤永龙上课日期：2011.07.07时间：08:00-10:00课题整式的加减教案2.1.1单项式教案目标．知识与技能1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数．重、难点与关键．重点：单项式的有关概念．．难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．教案过程一、新授236a，a，2.5x，vt，-n．观察上面各式中运算有什么共同特点？6a2表示上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，?它们都是数字与字母的积，例如：6×a2，a3表示1×a3，2.5x表示2.5×x，vt表示1×v×t，-n?表示-1×n．-2，a，像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．如：1，都是单项式，而1，1+x都不是单项．3a1，-n的系数是-1，-ab的系单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2的系数是6，a3的系数是5数是-1．51或-1时通常省略不写．单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项式的系数是一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x?中字母x的指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4次单项式．二、范例学习例1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．1）每包有12册，n包书有_______册．（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是______．3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_______．（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在售价为_____元．（5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长方形的面积是_________．三、巩固练习．下列各式是不是单项式？为什么？（1）x-2y；（2）-x;(3)4;(4)ab；（5）-1．5m5．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．（1）单项式-xy2的系数是0，次数是2．（2）单项式27a2的系数是2，次数是9．n（3）单项式-2xy的系数是-2，次数是n+1．331/123．请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式．4．课本第56页练习1、2题．四、课堂小结1．什么叫单项式？举例说明．2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？x是单项式吗？为什么？a．什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明．第一课时作业设计一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）3．m的系数是0，次数也是0．（）4．单项式xy的系数是，次数是2．（）44二、填空题．27ab35．xyz的系数是________，次数是________．6．-的系数是______，次数是_______．7．如果单项式-2x2yn与单项式a4b的次数相同，则2n=________．．写出系数为5，含有x、y、z?三个字母且次数为4?的所有单项式，?它们分别是_______．三、选择题．9．下列各式中单项式的个数是（）．3，x+1，-21，-a,0.72xy,x1．x242A．2个B．3个C．4个D．5个10．单项式-x2yz2的系数、次数分别是（）．A．0.2B．0.4C．-1，5D．1，4四、解答题．11．苹果的价格比梨贵35%，如果梨的价格是每千克m元，那么苹果的价格是多少？如果梨的价格比苹果便宜10%，梨的价格仍是每千克m元，那么苹果的价格是多少？12．买一级肉5千克和买二级肉6千克用的钱同样多，如果一级肉每千克a元，那么二级肉每千克多少元？如果用买b千克一级肉的钱去买二级肉，可以买多少千克？2/122.1.2多项式教案目标使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．重、难点与关键．重点：多项式以及有关概念．．难点：准确确定多项式的次数和项．教案过程一、复习提问1．什么叫单项式？举例说明．2．怎样确定一个单项式的系数和次数？-3ab2c的系数、次数分别是多少？73．列式表示下列问题：（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．（3）如图1，三角尺的面积为________．（4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平方M．(1)(2)上面列出的式子2x-3，3x+5y+2z，122ab-r，x+2x+18，它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单2项式有什么关系？2x-3可看作2x与-3的和：3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样1ab-r2看作1ab与-r2的22和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和．二、新授请同学们阅读课本第57页有关内容，并回答下列问题．．几个单项式的和叫做_________；2．在多项式中，每个单项式叫做_________；3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．．多项式的次数与单项式的次数有什么区别？6（1）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，?首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．（2）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，?如，?多项式3x2y-1xy2+x2-xy-5中，最高12次项为3x2y和-xy2，二次项也有2项，x2和-xy，?这个多项式为二次五项式．2单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．三、范例学习例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．（2）甲数x的1与乙数y的1的差可以表示为_________．32（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．3/12例2．一条河流的水流速度为2.5千M/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、?乙两条船在静水中的速度分别是20千M/时和35千M/时，?则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？四、巩固练习．下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？3x，2x-1，m1，-ab，-5，2-1，3m-4n+m2n．3x2．判别正误：（1）多项式-x2y+2x2-y的次数2．（）（2）多项式-1-a+3a2的一次项系数是1．（）（3）-x-y-z是三次三项式．（）2五、课堂小结．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？．什么叫多项式的项？什么叫做常数项？举例说明？．什么叫做多项式的次数？第二课时作业设计一、填空题．32311ab，2xy,x923，中，单项式的是______，多项式的是_______．．式子-，-abc，1，x-2x+3，+1532ax2．多项式-x2y是_______次_______项式，最高次项的系数是______，常数项是________．+2x-33．2x2-3xy2+x-1的各项分别为________．二、选择题．4．一个五次多项式，它任何一项的次数（）．A．都小于5B．都等于5C．都不小于5D．都不大于55．下列说法正确的是（）．A．x2+x3是五次多项式B．ab不是多项式C．x2-2是二次二项式D．xy2-1是二次二项式3三、列式表示．6．n为整数，不能被3整除的整数表示为________．7．一个三位数，十位数字为x，个位数字比十位数字少3，?百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数可表示为________．8．某班有学生a人，若每4人分成一组，有一组少2人，则所分组数是________．9．如图所示，阴影部分的面积表示为________．．用火柴棒按图4的方式搭塔式三角形．1）观察填表：一条边火柴棒根数1234小三角形个数火柴棒总根数（2）照这样下去，搭起的大三角形一条边用了n根火柴棒，这样的小三角形有多少个？4/12整式(3)教案目的和要求：1．理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。2．通过尝试和交流，让学生体会到多项式升(降)幂排列的可行性和必要性。教案重点和难点：重点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。难点：会进行多项式的升(降)幂排列，体验其中蕴含的数学美。教案过程：二、讲授新课：1．升幂排列与降幂排列：x的指数是逐渐变小(或变大)的。我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排这两种排列有一个共同点，那就是列。例如：把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。1板书由学生自己归纳得出的多项式概念。上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。像这样，几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项其中，不含字母的项，叫做常数项例如，多项式3x22x5有三项，它们是3x2，－2x，5。其中5是常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式3x22x5是一个二次三项式。注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；(2)多项式的每一项都包括它前面的符号。2．例题：例1：游戏：规则：五个学生上前自己选一张卡片，根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。例如：＋3x2y2－7xy3＋2y－11x7y5－35x3按x降幂排列：－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3752＋2y式子：－11x3＋27xy3＋2yy－35x3xy－例2：把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。2π、－π2、3π。说明：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为例3：把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。(1)按a升幂排列；(2)按a降幂排列。观察上面两个排列，从字母b的角度看，它们又有何特点？(由学生参照例题自己解答。)例4：把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列。例5：把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。(1)按字母x的升幂排列得：；(2)按字母y的升幂排列得：。注意：(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。三、课堂小结：对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。在排列时我们要注意：重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升(降)幂排列。2.2整式的加减(1)教案目标:知识与技能5/12（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，?能正确合并同类项．2）能先合并同类项化简后求值．重、难点与关键1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．2．难点：多字母同类项的合并．教案过程一、新授我们来看本章引言中的问题（2）．在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+120×2.1t，即100t+252t1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？（1）运用有理数的运算律计算：100×2+252×2=______；100×（-2）+252×（-2）=________．（2）根据（1）中的完成下面的运算，并说明其中的道理．思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得：100t+252t=________．2．填空:（1）100t-252t=（）t；（2）3x2+2x2=（）x2；（3）3ab2—4ab2=（）ab2．具备什么特点的多项式可以合并呢？观察（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）?中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，?几个常数项也是同类项．．思考：下列各组是不是同类项：1）0.5x2y和0.2xy2；（2）4abc和4ab；（3）-5m2n3和2n3m2；（4）7xnyn+1和-3xnyn+1．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0．多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．二、范例学习例1．合并下列各式的同类项：（1）xy2-1xy2；（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2；（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．5例2．（1）求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x=1．22）求多项式3a+abc-1c2-3a+1c2的值，其中a=-1，b=2，c=-3．336例3．（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，?第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？6/12（2）某商店原有5袋大M，每袋大M为x千克，上午卖出3袋，?下午又购进同样包装的大M4袋，进货后这个商店有大M多少千克？三、课堂小结．什么叫同类项？字母相同，次数也相同的项是同类项吗？举例说明．．什么叫合并同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什么？对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值．作业设计一、填空题．1．如果5x2y与1xmyn是同类项，那么m=______，n=______．22．合并同类项：（1）-a-a-2a=________．（2）-xy-5xy+6yx=________．二、选择题．（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______．3．下列各组式子中是同类项的是（）．222221A．-2a与aB．2ab与3abC．5abc与-bacD．-7ab2和4ab2c4．下列运算中正确的是（）．A22222C22=3D2-x=2x．3a-2a=aB．3a-2a=1．3x-x．3x三、合并下列各式中的同类项:55212-x22222．-7mn+mn+5nm。6．x-x。7．3ab-4ab-4+5ab+2ab+7．623四、求下列各式的值:8．3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-112．9．a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．10．2（x-2y）2-4（2x-y）+（x-2y）2-3（2x-y），其中x=-1，y=1．2[提示：分别把（x-2y），（2x-y）看作一个整体]7/12第25课时2.2整式的加减(2)教案目标能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．重、难点与关键．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．教案过程一、新授利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？现在我们来看本章引言中的问题（3）：在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，?那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千M，?非冻土地段的路程为120（t-0.5）千M，因此，这段铁路全长为100t+120（t-0.5）千M①冻土地段与非冻土地段相差100t-120（t-0.5）千M②上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？二、范例学习（2）（5a-3b）-3（a2-2b）．例1．化简下列各式：（1）8a+2b+（5a-b）；例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，?两船在静水中的速度都是50千M/时，水流速度是a千M/时．（1）2小时后两船相距多远？（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千M？三、巩固练习1．课本第68页练习1、2题．2．计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2．四、课堂小结去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．课时作业设计一、选择题:1．下列各式化简正确的是（）．A．a-（2a-b+c）=-a-b+cB．（a+b）-（-b+c）=a+2b+cC．3a-[5b-（2c-a）]=2a-5b+2cD．a-（b+c）-d=a-b+c-d2．下面去括号错误的是（）．A．a2-（a-b+c）=a2-a+b-cB．5+a-2（3a-5）=5+a-6a+5C．3a-1（3a2-2a）=3a-a2+2aD．a3-[（a2-（-b））=a3-a2-b333．将多项式2ab-4a2-5ab+9a2的同类项分别结合在一起错误的是（）．A．（2ab-5ab）+（-4a2+9a）B．（2ab-5ab）-（4a2-9a2）C．（2ab-5ab）+（9a2-4a2）D．（2ab-5ab）-（4a2+9a2）二、化简下列各式:4．2（-a3+2a2）-（4a2-3a+1）．（13）+2x2]5．（4a2-3a+1）-3（-a3+2a2）．6．3（a2-4a+3）-5（5a2-a+2）．7．3x2-[5x-2x-422.2整式的加减(3)教案目标能根据题意列出式子：会进行整式加减运算，并能说明其中的算理．重、难点与关键．重点：列式表示实际问题中的数量关系，会进行整式加减运算．．难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号．一、引入新课多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？2．如何去括号，它的依据是什么？二、范例学习例1．（1）求多项式2x-3y与5x+4y的和．（2）求多项式8a-7b与4a-5b的差．例2．一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？例3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘M）．8/12长宽高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2c（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘M？（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘M？一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．例4．求1x-2（x-1y2）+（-3x+1y2）的值，其中x=-2，y=2．23233三、巩固练习1．课本第70页练习1、2、3题．2．补充练习：某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？整式加减是代数式的基本运算，去括号与合并同类项是整式加减的基础，在进行整式加减时，如果遇到括号应先去括号，再合并同类项，整式运算是建立在数的运算的基础上，因此数的运算性质在整式运算中仍适用．作业设计一、选择题:1．如果a-b=1，那么-3（b-a）的值是（）．A．-3B．2C．3D．12253262．一个多项式与）．x-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为（A．x2-5x+3B．-x2+x-1C．-x2+5x-3D．x2-5x-133．如果A是x的3次多项式，B是x的5次多项式，那么A-B是（）．A．3次多项式B．2次多项式C．8次多项式D．5次多项式二、解答题:4．计算：（1）x-[y-2x-（x-y）]。（2）2（a2b-3ab2）-3（2a2b-7ab2）2与-2n22与-2m2的差为B，求2A-4B．5．已知m的和为A，1+n6．先化简再求值:4x2y-[6xy-3（4xy-2）-x2y]+1，其中x=2，y=-1．29/127．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为2，求阴影部分的面积．整式的加减(4)教案目标和要求：1．使学生初步掌握添括号法则。2．会运用添括号法则进行多项式变项。教案重点和难点：重点：添括号法则；法则的应用。难点：添上“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。教案过程：一、复习引入：练习：(1)(2x―3y)+(5x+4y)(2)(8a―7b)―(4a―5b)(3)a―(2a+b)+2(a―2b)(4)3(5x+4)―(3x―5；(5)(8x―3y)―(4x+3y―z)+2z；(6)2221；(7)2―(1+x)+(1+x+x22―5x+(5x―8x)―(―12x―x)；+4x)+5(8)3a2+a2―(2a2―2a)+(3a―a2)；(9)2a―3b+［4a―(3a―b)］；(10)3b―2c―［―4a+(c+3b)］+c。二、讲授新课：1．添括号的法则：①观察：分别把前面去括号的(1)、(2)两个等式中等号的两边对调，并观察对调后两个等式中括号和各项符号的变化，你能得出什么结论？②通过观察与，可以得到添括号法则：所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号。2．例题：例1：做一做：在括号内填入适当的项：(1)x2―x+1=x2―(__________)；(2)2x2―3x―1=2x2+(__________)；(3)(a－b)―(c―d)=a－(________________)。(4)(a+b―c)(a―b+c)=［a+()］［a―()］例2：用简便方法计算：(1)214a＋47a＋53a；(2)214a－39a－61a．例3：按要求，将多项式3a―2b+c添上括号：把它放在前面带有“+号”的括号里；(2)把它放在前面带有“―”号的括号里例4：按下列要求，将多项式x3―5x2―4x+9的后两项用()括起来：括号前面带有“+号”；(2)括号前面带有“―”号例5：按要求将2x2+3x―6：三、课堂小结：1、这两节课我们学习了去括号法则和添括号法则，这两个法则在整式变形中经常用到，而利用它们进行整式变形的前提是原来整式的值不变。2、去、添括号时，一定要注意括号前的符号，这里括号里各项变不变号的依据。法则顺口溜：添括号，看符号：是“+”号，不变号；是“―”号，全变号。复习课教案目的和要求：1．使学生对本章内容的认识更全面、更系统化。2．进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握。教案重点和难点：重点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。难点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算。教案过程：一、复习引入：1．主要概念：关于单项式，你都知道什么?(2)关于多项式，你又知道什么?引导学生积极回答所提问题，通过几名同学的回答，复习单项式的定义、单项式的系数、次数的定义，多项式的定义以及多项式的项、同类项、次数、升降幂排列等定义。(3)什么叫整式?在学生回答的基础上，进行归纳、总结，用投影演示：整式单项式（定义系数次数）2．主要法则：多项式（项同类项次数升降幂排列）①提问：在本章中，我们学习了哪几个重要的法则?分别如何叙述?去（添）括号。②在学生回答的基础上，进行归纳总结：整式的加减合并同类项。10/12二、讲授新课：1．例题：例1：找出下列代数式中的单项式、多项式和整式。xyz，4xy，1，m2n，x2+x+1，0，1，m，―2.01×1053a2xx22x例2：指出下列单项式的系数、次数：ab，―x2，3xy5，x3y5z。53例3：指出多项式a3―a2b―ab2+b3―1是几次几项式，最高次项、常数项各是什么？例4：化简，并将结果按x的降幂排列：(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；1(2)―［―(―x+2)］―(x―1)；(3)―3(1x2―2xy+y2)+1(2x2―xy―2y2)。22例5：化简、求值：5ab―2［3ab―(4ab2+1ab)］―5ab2，其中a=1，b=―2。223例6：一个多项式加上―2x3+4x2y+5y3后，得x3―x2y+3y3，求这个多项式，并求当x=―1，y=1时，这个多项式的值。2211/1212/12