高等数学 B(下)期终考试试卷
2003 年 6 月
题号 一 二 三 四 五 六 七 总分
得分
一.填空题(每小题 5 分,共 40 分)
1. 曲面 3=+− xyze z 在点 )0,1,2( 处的切平面方程是 .
(答: 042 =−+ yx )
2. 设有向闭曲线 L从点 )0,1(A 沿直线到点 )1,0(B ,再沿圆弧 122 =+ yx 逆时针
到点 )0,1(−C ,然后沿直线回到点 A,则 =+−∫
L
xdyydx
2
1
.
(答:
42
1 π+ )
3. 设Σ 为柱面 122 =+ yx 夹在平面 0=z 与 az = )0( >a 部分的外侧,则
∫∫ =++
Σ
dxdyzdzdxydydzx .
(A) πa (B) πa2 (C) πa3 (D) πa4
(答:(B))
4. 设Σ 为平面 132 =+− zyx 在第四卦限部分的右侧,则
∫∫ =++
Σ
dxdyzdzdxydydzx 222 .
(A) ( )∫∫ +−
Σ
dSzyx 222 32 ; (B) ( )∫∫ +−
Σ
dSzyx 222 32
14
1 ;
(C) ( )∫∫ −+−
Σ
dSzyx 222 32 ; (D) ( )∫∫ −+−
Σ
dSzyx 222 32
14
1
(答:(D))
5. 设 0>a 是常数,级数∑∞
= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−
1 2
31ln)1(
n
n
n
a 的收敛性为 .
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)与a有关
(答:(A))
6. 设级数∑∞
=0n
n
n xa 的收敛半径 3=R ,则 必然是级数∑∞
=
−
0
)1(
n
n
n xa 的收敛域
的子集.
(A) }1,0,1,2{ −− (B) }2,1,0,1{− (C) }4,3,2,1{ (D) }5,4,3,2{
(答:(B))
7. 常系数线性微分方程 0136 =′+′′+′′′ yyy 的通解是 =y .
(答; ( )xCxCeCy x 2sin2cos 3231 ++= − )
8. 设 )(xf 是 偶 函 数 且 周 期 为 π2 , 它 在 ],0[ π 的
达 式 为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<
≤≤
=
ππ
π
x
xx
xf
2
,1
2
0,
)( , )(xf 的 傅 里 叶 级 数 为 ∑∞
=
+
1
0 cos
2 n
n xna
a , 则
=2a .
(答: 2
1
π− )
二.(8 分)设函数 )(uf 有连续的导数且 1)1( =′f . )( yxfz += ,其中 )(xyy = 由
方程 0=− ye xy 确定. 求
0=xdx
dz
.
答:当 0=x 时,由方程 0=− ye xy 确定 1=y ,且
1
1 0
2
0
=−= == xx xy
y
dx
dy
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++′=
dx
dyyxf
dx
dz 1)(
0=xdx
dz 2)11)(1( =+′= f
三.(10 分)求二重积分 ∫∫ −+
D
dxdyyx |1| 22 ,其中平面区域D: 1|| ≤x , 1|| ≤y .
答: ∫∫ −+=
1
|1|4 22
D
dxdyyxI
( ) ( )∫∫∫∫
″′
−++−−=
11
1414 2222
DD
dxdyyxdxdyyx
( )∫∫ −= 10 220 14 ρρρϕ
π
dd ( )∫∫ − −++ 11 2210 2 14 x dyyxdx
2
π= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
3
4
2
π
3
4−= π .
四.(8 分)设Ω 是顶点在球面 2222 )( aazyx =−++
上的半顶角为
6
π 的内接正圆锥体,如图所示.若Ω 的
密度为常数µ ,求它对位于原点的单位质点的引力(引
力常数为G ).
三重积分的应用,答:
0=xF , 0=yF ,
∫∫∫=
Ω
µ 3r
zdVGFz
∫∫∫= θππ θθθϕµ cos2 30 236020 cossin
a
drr
r
rddG
πµGa ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
2
313 .
五.(10 分)设一质量为m(kg)的物体沿着螺旋线轨道Γ :
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
θ
θ
θ
z
y
x
sin
cos
,θ : 02 →π ,
向下滑动. 在滑动期间,它受到与运动方向(即Γ 的切线方向)相反的摩擦力的作用,
摩擦力的大小为重力的一半. (1)写出摩擦力函数 F
G
的表达式;(2)试求物体从点
),0,1( π2A 滑动到点 )0,0,1(B 摩擦力所做的功.
第二类曲线积分,答:
(1) 摩擦力 ( )1,cos,sin
22
θθ−= mgFG
或 ( )1,,
22
xymgF −=G ,
(2) ∫=
Γ
rdFW GG ∫ ++−=
Γ
θθ dzdydxmg cossin
22
( )∫ ++= 02 22 1cossin22 π θθθ dmg mgπ2−= .
六 .( 12 分)设函数 )(uf 有二阶连续的导数,令 22 yxu −= ,则复合函数
)( 22 yxfz −= 满足
( ) )( 22222222 yxzyxyzxz −++=∂∂+∂∂ ,
(1)证明 )(uf 满足微分方程 uff
4
1
4
1 =−′′ ;(2)求函数 )(uf ..
偏导数与微分方程, 答:(1)
)(4)(2 222222
2
yxfxyxf
x
z −′′+−′=∂
∂ ,
)(4)(2 222222
2
yxfxyxf
y
z −′′+−′−=∂
∂ ,
由 ( )( )22222222 yxzyxyzxz −++=∂∂+∂∂ ,得 uff 4141 =−′′ .
(2)由特征方程 0
4
12 =−r ,解得
2
1±=r
解得 uf −=*
ueCeCuf
uu
−+= −2221)( .
七.(12 分)确定幂级数∑∞
=
−
1
12
n
nxn 的收敛域并求该幂级数的和函数 )(xs .
1)1(lim
||
||
lim 2
2
1 =+= ∞→+∞→ n
n
a
a
n
n
n
n
收敛半径 1=R
在 1±=x 处级数发散,故收敛域为 )1,1(−
因 ∫x dxxs0 )( ∑
∞
=
=
1n
nnx ,
故
x
dxxs
x∫0 )( ∑∞
=
−=
1
1
n
nnx , dx
x
dxxsx
x
∫ ∫ ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
)(
x
xx
n
n
−== ∑
∞
= 11
求导得 2
0
)1(
1)(
xx
dxxs
x
−=
∫ , 20 )1()( xxdxxs
x
−=∫
再求导得 =)(xs 32 )1(
1
)1( x
x
x
x
−
+=
′
⎥⎦
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