湖南省长沙一中2008-2009学年高三第八次月考
数 学(文科)
本试卷共3大
21小题,全卷总分150分,考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2.在抽查某产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[a,b]是其中的一组
已知该组上的直方图的高为h,则该组的频率为
A.
B.
C.
D.
3.函数
的反函数为( )
A.
B.
C.
D.
4.若-1<
<
<1,则下列不等式中恒成立的是( )
A.-1<
-
<1 B.-2<
-
<-1
C.-2<
-
<0 D.-1<
-
<0
5.
的各项系数之和大于8且小于32,则展开式中系数最大的项是( )
6. 过点
作直线
,如果它与双曲线
有且只有一个公共点,则直线
的条数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 在△ABC中,若
,
,
,则
的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
8.已知三棱锥D—ABC的三个侧面均与底面全等,且AB=AC=
,BC=2,则二面角D-BC-A为 ( )
A.300 B.450 C.600 D.900
9.如图,是判断年份Y是否闰年的流程,则以下年份是闰年的是
A .2009 B .2100
C .1996 D. 2007
10.已知函数
表示过原点的曲线,且在
处的切线斜率均为-1,有以下命题
①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];
②f(x)的极值点有且仅有一个;
③f(x)的最大值与最小值之和等于零;
其中正确的命题个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将
填在题中的
横线上)
11.已知向量
,且
,则
__________.
12. 有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就坐,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这两人不左右相邻,那么不同的排法种数是
13.若以连续掷两次骰子所得的点数x,y为点P的坐标,则点P落在圆
的内部的概率是 .
14.已知
,
若
,则
,满足条件
的其中一个元素是 .(只写出一个即可).
15 . 欧美等国家流行一种“数独”推理游戏,其游戏规则如下:
4
9
A
3
5
7
2
6
3
5
4
2
8
6
9
1
7
6
9
3
5
4
2
8
9
C
B
5
1
2
8
7
6
4
①在9×9的九宫格子中,分成9个3×3的小九宫格,用1到9这9个数字填满整个格子;
②每一行与每一列都有1到9的数字,每个小九 宫格里也有1到9的数字,并且一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次,既不能重复也不能少. 那么A处应填入的数字为 ;B处应填入的数字为 ;C处应填入的数字为________.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、
过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)
已知函数
R.
(Ⅰ)求函数
的最大值;
(Ⅱ)试说明函数
的图像可由函数
R的图像经过怎样变换得到?
17.(本小题满分12分)
2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子,每个盒子中放一个福娃,每种福娃的数量如下表:
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数 量
2
2
2
1
1
从中随机地选取5只.
(Ⅰ)求选取的5只福娃恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率;
(Ⅱ)求选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差一种福娃的概率.
18.(本小题满分12分)
如图,在棱长为1的正方体
中,
是侧棱
上的一点,
.
(Ⅰ)试确定
,使直线
与平面
所成角的正切值为
;
(Ⅱ)在线段
上是否存在一个定点
,使得对任意的
,
在平面
上的射影垂直于
,并证明你的结论.
19.(本小题满分13分)
已知
,
(Ⅰ)若
,求函数
在区间
的最大值与最小值;
(Ⅱ)若函数
在区间
和
上都是增函数,求实数
的取值范围
20.(本大题满分13分)
设等差数列
、
的前n项和分别为
和
,
,且
,
;函数
是函数
的反函数,且
(n∈N,n > 1),c1 = 1.
(1)求常数A的值及函数
的解析式;
(2)求数列
及
的通项公式;
(3)若
,试求
21.(本小题满分13分)
如图,在矩形ABCD中,已知A(2,0)、C(-2,2),点P在BC边上移动,线段OP的垂直平分线交y轴于点E,点M满足
(Ⅰ)求点M的轨迹方程;
(Ⅱ)已知点F(0,
),过点F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点,且
求实数
的取值范围.
参考答案
1.C. 集合
EMBED Equation.DSMT4 ,且
,
EMBED Equation.DSMT4 .
2. D. 由直方图的意义即可直接求得结果.
3. B.由
知,函数
是奇函数,排除C,D. 由
选B.
4. A. 显然函数是偶函数,排除C.函数图象经过原点O,于是排除B.当
时,函数
,其图象可由函数
的图象向左平移一个单位得到,故选A.
5. C. 六个小组每小组4个队, 进行单循环赛的比赛场次一共有 6
,16个队进行淘汰赛比赛场次一共有
确定冠亚军一共需比赛
场次, 故选C.
6.B.如图所示,
就是二面角
的平面角,由图知
的取值范围是
.
7. B. 依题意得,
若
,则
于是
而
在椭圆上,故,代入整理得
又
,解得
.
8. C. 因为2009于2007不能被4整除,先排除A.D.又2100不能被400整除,所以2100不是闰年,排除B.从而选C.
9. B.设首项为
公差为
,则
EMBED Equation.DSMT4 。于是
过点
和
的直线斜率为
则过点
和
的直线的一个方向向量的坐标应选B.
10. D. 易知点B在第一或第四象限.设过点A的直线与曲线C相切于点
, 则切线斜率为
,则
, 则切点为
,
要使视线不被C挡住,必须满足
EMBED Equation.DSMT4
故选D.
11.6.由
EMBED Equation.DSMT4 .
12.
.由已知等式易知
.取
取
13.
.点P的坐标有36种,而圆内部点的坐标必须满足
则点P落在圆
的内部的坐标种数为8种,
所以由等可能事件的概率计算公式得所求概率为
.
14.6.依题意得
EMBED Equation.DSMT4 显然函数
的最大值为6.
15. 1, 3, 1. A处在9×9的九宫格子中的第2行,第3列,按照1到9的数字在每一行只能出现一次知,A处不能填入3,5,7,9;按照1到9的数字在每一列中只能出现一次知,A处不能填入2,4,6,8,综合知A处只能填入1.同理分析知C处只能填入1.B处只能填入3.
16(Ⅰ)
EMBED Equation.3
当
,
即
时,
有最大值1.此时函数
的值最大, 最大值为
.
(Ⅱ) 将
的图像依次进行如下变换:
1.把函数
的图像向下平移
个单位长度,得到函数
的图像;
2.把得到的函数图像上各点横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图像;
3.将函数
的图像向右平移
个单位长度,
就得到函数
的图像.
或按如下平移变换:
1.把函数
的图像向下平移
个单位长度,得到函数
的图像;
2.将函数
的图像向右平移
个单位长度,就得到函数
的图像.
3.把得到的函数
图像上各点横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图像
17.(I)由等可能事件的概率意义及概率计算公式得P= eq \f(C21C21C21,C85)= eq \f(1,7); 3分
(II)设选取的5只福娃恰好距离组成完整“奥运会吉祥物”差一种福娃记为事件
A,差两种福娃记为事件B, 依题意可知,所选5只福娃恰好距离组成完整“奥运会
吉祥物”最多差2只,则
7分
10分
故选取的5只福娃距离组成完整“奥运会吉祥物”至少差一种福娃的概率为
=
EMBED Equation.DSMT4 12分
18.解法一:(1)如图:
EMBED Equation.DSMT4
故
.所以
.又
.
故
在
△
,即
.
故当
时,直线
.
(Ⅱ)依题意,要在
上找一点
,使得
.可推测
的中点
即为所求的
点.因为
EMBED Equation.DSMT4 ,所以
又
,故
.
从而
解法二:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1), D1(0,0,1).
所以
EMBED Equation.DSMT4
又由
的一个法向量.
设
与
所成的角为
,
则
依题意有:
,解得
.
故当
时,直线
.
(2)若在
上存在这样的点
,设此点的横坐标为
,
则
.依题意,对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.等价于
,即
为
的中点时,满足题设的要求
19.(Ⅰ)
,由
得
,
所以
.由
得
或
0
0
0
递增
递减
递增
0
由上表知:
在区间
上的最大值为
,最小值为
. (Ⅱ)
的图像为开口向上且过点
的抛物线,由条件
,
,即
得
20. (1)解:由
知:
,
而
,
,解得
2分
令
,得
,即
R)
4分
(2)解:令
,∴
,即
.
当
时,
,
当n≥2时,
.
综合得:
6分
由题意:
,变形得:
,
∴数列
是以
为公比,
为首项的等比数列.
,即
.
9分
(3)解:当
(
N*)时,
11分
当
(
N*)时,
.
13分
21.(I)依题意,设P(t,2)(-2≤t≤2),M(x,y).
当t=0时,点M与点E重合,则M=(0,1);
当t≠0时,线段OP的垂直平分线方程为:
显然,点(0,1)适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=-4(y-1)( -2≤x≤2)
(II)设
得x2+4k-2=0.
设Q(x1,y1)、R(x2,y2),则
,
.消去x2,得
.
解得
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