教 育 战 线
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INTELLIGENCE······ ··················
解微积分题常用的数学思想
长春师范学院数学学院 赵红发
运城市平陆县康平中学
部 赵冬梅
摘 要:主要阐述了解微积分题常用的两种思想方法:函数思想和变换思想,并
通过例题进行了详细诠释。
关键词:微积分题 函数的思想 变换的思想
微积分的习题首先能够使学习者熟练和巩固所学习的知
识,其二,能够提高学习者的独立分析问题和解决问题的能力。
另外微积分的有的习题往往是有关理论知识的必不可少的补
充,不做活不做好这些习题就会对理解掌握有关理论知识形
成某种缺陷。大部分学习微积分的人都感觉微积分的习题比
较难做,做有的题根本没有思路。希望本文对学习微积分者
能够起到抛砖引玉的作用。
一、利用函数思想解决微积分题
微积分主要研究对象为函数,微积分的大部分习题都
要涉及到函数,用函数思想来处理微积分的习题是自然的
事情 . 所谓的的函数思想就是处理问题时引入适当的函数,
将所讨论的问题转化为函数问题并加以解决的一种思想防方
法 .下面具体诠释函数的思想在处理微积分题方面的应用 .
1 数列问题采用函数的思想来处理
数列和函数相比,前者离散,后者连续,利用函数的思
想方法,将数列问题转化为相应的函数问题,是求数列问题
的一种有效的方法 .
例 1 求数列{ }n n 的极限 .
解 设 ( ) x xxf = ,则 ( )[ ] xxxf ln1ln = ,因 0lnlim =+∞→ xxx ,
故 1lim 0 ==+∞→ exxx ,再由归结原则得 1lim =∞→ nn n
2 有的不等式的证明也可利用函数的思想来处理,我们
可通过函数的单调性、凸凹性和最值等来证明不等式 .
例 2 证明不等式 ( )1,213 ><− xx
x
.
证明 设 ( ) ( )1,132 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= x
x
xxf
( )xf 在 [ )+∞,1 上可导,且 0221 >−=′ −− xxf
故当 1>x 时,有 ( ) ( ) 01 => fxf ,即 ( )1,213 ><− xxx .
3 在研究方程问题时,特别是证明方程的根的存在性问
题时,我们可利用函数的思想方法来处理,往往可以化难为易,
化繁为简,达到解决问题的目的 .
例 3 证明方程 0123 311 =−+ xx 至少有一正实根 .
证明 令 ( ) 123 311 −+= xxxf , ( )xf 在 [ ]2,0 上连续,( ) ( ) 0122,120 >>−= ff ,
由介值性定理得,至少存在一 ( )2,0∈ξ ,使 ( ) 0=ξf ,
即此方程至少有一正实根
二、利用变换的思想求解微积分题
变换的思想是指研究和解答数学问题时,将复杂、困难
的问题通过适当的变换,转化为简单容易的问题,从而达到
解决问题目的的一种数学思想方法。下面具体诠释变换的思
想在处理微积分题方面的应用 .
1 通过变换的思想求解极限问题
例 4 求极限
x
e x
x
1lim
0
−
→
.
解 令 ( )1ln,1 +==− txtex , 0,0 →→ tx ;
x
e x
x
1lim
0
−
→ = ( )1lnlim0 +→ t
t
t = ( ) 11ln
1lim 10 =+→ tt t
2 通过变换的思想求解积分问题
例 5 求不定积分 ( )dxxx∫ + ln21 1 .
解 令 dxxduxu
2,ln21 =+= ;
( )dxxx∫ + ln21 1 = cxcuduu ++=+=∫ ln21ln21ln21121 .
在求解微积分题方面,还有许多的数学思想方法,如极
限思想、导数思想等 . 文中仅列最常用的两种思想方法,希
望能够起到抛砖引玉的作用 .
参考文献
[1] 明清河 . 数学分析的思想与方法 [M]. 山东大学出版
社 ,2004.
[2] 吴赣昌 .微积分 [M]. 中国人民大学出版社 ,2009.
[3] 任亲谋 . 数学分析习题解析 [M]. 陕西师范大学出版
社 ,2004.
[4] 龚德恩 . 经济数学基础 ( 微积分 )[M]. 四川人民出
版社 ,2005.
作者简介:
赵红发 (1969-), 山西省平陆人 , 长春师范学院数学学院
讲师 ,硕士 ,从事应用数学研究 。
赵冬梅(1972-)山西省平陆人,山西省运城市平陆县康
平中学小学部教师,从事数学教育研究。