麦克斯韦方程

ModifiedbyJACKontheafternoonofDecember26,2020麦克斯韦方程第三章麦克斯韦方程第一章我们已提到电磁场可以用以下四个场量描述，它们是：E(r,t)——电场强度(伏特/米，V/m)D(r,t)——电通量密度或电位移（库仑/米2，C/m2）H(r,t)——磁场强度（安培/米，A/m）B(r,t)——磁感应强度或磁通量密度（韦伯/米2，Wb/m2）这四个量都是矢量，都是时间坐标t和空间矢径r的函数。这些场量在我们周围总是存在的，有来自太阳和其它星球的场，也有来自闪电的场。传播电视的无线电波、激光则是用人工方法产生的场。本章主要讨论电磁运动服从的基本方程——麦克斯韦方程。需要指出的是，麦克斯韦方程不是从几个公理推导出来的，而是根据科学实验出来的电磁运动基本规律。麦克斯韦方程是正确的，因为宏观世界电磁运动都遵循麦克斯韦方程。本章分别讨论积分形式、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量示的时谐场的麦克斯韦方程。与讨论电荷守恒定律与物质的本构关系。麦克斯韦方程描述源产生的场，而场对源的作用由洛仑兹力方程描述。洛仑兹力方程在讨论。讨论坡印廷定理，它表示电磁运动满足能量守恒关系。简要介绍唯一性定理、镜像定理、等效原理、磁流和磁荷以及互易定理。积分与微分形式的麦克斯韦方程本节根据基本电磁现象以及对实验规律的总结，得出积分形式的麦克斯韦方程组，然后利用散度定理与斯托克斯定理，又从积分形式的麦克斯韦方程组得到微分形式的麦克斯韦方程组。从库仑定理到高斯定理根据库仑定理，真空中带电量q的质点对周围试验电荷q1的作用可以看作点电荷q激发的电场E对试验电荷q1的作用，点电荷q激发的电场强度E为（V/m）（）式中电场强度E的单位为V/m，电量q的单位为库仑（C），，为真空介电常数，r为点电荷q到试验电荷q1之间距离，用米（m）做单位，r0表示由q指向q1的单位矢量。将点电荷q放到介质中，由于介质极化的影响，点电荷q在介质中产生的电场强度E为（）式中叫做介质的介电常数=r0（）r叫做介质的相对介电常数。与电场强度E相关连的电通量密度或电位移D为D=E（）那末根据式（），点电荷q产生的电通量密度（）将点电荷q置于原点，其电通量密度D在半径r方向。以原点为球心作一球面（图3-1），则通过该球面的电通量D为n0=r0假想球面D图3-1点电荷q产生的电通量密度D，r为球面的半径，d为球面上面积元dS对球心所张立体角，r0为r方向的单位矢量，即面积元dS法线方向单位矢量，将dS代入上式，得到（）这就是说穿过球面的电通量等于球心处点电荷q。实验证明电荷产生的电场满足叠加原理，即N个点电荷产生的场等于每个点电荷产生的场的叠加。由此进一步得到穿过任意闭曲面的电通量等于该闭曲面包围的总电荷Q，即如果v为体电荷密度，则总电荷Q为闭曲面包围的体积V内电荷密度v的体积分，所以上式成为（）这就是积分形式的高斯定理。注意库仑定理、高斯定理都是实验规律的总结，两者等价。磁通连续性原理迄今为止，对磁现象的研究表明，世界上没有单独的磁极存在，磁力线永远构成闭合回路（见图3-2），这就是磁通连续性原理。因为磁力线自成闭合回路，对于任何封闭曲面，穿出闭曲面的磁通量，一定等于穿进闭曲面的磁通量，这就是说穿出或穿进闭曲面的净磁通量等于零，（）（a）（b）图3-2圆环电流（磁偶极子）与永磁体产生的磁场（a）磁偶极子（b）永磁棒因此，磁力线与电力线不同，电力线总是从正电荷出发，终止于负电荷，电力线“有头有尾”，而磁力线没有起始，“无头无尾”。随时间增加SIRB12+–Vemf图3-3穿过闭合导线l的磁通量随时间变化会感应一个电动势法拉电第磁感应定理1831年法拉第发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时间变化的电磁场进行研究。法拉第定理表示随时间变化的磁场会产生电场。参看图3-3，如果穿过闭合导线l所包围的面积的磁通量m随时间变化，则会感应一个电动势VemfVemf的大小等于穿过闭合导线l所包围面积S的磁通量随时间变化率的负数，即因为微分对时间坐标进行，积分对空间坐标进行，两者次序可调换，这样就得到（）这就是积分形式的法拉第定理。图3-4用来说明得出法拉第定理的原理实验装置（在大学物理课程中已见过）。矩形导电线圈与一电流计相连，如有电流通过线圈，电流计指针将偏转。螺线管与电池连接，当螺线管与电池接通，流过螺线管的电流会产生磁场，部分磁力线穿过矩形导电线圈包围的面积。不管采用什么方法，比如螺线管与电池的接通或断开，通电螺细管靠近或远离矩形导电线圈等，只要使螺线管产生的磁力线穿过线圈包围面积的磁通量m随时间变化，电流计指针就会偏转，表示矩形线圈上有电流流过。此电流由感应的电动势Vemf驱动，而指针偏转的大小反映电动势的大小。指针偏转的方向，也就是电流的方向取决于感应电动势的符号。实验得出的规律是，感应电动势Vemf大小与穿过线圈磁通量随时间的变化率成正比，而感应电动势驱动的电流方向，使得该电流激发的磁场抵抗螺线管产生的磁场随时间的变化，式（）右边的负号就说明这一点。图3-4说明法拉第定理的原理实验装置IIB矩形导电线圈螺线管电池电流计安培全电流定理电流流过导体，在其周围产生磁场，如果右手大姆指与电流方向一致，则右手四指方向就是磁场方向，安培全电流定理告诉我们，磁场强度H沿任一闭合回路l的线积分等于穿过回路l所包围面积的电流It，即（）式中It是全电流。右边第一项I在导电媒质中叫传导电流Ic，它由导体中自由电子的定向运动引起；在气体或真空中叫运流电流Iv，它由真空或气体中荷电粒子的运动引起。所以I包括传导电流与运流电流两部分，即I=Ic+Iv（）第二项Id叫位移电流，它并不代表电荷的运动，因而与传导电流、运流电流不同。传导电流、运流电流和位移电流之和叫全电流。如果引入电流密度Jc、Jv与Jd，则Ic、Iv与Id可表示为于是式（）式成为（）式中J=Jc+Jv（），为传导电流密度，其中为导体的电导率，E为导体内电场强度。，为真空中或气体中电流密度，其中v和v分别为真空或气体中荷电粒子的密度和速度。Jd为位移电流密度，它等于（）D为电通量密度或电位移。Jd是麦克斯韦（JamesClerkMaxwell，1831-1879年）在1873年首先引入的。为了说明位移电流的概念，参看图3-5所示电路，电容器C通过导线连到交流电源VS(t)，设显然导线中电流式中Sc为导线截面，dS的方向为电流流过导线的方向。介质极板极板面积AyVS(t)=V0costy=0y=d边缘电场线s–sdS图3-5交流电源与平行板电容器相连构成的回路+QEE在电容器极板上有电荷Q=CVS，C为电容器的电容量。对于平行板电容器，电容，其中A为极板面积，d为两平板间距，为两平行极板间填充介质的介电常数，VS为电容器两极板间电压。Q随时间的变化率即极板上的电流Iq这里我们假定导线的电导率很大很大，导线上压降可忽略，极板两端电压等于源电压。由源、导线、电容器构成的电流回路，其上通过的电流应连续，导线中电流要等于极板上电流Iq，那末电容器中电流是什么呢？位移电流的引入可解释回路电流连续的问题。两极板上加电压VS后，在电容器空间产生电场EE的大小为VS/d，方向在y0方向，总的位移电流Id为因为dS方向为极板法线方向，故，C为平行板电容器电容。这个电流与极板上电流刚好相等。注意，上面的例题不是给位移电流的正确性进行证明，而是说明位移电流概念解释了由电容器构成的回路中电流的连续性。引入位移电流的正确性是因为引入位移电流概念后得出的结论被其后的实验证明，其中最重要的一点是，麦克斯韦引入位移电流概念后预言电磁波的存在，其后赫兹在1886-1889年间通过实验证明电磁波的存在。迄今宏观世界观察到的电磁现象没有一个与位移电流的概念相冲突，所以我们说位移电流概念的引入是正确的。将式（）代入式（），安培全电流定理为（）这就是安培全电流定理的积分形式。积分与微分形式的麦克斯韦方程组现在我们把法拉第电磁感应定理、安培全电流定理、高斯定理、磁通连续性原理的积分形式重写如下：（）（）（）（）这就是积分形式的麦克斯韦方程组，它们是在实验基础上得出的电磁运动规律的科学概括。根据矢量场的斯托克斯定理麦克斯韦方程中两个旋度方程式（b）可写为由上两式可得（）（）同样根据矢量场的散度定理麦克斯韦方程组中两个散度方程（）可写成由此得到（）（）式（）就是微分形式的麦克斯韦方程组。积分形式的麦克斯韦方程组反映电磁运动在某一局部区域的平均性质。而微分形式的麦克斯韦方程反映场在空间每一点的性质，它是积分形式的麦克斯韦方程当积分域缩小到一个点的极限。以后我们对电磁问题的一般都从微分形式的麦克斯韦方程出发。【例3-1】如果，B随时间变化吗？解：从式（）所以，B不随时间变化。【例3-2】在0≤y≤1，0≤z≤1区域，磁场存在吗？解：因为，在0≤y≤1，0≤z≤1区域，，即，与麦克斯韦方程（）矛盾。所以在0≤y≤1，0≤z≤1区域的磁场不存在。【例3-3】如果，求区域内电荷密度v。解：根据式（）区域内电荷密度，场可以由包围区域的界面上的面电荷产生。体电荷密度不包括面电荷密度。麦克斯韦方程组中式（）或式（）表示变化的磁场产生电场，而式（）或式（）表示变化的电场产生磁场。麦克斯韦方程组中式（）或式（）表示磁通的连续性，即磁力线既没有起始点也没有终点。这意味着空间不存在自由磁荷，或者说在人类研究所能达到的空间区域中至今还没有发现单独的磁荷存在。式（）或式（）对时变电荷与静止电荷都成立，它表明电场是有源的。时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波，在下章将专门讨论。时谐场的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程包含的四个电磁场量E、D、B和H以及场源J和v都是时间和空间的函数。其中场源v是标量，其余均是矢量。如果这些量对时间作简谐变化，就称为时谐变量。根据关于时谐标量与时谐矢量的复数与复矢量表示，设与时谐电磁场量、、以及对应的复矢量为、、以及，则有（）（）（）（）同样，时谐电流密度矢量与时谐电荷密度标量与其对应的复矢量与复数的关系是（）（）根据复矢量的定义，对时谐矢量的运算与对应的复矢量乘以j等效，如：（）这样，麦克斯韦方程（）可写为因为算符只对空间求导数，所以运算与取实部运算Re可调换次序，即所以时谐电磁场量用复矢量表示时，麦克斯韦方程（）表示为（）同理，麦克斯韦方程（）可表示为（）（）（）方程（）–（）就是时谐场的麦克斯韦方程。注意，时谐场的麦克斯方程，场量只是空间坐标(x,y,z)的函数，与时间t无关。这就是说，引入时谐场量的复数或复矢量表示后，就将麦克斯韦方程的四维场问题简化为三维场问题，这给麦克斯韦方程的分析、求解带来极大的方便。本课程主要研究简谐变化的电磁场，式（）–（）就是本书以后分析电磁场的基本方程。因为任何周期场可用傅里叶级数展开为基波及各次谐波的叠加，非周期场也可用傅里叶积分展开，所以对谐变电磁场的分析并不失起一般性。现在我们把积分形式的麦克斯韦方程、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量表示的时谐场的麦克斯韦方程列于表3-1，以便查阅。表3-1麦克斯韦方程微分形式积分形式时谐场的复矢量形式法拉第定理安培定理高斯定理磁通连续性原理【例3-4】已知复矢量求复矢量B解：根据（）这里要再次强调一下，微分形式的麦克斯韦方程与积分形式的麦克斯韦方程中有关场量等都是时间坐标与空间坐标的函数，而复矢量形式的麦克斯韦方程中有关场量等只是空间坐标的函数，复矢量形式的场量乘上ejt取实部才是微分形式、积分形式麦克斯韦方程中的场量。本书以后对交变场的研究主要针对随时间作简谐变化的场，主要从复矢量形式的麦克斯韦方程研究电磁运动的特性，为简化书写，复矢量形式的电磁场量E(r)等没有采用特殊符号以跟与时间有关场量E(r,t)等区分，请读者留意。如果场量与时间坐标有关，一般将标明E(t)、H(t)等，不会引起混淆。电流连续性原理麦克斯韦方程包含的内容极其丰富。下面将证明麦克斯韦方程包含电流连续性原理。用算符点乘式（）两边，并利用矢量运算恒等关系得到而根据式（），·D=v，所以上式成为这是关于电流和电荷的连续方程。如果把上式左边第二项移到等式右边，（）则式（）的物理意义就是流出体积元的电流等于体积元内电荷随时间的减少率。显然，这是电荷守恒原理所的。所以式（）也是电荷守恒原理的数学表达式。J(x,y,z,t)和v(x,y,z,t)随时间作简谐变化时，引入与J(x,y,z,t)对应的复矢量J(x,y,z)以及与v(x,y,z,t)对应的复数v(x,y,z)，则式（）成为（）式（）表示时谐场的电流连续性原理。物质的本构关系在我们用式（）所示的麦克斯韦方程组求解具体电磁问题之前，有一个问题要弄清楚，麦克斯韦方程组中有几个是独立的？为此对式（）取散度，因为旋度的散度等于零，故得到这就是说为一与时间无关的常数，而（）告诉我们这个常数就是零。所以式（）包含在式（）中。在节对式（）取散度已得到如果把电荷与电流的连续方程作为一个基本方程，那末将上式与比较便得到所以也不是一个独立的方程。归纳起来麦克斯韦方程组中两个散度方程（）包含在两个旋度方程（）以及电流与电荷的连续方程中。所以如果把电流与电荷的连续方程作为基本方程，麦克斯韦方程组中只有两个旋度方程是独立的。两个独立的旋度方程（）以及电流与电荷的连续方程共包含E、D、B、H，J五个矢量和一个标量ρ，每个矢量又有三个分量，所以这三个独立的方程共有16个独立的标量场分量，而这三个独立的方程总共只包含7个独立的标量方程，所以仅从麦克斯韦方程以及电流与电荷的连续方程出发还不足以解出16个独立的标量场分量。我们还需要另外九个标量场方程，这就是第一章提到的由介质特性决定的三个方程（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT1）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT2）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT3）式（）、（）将D跟E、B跟H联系起来，式（）反映介质在电场作用下发生极化，而式（）反映介质在磁场作用下发生磁化。其中叫介质介电常数，叫介质的磁导率。引入相对介电常数r、相对磁导率r后，、可表示为F/m，H/m分别叫做真空或自由空间介电常数与磁导率。式（）将导体中电流密度Jc与电场强度E联系起来。式中是导体的电导率，单位是S/m。方程叫做物质的本构关系，每个方程可分解为三个标量方程，共有九个标量方程。它们作为辅助方程与麦克斯韦方程组一起构成一组自洽的方程。如果媒质在电场作用下既发生极化又发生磁化，同样在磁场作用下既发生磁化又发生极化。这种媒质称为磁电媒质，其本构关系为（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT4）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT5）这种媒质是双各向异性的，各向异性介质在第四章会进一步讨论。式中都是以并矢表示的张量。若以上四个量都是标量，它仍然具有磁电交叉耦合，则成为双各向同性的，其本构关系为（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT6）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT7）对于氨基酸、DNA这类物质，本构关系为（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT8）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT9）具有这种本构关系的介质称为手征介质。、、等完全由电磁场所在空间的介质的特性决定。不同的介质，、、就不一样。自由空间、水、等离子体等都是电磁场所存在空间的介质，它们各自的特性不同，、、也就不等。所以电磁场所存在空间的介质可以按、、进行分类。如果、、与空间坐标无关，就是均匀介质，否则就是不均匀介质。、与频率无关叫非色散介质，否则就是色散介质。如果、、与电磁波在空间传播的方向性无关，叫做各向同性介质，否则就是各向异性介质。本构方程为线性关系所表示的介质称为线性介质。线性介质中、、不是电场E或磁场H的函数。在非线性介质中，电极化强度P、磁化强度M与E、H不再是线性关系（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT10）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT11）因此、不再是常量而跟E、H幅度有关。和等分别叫做介质的一次、二次、三次电极化率和磁化率。根据物质结构的经典电子理论，、为频率的函数，在高频电场作用下，D滞后于合成电场强度E，B滞后于合成磁场强度H。、为复数（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT12）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT13）'()是复介电常数的实部，它与频率函数的关系确定电磁波在介质中传播的色散特性；"()为复介电常数的虚部，由它确定电磁波在介质中的损耗。对于复磁导率()的实部'()和虚部"()也可作类似的解释。一种具有电子极化、离子极化和偶极子极化三种机构的假想介质的'和"与频率关系如图3-6所示。这个图着重示出了这三种极化机构所影响的频率范围。在技术科学中通常用介质损耗角e来表示介电损耗。e定义为（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT14）图3-6典型介质的'和"与频率关系由于实际上对于一般介质，总有，所以此式表明介质损耗角e实际上表示电介质中电位移矢量D与电场强度E之间的相位差。关于金属的介电常数，对于微波及其以下频率的电磁波，，介电常数虚部是主要的，这时金属呈现导电性，电磁波在金属中受到强烈衰减。对于紫外线或更短波长的电磁波，，金属呈现电介质特性，对于电磁波近乎透明。介电常数实部和虚部之间有内在关系，这是克莱末-克郎宁关系（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT15）（.SEQ\n[35]\*MERGEFORMAT16）式中'为复频率，为'的某一实正值。克莱末-克郎宁关系指出，色散介质（r与频率有关）一定有损耗，而损耗介质（"0）一定色散。导出克莱末-克郎宁关系时所依据的原则是十分基本的。除因果律外，仅要求系统是线性的，因此克莱末-克郎宁关系具有普遍性。其它线性系统的复响应函数实部和虚部之间也有类似关系。线性、均匀、各向同性、无色散的介质，通常叫做简单介质。很大的介质称为导体，很小的叫做绝缘体。为无穷大的介质称为完纯导体，而=0的介质叫完纯介质。良导体的介电常数很难测量，其相对介电常数的实部通常视作1。对于一般介质，r>1。在等离子体中r可以小于1，甚至为负。对于大多数线性介质，其磁导率与真空磁导率非常接近，r一般可视作1。对于铁磁介质，r>>1，通常是非线性的。用麦克斯韦方程求解电磁问题时，首先要把场所在空间的介质特性描述出来。、、是描述介质特性的量。这就是说，只有在所研究空间、、的具体表达式知道后，才能对麦克斯韦方程求解。所以，对于两无限大平行导电板[图3-7(a)]空间电磁场问题的求解，首先要对所研究空间（y=0到y=d两平行板之间的空间）填充的介质特性进行具体描述。在图3-7所示情况下介电系数是y的函数，并表示为（）其图解示于图3-7(b)。如果假定介质1、2是绝缘介质，不导电，其磁导率1、2近似为0，则得到（）（）式（）就是对我们所研究空间介质特性的具体描述。从麦克斯韦方程以及辅助方程（），并在给定的边值条件下，就能得出图3-7所示系统场问题的解。因此我们对电磁问题的研究，一定要学会如何用、、描述介质的特性。yd1d2120y0d2d121导电板导电板（a）（b）图3-7层状介质填充的平行导电板系统（a）两层状介质填充的平行导电板系统（b）导电板间介质介电系数分布洛仑兹力洛仑兹力方程带电量q、速度为v的质点在电磁场中受到的力为洛仑兹力方程所描述（）力F的单位是牛顿（N），电量q的单位是库仑（C）。洛仑兹力中第一项qE是电场力。如果把点电荷q1作用于点电荷q2的库仑力Fe理解为点电荷q1产生的电场对点电荷q2的作用，那末洛仑兹力第一项反映的就是库仑力，它是带电体相互间作用规律的实验总结。第二项磁场力也是实验规律的总结。实验得出通电导线在磁场中受力，I为导线上流过的电流，dl的方向为导线上电流方向。如果电流I只是电荷q运动引起的，即，此时。磁场力Fm正比于v与B的叉积。静止电荷v=0，所以磁场对静止电荷不起作用。对运动电荷也仅当其速度v有与B垂直的分量时，，磁场才对运动电荷起作用。磁场对运动电荷的作用力总是与运动电荷的速度v垂直，所以磁场力总是使荷电质点运动轨迹弯转。洛仑兹力方程将电磁学与力学联系起来。因为物质是由原子构成的，而原子由带负电的电子与带正电的核组成。所以洛仑兹方程描述了电磁场对构成物质的基本单元—电子和核（它们都可看成荷电质点）的作用，而物质对电磁场的作用则由麦克斯韦方程和物质的本构关系反映出来。本书较少涉及洛仑兹力方程，当研究场与电荷相互作用时，洛仑磁力方程是必不可少的。下面我们用洛仑兹力方程推导等离子体的本构关系。等离子体等离子体是电离了的气体，含有大量带正电的离子和带负电的电子，与束缚在原子中的带负电的电子和带正电的核不同，等离子体中的电子和离子可以自由运动。离开地面80~120km高空的电离层就是一个等离子体，电离层是由太阳辐射来的紫外光电离高空大气而形成的。如果电场作用于等离子体，等离子体中的电子和离子将受电场力作用而运动。因为电子质量比离子质量小得多，离子的运动可忽略。对于时谐场，电子受到的力，按洛仑兹力方程为（）式中库，所以电子受到的力也是随时间作简谐变化的。在此简谐力作用下，电子将在平衡位置附近作简谐振动。假设x为电子离开正离子的位移，在电子作简谐振荡假定下，按牛顿第二定律。（）式中kg为电子质量。为时谐电场E的角频率。根据偶极子定义，偶极矩密度P为（）式中N为等离子体中单位体积内的电子数。将式（）的x代入式（）、再利用式（）得到（）后面将证明，任何介质中D由自由空间部分与介质极化产生的电偶极矩P两部分构成。等离子体也是一种介质，所以等离子体中D也由自由空间部分与等离子体部分P构成，即（）式中（）叫做等离子体频率。所以等离子体可用一有效介电常数为（）的介质等效。电离层中电子浓度随电离层离开地面的高度以及昼夜时间而变化。白天的典型值为1012电子/m3，相应的P=107rad/s，或fP=9MHz。因此，如果电磁场的频率f>>fP，电离层与自由空间无多大差别。但是对于较低频率的电磁场，可以为负。第五章我们将对为负的介质进行讨论。坡印廷定理电场E的量纲是V/m，磁场H的量纲是A/m，E与H乘积的量纲是W/m2，与功率流密度的量纲相同。所以E与H的乘积与电磁功率流有关。两矢量的乘积有点积和叉积，因为点积是标量，而功率流是矢量，所以我们定义一个矢量S(r,t)，它是E(r,t)与H(r,t)的叉积，即（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT1）矢量S(r,t)是否表示电磁功率流尚需进一步分析。电磁运动服从麦克斯韦方程，关于电磁功率流的分析还得从麦克斯韦方程组出发。为此用E点乘式（）、H点乘式（），得到（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT2）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT3）这里我们利用了本构关系，。两式相减并利用恒等关系得到（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT4）对上式两边在域V内作体积分并利用散度定理（）得到（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT5），具有单位体积能量的量纲。以后将证明，表示单位体积中瞬时储存的磁场能，而表示单位体积中瞬时储存的电场能。根据电路原理[]表示单位体积中功率损耗，而[–]表示源提供的功率。所以式（）的右边表示体积V内源提供的功率以及V内储存能量随时间的减少率。根据能量守恒关系，它应当等于从体积V流出的功率。所以式（）左边就表示从V流出的电磁功率，而S(t)就表示电磁功率流。式（）或（）表示的电磁能流关系叫做坡印廷定理，而矢量S(r,t)叫做瞬时坡印廷功率流。对于时谐场，定义复数坡印廷功率流S(r)，它是复矢量E(r)与H(r)的共轭复矢量H*(r)的叉积。（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT6）记住（）定义的复数坡印廷矢量不是时间t的函数。通过复数坡印廷功率流S(r)求瞬态坡印廷功率流S(t)的时间平均值极为方便（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT7）因此时间平均坡印廷功率流的计算可简化为取复数坡印廷功率流[]实部的运算。注意本书瞬态坡印廷功率流与复数坡印廷功率流虽然用了相同的符号S，但瞬态坡印廷功率流都标明是t的函数，即S(t)，不会引起混淆。复数坡印廷功率流的物理意义也可从复矢量形式的麦克斯韦方程得出，将代入式（）、（）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT8）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT9）式中、可以为复数，也可能与空间坐标有关以H(r)的共轭复数H*(r)点乘式（），再用E(r)点乘式的复共轭，相减，如果媒质中只有传导电流，即J，可得（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT10）或者（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT11）式中（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT12）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT13）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT14）we、wm分别表示时间平均电场能密度与磁场能密度，pr代表单位体积内电阻损耗与介质损耗。欧姆损耗由媒质的有限电导率引起，它等于，而介质损耗反映介质的极化或磁化跟不上电场或磁场的变化，即存在迟滞效应，产生迟滞损耗。例如水分子极化恢复力较强，在交变场中就存在迟滞损耗，而且电场随时间变化愈快，迟滞损耗功率就愈大，这部分损耗与欧姆损耗一起转化为热能。如对式（）由封闭曲面S包围的元体积V积分，并利用矢量分析中的散度定理，得到（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT15）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT16）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT17）（.SEQ\n[38]\*MERGEFORMAT18）式中n0为闭曲面S向外的法向单位矢量。式（）左边表示通过闭曲面S流入体积V的总电磁功率，它是复数。式（）右边第一项实部PR表示体积V内的介质损耗与欧姆损耗；右边第二项虚部中Wm、We分别表示体积V内总的磁场能和电场能。所以式（）表示，流入闭曲面S包围的体积V内的复数坡印廷功率的实部等于体积V内平均损耗的功率。当体积V内储存的磁场能与电场能的时间平均值不相等时，对于时间呈现电性的或磁性的这部分平均净储能，需要用复数坡印廷功率流的虚部来平衡。在一个闭合的区域中所包含的电磁场系统与外界交换能量时，可以等效地表示成具有一定端口的网络系统，系统中贮存的电能和磁能的时间平均值之差可用网络输入阻抗的电抗部分等效地表示。【例3-5】如果某区域内，假定、是实数，求E(t)、H(t)、S(t)、，以及电场能UE(t)，磁场能UH(t)及其平均值、。解：根据式（）所以+–Vmcostdz,图3-8例3-6之图2a【例3-6】由半径为a的两圆形板构成一平板电容器，间距为d，其间充以介电常数为、电导率为的介质，如图3-8所示。假设两板间加电压V=Vmcost，且ω很低并可略去电容器的边缘效应，电容器中电场，求电容器中任一点之H坡印廷功率流的瞬时值S(t)电容器中热损耗功率P证明供给电容器的平均功率等于其中的平均热损耗功率解：（1）电通量密度，位移电流密度，传导电流密度，根据全电流定律得到所以（2）（3）热损耗功率P为平均功率损耗为（4）供给电容器的功率：将E、H写成复矢量形式供给电容器功率流密度Sav进入电容器的功率为Pav=P'av，所以源供给电容器的功率P'av等于平均热损耗功率Pav。电磁场的几个基本原理和定理下列基本原理和定理表明电磁场的一些基本性质，它们都是从麦克斯韦方程导出的，在电磁问题求解中占有重要地位。有些原理或定理只在一定条件下成立，应用时要注意是否符合规定的条件。叠加定理如果在我们所研究的区域内及边界上，媒质的、、都与场强无关，即我们处理的是线性媒质，那末麦克斯韦方程所描述的系统就是线性系统，根据线性系统的叠加原理，若Ei、Di、Bi、Hi，i从1到n，是给定边界条件下麦克斯韦方程的多个解，则、、、必是麦克斯韦方程在同一边界条件下的解，这就是叠加定理。时变电磁场的唯一性定理通过麦克斯韦方程组求解时变场，有一个问题首先要搞清楚，我们所得到的解是否唯一在什么条件下才是唯一的这就是时变场的唯一性定理要回答的问题。对于一个正确规定的问题，唯一性定理保证有一个而且只有一个解。假定感兴趣的区域用V表示，而且它被一个闭合表面S所包围。假设V内的一组源对场量产生两个不同的解，并令Ea和Ha表示一组解，Eb和Hb表示另一组解，两组解均满足麦克斯韦方程。这两组解之差用和表示。唯一性定理要求，现证明如下。由麦克斯韦方程的线性性质，显然E和H满足V中的无源麦克斯韦方程（）（）重复类似于中导出复数坡印廷定理的步骤，可得到关系（）或（）为使上式左方的面积分为零，则要求右方的体积分为零。在右方体积分的三项中被积函数|E|2及|H|2为非负函数，使等式右方为零的唯一可能是|E|2及|H|2均为零。这意味着区域V内的场只有唯一的一组解。如果对于V内场的任何可能解，在V的边界面S上电场或磁场的切向分量要求取确定值，那么对于所假定的V内的两组解在S面上应有或在S的每一个面元上如果上面的条件能够保证成立，就可使式（）左方的面积分为零。因此电磁场的唯一性定理可表述如下：对于一个被闭合面S包围的区域V，如果S面上的电场或磁场的切向分量给定，或者在S面上的部分区域给定E的切向分量，在S的其余表面给定H的切向分量，那么在区域V内的电磁场是唯一确定的。镜像原理pp'pmmp'mm'图3-9电偶极子及磁偶极子在理想导体表面的镜像镜像原理是由唯一性定理导出的，它实际上是等效性原理在理想导体边界情况下的应用。当源靠近理想导体壁时，所产生的场相当于原有的源和它对该壁作为镜面产生的镜像一起建立的场。确定镜像的原则是，它与原有的源共同建立的场在边界上满足理想导体的边界条件（理想导体的边界条件在第五章专门讨论）。这样求源靠近理想导体壁产生的场转化为求原有的源与其镜像产生的场，使场的求解大为简化。如何根据边界条件确定镜像将在以后有关章节中讨论，下面是相应的结论。电荷对平面理想导体壁的镜像是另一侧等距处与原电荷大小相等、符号相反的电荷。电流元即交变电偶极子对理想导体平面表面的镜像如图3-9所示。值得注意的是与界面垂直的电流元其镜像为同方向的电流元，而与界面平行的电流元其镜像为反向的电流元。等效磁流元即磁偶极子在理想导体表面的镜像也示于图3-9，它与电流元镜像的关系相反。等效原理由唯一性定理可得到等效原理。在某一空间区域内，能够产生同样场的两种源，称其在该区域内是等效的。很多场合下，用等效源代替实际源，会给解题带来很大方便。按照等效原理，如果源在体积V内，欲求V外某一点场时，可以这样处理：假设V内为零场，此时封闭面S上出现了不连续，为满足边界条件，可假定S上有切向场n0×H和E×n0，n0为S法线方向的单位矢量，H和E为S面上的场。这样V内一次源的影响就为边界面上的二次源n0×H和E×n0所代替。根据唯一性定理可以看出，二次源可以产生唯一的与真实源相同的场。应用等效原理解题时，我们往往把二次源放到我们所“感兴趣”的区域的边界上，二次源在我们感兴趣的区域内产生与真实源相同的解，但在我们“不感兴趣”的区域，二次源的解或与真实源产生的解不同，甚至是错误的。这是我们在应用等效原理时要注意的。前面所引进的二次源是一种等效源，或者说是一种虚源。其中n0×H是容易理解的，它相当于电流密度矢量（第五章将专门讨论），记作n0×H=Js。对照Js=n0×H，对偶地把E×n0叫做磁流密度矢量，记作Jms=E×n0。因而这里所引进的新的波源磁流，实际上就是切向电场，这纯粹是为了数学上的方便。但是真正的波源还是电荷和电流，因为切向电场实际上也由电荷和电流产生的。已经知道，位移电流密度和传导电流密度与磁场强度H的关系为引进磁流密度后，仿此也可写出引入虚拟磁流后，按照连续性原理，必定有磁荷，于是有由于旋度的散度为零，可以推出引进磁荷和磁流后，麦克斯韦方程组变为（）式中m为磁荷密度，单位为，Jm为磁流密度，单位为V/m2。对偶定理引进磁荷和磁流后的麦克斯韦方程（）中关于电的量和磁的量具有对偶性。为此我们写出只由电荷、电流作为源激发的和只由等效磁荷、等效磁流作为源激发的电磁场方程组和电流连续方程。电型源磁型源（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）不难看出这两组方程式之间存在着明显的对应关系，也就是说如果将上两组方程式中的所有场量和源量作如下代换(a)(b)图3-10电振子与磁振子的对偶(a)电振子(b)磁振子（裂缝）EHEHH–EH–Emm=–JJmJm–J电型源方程变为磁型源方程，而磁型源方程则变为电型源方程。电型源方程和磁型源方程式的这种对应形式称为二重性或对偶性。电磁场方程式的二重性提供了这样一种便利，如果知道一个问题（例如电型源问题）的解就可由对偶关系得出它的对偶问题（为一磁型源问题）的解，而无需重复求解方程。由电基本振子[图3-10(a)]的辐射场写出磁基本振子[图3-10(b)]的辐射场可作为二重性应用的简单例子。因为，引入磁流、磁荷概念后，这两种基本辐射单元极其相似。电基本振子天线表面上有交变电流，在天线的两端电流为零，而有电荷的堆积，电流和电荷之间满足连续性方程。作为实际可行的磁振子的裂缝天线，其口径上有切向电场，相当于磁流密度，在裂缝的两端切向电场为零，即磁流为零，因而裂缝的两端也相当于磁荷的堆积。电基本振子、磁基本振子天线在第八章会深入讨论。互易定理电磁互易定理反映两组不同的场源之间的影响和响应关系。其数学形式导出如下。考虑同一线性介质中的两组频率相同的源Ja、和Jb、。我们用Ea、Ha表示源a产生的场，用Eb、Hb表示源b产生的场，写出相应的场方程式（）（）和（）（）以Eb点乘Ha的方程，Hb点乘Eb的方程，所得两式相减后为再将上式的a和b互换得上面得到的后一式减去前一式，有（）如果在区域V内无源，J=Jm=0，式（）化为此式在V上积分，应用散度定理化为面积分后得（）式（）称为洛仑兹引理，或洛仑兹互易定理。如果区域V内有源，对式（）积分后得（）在实际问题中，源总是局限于有限空间的。以后将证明局限于有限空间的源在无穷远处的电场和磁场之间的关系为（）这里为介质的空间波阻抗。如果将式（）式的积分扩展至全空间，而S变为半径无穷大的球面，利用式（）可以证明式（）左方S面上的积分为零，便得到互易定理（）式（）的积分区域V是全空间。如果在有界区域的边界面上式（）左方面积分为零，例如理想导体包围的闭合区域，那么这时互易定理式（）也适用。下面我们来解释互易定理的物理意义。首先我们注意积分中的量不是复共轭量，因此一般来说式（）中的积分并不表示功率。Rumsey将这两个积分称为反应（reaction）。例如，式（）的左方的积分是场a对于源b的反应，并利用符号表示为（）而式（）右方的积分是场b对于源a的反应，用符号表示。于是互易定理式（）用反应可表示为（）反应概念可以看作是彼此独立的场与源之间响应的量度。下面通过简单的二端口网络予以说明。+Jb–VaIbIa（a）+Jmb–VaIbIaVb（b）图3-11电流源与磁流源对电路的作用（a）电流源对电路的作用（b）磁流源对电路的作用图3-11（a）示出一个给定的电流源Jb通过二端口网络的开路端与场a之间的作用，Va、Ia分别是场a在二端口网络开路端产生的电压和电流，场a和源b的反应为（）所以当单位电流源作用于二端口网络时，网络输出端场a与输入端单位电流源b的反应就是网络输出端电压Va的负值。再看图3-11（b）。该图示出了给定的磁流源与场a通过二端口网络的相互作用，场a与磁流源之间的反应为（）注意到积分中，积分路径是逆时针的，而图3-11b所指示电流Ia是流入网络的，在安培定律中略去位移电流，便得到是略去位移电流后在磁流环的横截面流过的电流这个关系式表明，磁流源相当于电压源。式（）表示当单位磁流源作用于网络时，网络输出端场a与输入端单位磁流源b的反应就是网络输出端电流Ia的负值。继续以前面的二端口网络为例，利用上面的分析结果，可以从场的互易定理得出网络的互易定理。二端口网络阻抗矩阵的定义是（）现在我们用互易定理证明非对角阻抗矩阵元的对称性。当端口b加单位电流源时，得到而当端口a加单位电流源时，得到由式（）又得到按互易定理，即所以这就是说在线性电路问题中，熟知的二端口网络非对角阻抗矩阵元的对称性实际上是互易定理的具体表现。应当强调指出的是，互易定理与介质的性质有关。只是在一定类型的介质中才有互易关系（），而在一些特殊介质中，如磁化等离子体、磁化铁氧体，互易关系（）不再成立，这样的介质称为不可逆介质。由洛仑兹互易定理可以证明，同一天线作为发射天线的特性和作为接收天线的特性相同；在波导或谐振腔中，同一个探极作为激励器和作为接收器的特性相同。本章要点麦克斯韦方程是支配电磁运动的基本方程。麦克斯韦方程不是从几个公理推导出来的，而是根据科学实验总结出来的电磁运动的基本规律，麦克斯韦方程是正确的，因为宏观世界电磁运动都遵循麦克斯韦方程。得出麦克斯韦方程所依据的基本实验规律是，法拉第电磁感应定理、安培全电流定理、高斯定理（或库仑定理）以及磁通连续性原理。麦克斯韦的贡献在于在安培定理中引入位移电流的概念，推广了安培定理，正是由于位移电流概念的提出，从麦克斯韦方程预言电磁波的存在，赫兹在1886-1889通过实验证实电磁波的存在，并导致马可尼（G.Marconi）在1895年和波波夫（A.C.Popov）在1896年成功地进行了无线电报传送实验，从而开创了人类应用无线电波的新纪元。积分形式的麦克斯韦方程组描述空间某一局部区域场的平均性质，而微分形式的麦克斯韦方程描述场在空间每一点的性质，当积分形式的麦克斯韦方程其积分区域收缩为一点，其极限就是微分形式的麦克斯韦方程，联系微分形式与积分形式的麦克斯韦方程的桥梁就是斯托克斯定理与散度定理。对于时谐场，引入复矢量概念后，就得到复矢量形式的麦克斯韦方程组。注意复矢量形式的电磁场量E、D、B、H只是空间坐标的函数，与时间无关。复矢量形式的电磁场量乘上ejt取实部才是时变电磁场量。引入复矢量概念后，电磁场量对时间的微分、积分简化为乘、除j的代数运算，场量乘积时间平均值的计算简化为取实部的代数运算。麦克斯韦方程包含电流与电荷连续方程，如果将电流与电荷的连续方程看作基本方程，那末麦克斯韦方程中只有两个旋度方程是独立的方程。两个旋度方程加上电流与电荷连续方程这三个方程中有五个矢量，一个标量。每个矢量又有三个标量，共有16个标量。两个旋度方程是矢量方程，电流与电荷连续方程是标量方程，加起来才七个独立的标量方程，尚需9个独立的标量方程才能对电磁问题进行求解。这9个方程可从物质的本构关系得到。物质的本构关系是：。介质的介电常数、磁导率、电导率是描述介质特性的参数。介质可按、、进行分类。所谓介质的线性与非线性，均匀与非均匀，各向同性与各向异性，色散与非色散，无耗与有耗，都是由、、的性质决定的。线性、各向同性、均匀介质叫简单介质。麦克斯韦方程描述源对场的作用，即由电荷、电流产生场，而场对源的作用就由洛仑兹力方程描述，洛仑兹力方程也是实验规律的科学总结，场对物质的作用通过电场力与磁场力进行，注意磁场力对静止电荷不起作用，对运动电荷的作用不仅与速度大小有关，还与方向有关，磁场力总与荷电质点运动的方向垂直。电场强度E与磁场强度H乘积具有功率量纲，坡印廷矢量表示电磁功率流，引入复数坡印廷矢量后，时间平均值的计算简化为对[]取实部的运算。坡印廷定理反映电磁运动中的能量关系。如果媒质是线性的，麦克斯韦方程组也是线性的，满足叠加定理。唯一性定理保证在一定边值条件下麦克斯韦方程有一个而且只有一个解。由唯一性定理可得到等效原理。在某一空间区域内，能够产生同样场的两种源，称其在该区域内是等效的。电磁场方程的对偶原理或二重性原理提供了这样一种便利，如果知道了一个问题（如电型源问题）的解，就可对偶地得出它的对偶问题（为一磁型源问题）的解，而无需重复求解过程。从唯一性定理可得出镜象原理，它实际上是等效原理在理想导体边界情况下的应用。电磁互易定理反映两组不同场源之间的影响和响应关系，用“反应”表示其数学关系是=。互易定理与介质性质有关，只是在一定类型的介质中互易定理才成立。在旋性介质中互易定理不再成立。由场的互易定理可以得到电路的互易定理。习题三以下几个量的量纲是什么？（a）E·D（b）H·B（c）S无源空间，随时间变化吗？Va图假定(E1、B1、H1和D1)、(E2、B2、H2和D2)分别为源(J1、)、(J2、)激发的满足麦克斯韦方程的解。求源为(Jt=J1+J2,)时麦克斯韦方程的解。在得出你的解中你应用了什么原理？如果在某一表面E=0，是否就可得出在该表面为什么对于调幅广播，频率f从500KHz到1MHz，假定电离层电子浓度N=1012m–3，确定电离层有效介电系数e的变化范围。ar–roxy图一半径为a的导体圆盘以角速度在均匀磁场中作等速旋转，设圆盘与磁场互相垂直，如图，试求圆盘中心与它边缘之间的感应电动势。一点电荷（电量为10–5库仑）作圆周运动，其角速度=1000弧度/秒，圆周半径r=1cm，如图，试求圆心处位移电流密度。在一半径为a的无限长圆柱中有一交变磁通通过，其变化规律为，试求圆柱内外任意点的电场强度。假定E=(x0+jy0)e–jz，H=(y0–jx0)e–jz，求用z、t表示的S以及。设电场强度，求磁场强度H，以及瞬时坡印廷功率流S(t)与平均坡印廷功率流。说明。说明。求在电场E=104V/m或磁场B=104G（高斯G=10–4Wb/m2）两种情况下，比较单位体积中储存的电场能与磁场能的差别。