微分几何答案

第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的坐标曲线.解u-曲线为4={ucosv0,usinv0,bvo}={0,0,bv0}+u{cosv0,sinV0,0},为曲线的直母线；v-曲线为#={u0cosv,u0sinv,bv}为圆柱螺线..证明双曲抛物面{a(u+v),b(u-v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。证u-曲线为4={a(u+v°),b(u-v°),2uv0}={av°,bv°,0}+u{a,b,2v。}示过点{av0,bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v-曲线为H={a(u°+v),b(u°-v),2u°v}={au°,bu°,0}+v{a,-b,2u°}表示过点(au0,bu°,0)以{a,-b,2u°}为方向向量的直线。.求球面H={acossin,acossin,asin}上任意点的切平面和法线方程。解r={asincos,asinsin,acos},r={acossin,acoscos,0}xacoscosyacossinzasin任意点的切平面方程为asincosasinsinacos0acossinacoscos0即xcoscos+ycossin+zsin-a=0;好心寸羊口业xacoscosyacossinzasin小次。J/|土ocoscoscossinsin224.求椭圆柱面与当1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有ab一个切平面解22椭圆柱面与12ab1的参数方程为x=cosy=asin,z:=tr{asin,bcos,0},rt｛0,0,1｝。所以切平向万程为：xacosybsinztasinbcos00,即xbcos+yasin—ab=0001此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直TOC\o"1-5"\h\z母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。一a3一5.证明曲面r｛u,v,——｝的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。uv33证ru{1,0,-a^},rv{0,1,-^y}o切平面方程为:uvuv与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,3a2一)uv于是，四面体的体积为:1g3|u|3|v|3a3|uv|93...—a是甬数。2§2曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面r={a(u+v),b(u-v),2uv｝的第一基本形式.2,22ab4vru{a,b,2v},rv{a,b,2u},EFrurva2b24uv,Grv2a2b24u2,••I=(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2。2.求正螺面*={ucosv,usinv,bv}的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解ru{cosv,sinv,0},rv{usinv,ucosv,b},Eru21,Frurv0,Grv2u2b2,■I=du2(u2b2)dv2,:F=o,.••坐标曲线互相垂直。在第一基本形式为I=du2sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。22222解由条件dsdusinhudv,沿曲线u=v有du=dv,将其代入ds得ds2du2sinh2udv2=cosh2vdv2,ds=coshvdv,在曲线u=v上，从▼〔到v2的弧长v为|coshvdv||sinhv2sinhv1|。设曲面的第一基本形式为I=du2(u2a2)dv2,求它上面两条曲线u+v=0,u-v=0的交角。分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E1,Fv0,Gu2a2,曲线u+v=0与u-v=0的交点为u=0,v=0,交点处的第一类基本量为E1,Fv0,Ga2。TOC\o"1-5"\h\z曲线u+v=0的方向为du=-dv,u-v=0的方向为au=av,设两曲线的夹角为,则有2EduuGdvu1acos=—Edu2Gdv2、Eu2Gv21a2求曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=y0的交角.解曲面的向量表示为^=(x,y,axy},坐标曲线x=x0的向量表示为*={x0,y,ax0y},2...._rxryax0y0|rx||ry|1a2x21a2y2其切向量ry={0,1,ax0}；坐标曲线y=y°的向量表示为*={x,y°,axy°}，其切向量&={1,0,ay。}，设两曲线x=x0与y=y°的夹角为，则有cos6.求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程解对于u-曲线dv=0,设其正交轨线的方向为8u:av,则有将dv=0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的Eduau+F(du8v+dv8u)+Gdv8v=0,微分方程为Eau+fav=0.7.在曲面上一点，含du,dv同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为的二次方程Pdu2+2Qdudv+Rdv2=0,确定两个切方向ER-2FQ+GP=0.(du:dv)和(au:av),证明这两个方向垂直的充要条件是证明因为du,dv不同时为零，假定R=0,设其二根dU,—,则dU—=-dvvdvvPE四史+F(四+卫)+G=0••…②dvvdvvdv0,则所给二次方程可写成为P(业)2+2担dvdv四+史=2Q……①又根据二方向垂直的条件知dvvP将①代入②则得ER-2FQ+GP=0.证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.证用分别用a、、d表示沿u一曲线，v一曲线及其二等分角线的微分符号，即沿一曲线au。，av=0,沿v一曲线u=0,v0.沿二等分角轨线方向为du:dv根据题设条件，又交角公式得(EduvFdvu)2(FduvGdvv)20n(EduFdv)2(FduGdv)2TOC\o"1-5"\h\zC22—22，'~~°HYPERLINK\l"bookmark23"\o"CurrentDocument"EudsGvdsEG展开并化简得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0,消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.9.设曲面的第一基本形式为I=.2,22.2du(ua)dv，求曲面上三条曲线u=av,v=101a1S=.u22,adudvJu2a2dudvau0uaaa1a解三曲线在平面上的图形(如图)所示。曲线围城的三角形的面积是=2u2a2dudv=2(1u)u2a2du0u0aa相交所成的三角形的面积。232229=［厂(ua)23auu2a2a2ln(u.u2aa)］|o=a亏ln(12)］。10.求球面F={acossin,acossin,asin)的面积。解r={asincos,asinsinr=(acossin,acoscos,0}222=a,F=rr=0,G=r=a2cos球面的面积为:22d.a4cosd2a22cosd~22a2sin|24~211.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos,tsin,..t21}(t>1,0<<2)之间可建立等距映射,,2=arctgu+v,t=u1分析根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射=arctgu+v,2t=u1,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数，然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式222证明螺面的第一基本形式为I=2du+2dudv+(u+1)dv,旋转曲面的第一基本形式为t2I=(1厂)dt23,在旋转曲面上作一参数变换=arctgu+v,t=Ju21,则其第一基本形式为：(1Ju2Kt-u-du21(u2121)(dudv)1u1)du22du21u2222.22dudv(u1)dv=2du+2dudv+(u+1)dv=I.所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu+v,t=vu21-§3曲面的第二基本形式1.计算悬链面^=(coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式，第二基本形式解ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv=(-coshusinv,coshucosv,0}ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},Eru2=cosh2u,Frurv=0,Grv2=cosh2u.所以I=cosh2udu2+cosh2udv2.n=『「u「v={coshucosv,coshusinv,sinhusinv},EGF2coshu，L=—。。'血―1,M=0,N=coshu=1.sinh21sinh21所以II=-du2+dv2。计算抛物面在原点的2x35x124x1X22x2第一基本形式，第二基本形式.TOC\o"1-5"\h\z5OO解曲面的向里标为r加上顷12x1x2X2}'rx1{1,0,5x12x2}(0,0){1,0,0},rx2{0,1袂Zx?}。。){0,1,0},%{0,0,5},*2{0,0,2},膈2{0,0,2},E=1,F=0,G=1,L=5,M=2,N=2,HYPERLINK\l"bookmark149"\o"CurrentDocument"I=dx12dx2,II=5dx124dx1dx22dx；.证明对于正螺面*={ucosv,usinv,bv},-000,G>0,所以LN<0。若LNM2=0,则L=M=N=0面上的点是平点，若LNM2<0,贝U曲面上的点是双曲点。证明如果曲面的平均曲率为零，则渐近线构成正交网.证法一：如果曲面的平均曲率为零，由上题曲面上的点都是双曲点或平点若为平点，则任意方向为渐近方向，任一曲线为渐近曲线，必存在正交的渐近曲线网若为双曲点，则曲面上存在渐近曲线网.由19题，渐近方向满足tg21=1,2证法二:所以L（业）2dv2M0LG2FMNE0渐近线方程为2.2Ldu2MdudvNdvduN0,所duuNduu2Mdv以.dvvL,dvvL,即渐近曲线网构成正交网所以2=-/4,两渐近线的夹角为EduuF(duvdvu)Gdvvdvv[E空—^F(四—U)G]dvvdvvN2M-一，、一=dvv[E[F(一厂)G]0,所以渐近网为正交网。iM0(HJi2)0，所以高斯曲率，Ki20，所以所以曲面上存在两族渐近线。取曲面上的两,曲面上的点是平点，若LNM20,所以曲面上的点是平点或双曲点。族渐近线为坐标网，则L=N=0，若M=0M0，则.H0LG正交网。2FMNE0，所以MF=0，所以F=0,所以渐近网为24.在xoz平面上去圆周2y=0,(xb)22za(ba)，并令其绕轴旋转的圆环面，参数方程为r=((b+acos)cos,(b+acos)sin,asin｝，求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。』一2解E=a,F=0,G=(b、2acos),L=a,M=0,N=cos(b+acos),22LN-M=acos(b+acos),由于b>a>0,b+acos>0,所以LN-M的符亏与cos的符号一致，当0V0,曲面上的点为椭圆点，即圆环面外侧22的点为椭圆点；当-/<<子，曲面上的点为双曲点，即圆环面内侧的点为双曲点；当=或'时，LN-M2=0,为抛物点，即圆环面上、下两纬圆上的点为抛物点。225.若曲面的第一基本形式表示为I2(u,v)(du2dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r(g(t)cos,g(t)sin,f(t)｝上存在等温网。证旋转曲面r(g(t)cos,g(t)sin,f(t)｝的第一基本形式为'2'22gfIg2(t)^-vgdt2d2),做参数变换ug'2f'2―皿dt,v=，则在新参数下,gIg2[t(u)](du22dv)，为等温网。26.两个曲面&、S2交于一条曲线(C),而且(C)是Si的一条曲率线，贝U(C)也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着(C)相交成固定角。证两个曲面Si、S2交于曲线(C),ni、n2分别为Si、S2的法向量，贝U沿交线(C),n1与n2成固定角的充要条件为n1•n2=常数，这等价于d(n1-n2)=0,即dn1-n2+n1-dn2=0，而(C)是S1的一条曲率线，因此dn1与(C)的切向量d$共线，则与n2正交，即dn1-n2=0,于是n1-dn2=0，又dn2上n2,所以n1-dn2=dn1-n2=0的充要条件为dn2〃d即(C)是S2的曲率线。27.证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是/顶，另一条在点P的挠率是-J—R，其中K是(S)在P点的高斯曲率。证曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P,沿渐近线有n=，且ii=0,于是有dn=d.则dn2d2III2HIIKIKI,即d2Kds2，或(—)2K,所以有()22K,『"K。ds28.证明如果曲面上没有抛物点，贝U它上面的点和球面上的点是对应的。证设给出的曲面(S):r=H(u,v)上的点*(u,v)与(u,v)D内的点一一对应，其球面像上的点为n=n(u,v),由于门nvk(.^),所以|n“nv|k|.堂|=|LNM2|nv0。，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M20,则nuEGF2说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点对应，因此曲面(S)上的点与球面像上的点对应。