类比思维在高等数学中的应用

职业教育◇高等数学是一切自然科学的基础，高等数学教学的主要目的是要让学生掌握数学的基本理论知识，学会运用数学思维和思想解决。教学实践证明，只要运用科学的思维方法学习这些理论知识，尤其是对相关内容进行类比，不仅能使难理解的概念容易理解，难记忆的公式更容易记忆，而且可以使解思路变得更加开阔。1.什么是类比法类比法是指由两个对象内在关系某方面的相似推出他们在结论方面也可能相似的一种推理思维方法，它是数学研究中最基本的创新思维形式，历史上的很多数学结论都是应用这种方法建立的。下面将通过举例来说明大学数学中应用类比法产生的结论：高等数学中，闭区间上的连续函数有如下性质：性质1（最大值与最小值定理）：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。性质2（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)可以取其最大值与最小值之间的一切值。利用类比法，我们可以得到多元函数在闭区域上类似的性质：性质1：在有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。性质2：设函数f(x，y)在有界闭区域上连续，则f(x，y)可以取其最大值与最小值之间的一切值。如果掌握了得到定积分概念的过程（分割、求和、取极限）的思想，那么二重积分的概念通过类比的方法就很容易得到。在《概率论》中，事件独立性的概念是：设A，B是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则两个事件A与B独立。在定义两个随机变量之间的独立性时，也有类似的结论：设X，Y是两个A，B随机变量，若（X，Y）的联合分布函数F(x，y)=FX(x)FY(y),则，随机变量X，Y独立。同样，高等数学中的牛顿-莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是类比推理方法的产物。在常微分方程的内容中，一阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解，通过类比可得到以下结论：结论1：二阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解。结论2：在线性代数中，线性非齐次方程组的通解是其对应的齐次方程的通解加该非齐次方程组的特解。类比方法不仅在同一学科的研究中有重要作用，而且在不同学科中也有经常使用。在高等代数中，若V1,V2是线性空间V的子空间，则dim(V1+V2)=dimV1+dimV2-dim(V1∩V2).在概率论中，若是样本空间中的两个随机事件，则P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)–P(A1∩A2)。在中心极限定理的内容中，列维-林德伯格中心极限定理和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理中的表达式，好多初学者感到难于记忆，但是把它与一般正态分布变为正态分布的变换联系起来考虑，就很容易记忆，这就是类比法的效果。2.加减法类比微积分数学学习中的概念让我们“认识事物”，定理及证明让我们“提出问题”“解决问题”。有了这些理论基础，所有的题目只是对真理的检验而已。微积分是高等数学的主要内容，也是最难学的内容之一。因此，老师在讲授过程中，一方面要缓解学生的恐惧心理，另一方面能让学生在原有知识的基础上学习新的知识。已知知识：“＋”，“－”，“＊”，“／”四种运算。未知知识：正如加法有其逆运算，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算—积分法。通过类比，我们知道所要学习的新知识“积分法”不过是微分的逆运算而已。3.线面垂直类比多元函数极限定义已知知识：定义：如果直线l垂直于面α的任意一条直线，则称这条直线与这个平面垂直。认识事物：通过定义我们知道了什么是线面垂直。提出问题：一个平面是有无数条直线，我们不可能验证平面上每一条直线与l垂直。解决问题：我们知道两条相交直线确定一个平面，因此我们有了线面垂直的判断定理。进一步思考，如果已知直线垂直于平面，那么很容易得出这条直线垂直于面上的任意一条直线。未知知识：二元函数z＝f（x，y），其中点p0是f（x，y）的某个定义域的内点或边界点。如果在p（x，y）→p0（x0，y0）的过程中，对应的函数值f（x，y）无限接近于一个确定的常数A，就称A是函数f（x，y）当（x，y）→（x0，y0）时的极限，并记作lim（x，y）→（x0，y0）f（x，y）＝A认识事物：通过定义，我们知道了二元函数的极限。提出问题：极限研究的是自变量在某个变化过程中，函数值的变化趋势，一元函数时趋近方式有两种，所以左右极限存在且相等，我们就可以说极限存在，同样在二元函数中，自变量在趋于某一点时的方式有无穷多种，按照定义，如果极限存在，必须每一种方式趋于某点时极限必须都存在且相等。显然，我们是无法验证的。解决问题：当然，验证函数极限是否存在，这种方式不是唯一的。但是，如果反过来思考，如果我们得出至少两种趋近方式趋于某点时，所得极限不等，那么可以得出，在这个变化过程中，极限不存在。所以学习数学只是不断地提出问题—解决问题—提出新问题循环往复不断进行，也只有这样学科才能不断发展，不断完善。4.形式类比在高等数学的在学习的过程，很多同学只是看到公式的繁琐，定理、证明的枯燥以及面对题目的无奈。其实数学的很多公式只是一种形式，定理的证明只是验证一种理论的可行性。而题目只是对公式以及定理的应用而已。类比思想在高等数学学习中的作用是不可忽视的，闵山国藏指出［2］：学生毕业不久，数学知识就很快忘掉了。唯有深深地铭刻于头脑中的数学精神、思维方法、推理方法和着眼点在随时发挥作用，使他们受益终身。5.幂级数与三角级数的类比高等数学中将函数展开成级数是用来研究函数的一种方法，通过对级数的研究来函数，可是人们要将一个函数展开成某种级数却不是件容易的事，为但是，我们通过可把函数展开成简单级数运用类比推演进而把函数展开成（下转第108页）类比思维在高等数学中的应用田民生代玉明（安阳师范学院数学与统计学院河南安阳456550）【摘要】数学是科学和技术的基础，学习数学不仅仅是学习知识，更重要的是学习数学的逻辑思维能力以及准确严密的数学品质，而类比思想在数学学习中有着举足轻重的作用。【关键词】高等数学;教学;类比思想;形式类比962011年第02期●●●●3.4策略4、以例题、练习为模型，善于反思在数学教学中，解题是最基本的活动形式。数学习题的解答过程，也是数学思想方法的获得过程和运用过程。任何一个问题，从提出直到解决，需要某些具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。所以，学生做练习，不仅对已经掌握的数学知识以及数学思想方法会起到巩固和深化作用，而且还会从中归纳和提炼出“新”的数学思想方法。数学思想方法的学习过程首先是从模仿开始的。学生按照例题示范的程序与格式解答与例题相同类型、结构的习题，实际上是数学思想方法的机械运用。此时，并不能肯定学生领会了所用的数学思想方法，只有当学生将它用于新的情境、解决其它有关问题时，才能肯定学生对这一数学本质、数学规律有了深刻的认识。对于例题、习题，不要就题论题，而要教会学生解完后进行反思。（1）解法是怎样想出来的?关键是哪一步?（2）能找到更好的解题途径吗?这个方法能推广吗?（3）通过解决这个问题,我收获了什么?这种反思能较好地概括思维本质,从而上升到数学思想方法上来。著名数学教育家弗赖母登塔尔指出:“反思是数学活动的核心和动力。”教师要让学生养成反思的习惯。数学思想方法是隐含在数学知识背后的，如果不是有意识地、有目的地把数学思想方法作为教学内容，那么学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。因此，进行数学思想方法教学时应该以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能达到教学之目的。当然，数学思想方法的教学也不能一蹴而就，要循序渐进。同时，要在教材的知识结构和教学设计上不断完善和丰富数学思想的理念和观点，在数学知识与数学思想方法之间建立有机的结合，形成完整的系统。科【参考文献】［1］雷玲主编．中学数学名师教学艺术．华东师范大学出版社．［2］郑强主编．初中数学课堂教学的55个细节．四川教育出版社．●（上接第98页）针对性的保洁工作。对于水泥稳定类半刚性基层，透层油应以慢裂型乳化沥青为宜。喷洒要保持稳定的车速和喷洒量，不能形成油膜和空白，撒布石屑或粗砂，并用压路机稳压一遍。2.1.8确保面层摊铺质量摊铺混合料温度要控制在130℃-150℃为宜；摊铺厚度均匀、压实；铺速应该严格控制在2m/min左右，碾压遍数要适合，避免混合料空隙过大；注意纵向、横向接缝的紧密、平顺，重叠混合料要清理干净。2.2强化公路养护工作，掌握处治各种病害的方法，减少沥青路面的早期破损2.2.1管理部门要严格考核管理，切实提高从业人员的素质公路养护要由专业养路工人进行，按照《公路养护技术》严格规范坑槽维修操作规程，做到科学备料，科学，保证养护的质量。2.2.2严格按照各种病害的方法处理沥青路面的早期破损沥青路面的早期破损形式多种多样，养护人员要根据不同的类型进行科学养护，这就要求扎实掌握相关的养护方法，如裂缝类病害的灌油修补法，变形类车辙病害、沉陷、松散类病害等的处治，这些方法是解决沥青路面的早期破损的常用方法，施工人员要切实掌握方法，严格按照各种病害的方法进行沥青路面的早期破损养护，保证路面的保养质量。科【参考文献】［1］高速公路沥青路面早期破坏现象及预防［M］．北京：人民交通出版社，2001．［2］曾沛霖.干线公路（省、市级）路面评价养护系统技术开发［A］.七五国家重点科技攻关项目研究集.［3］交通部.高速公路养护质量检评方法（试行）［M］.北京：人民交通出版社，2002.（上接第89页）体性的项目，既可以发展学生的体能和技能，又能培养学生的团队协作精神和交往能力，建立良好的人际关系。总之，高校公共体育课是学校体育的最后阶段，它具有与社会生活衔接的特点，在一定意义上，成人体质健康程度和坚持锻炼身体的习惯与技能，取决于青少年时期的体质状况和接受体育教育的程度如何。所以高校公共体育课教学必须更新观念，拓展思想，在形式上、内容上、方法上都应有所改革和创新。体育教学过程及其效果与教师、学生、教材、媒介手段、评估和环境因素密切相关。只有树立整体观点，促进各个因素同步发展与协调配合，从根本上增强体育教学过程的整体效率和效益，才能保证体育教学向着高质、高效的方向发展。科（上接第96页）较复杂的级数。例如：将函数f（x）展开成麦克劳林级数需清楚以下三点：（1）熟悉麦克劳林级数形成（2）f（x）能否展开成麦克劳林级数需要定理检验（3）麦克劳林级数的系数可由f（x）确定。将周期函数展开成傅里叶级数须清楚以下三点（1）熟悉傅里叶级数形式。（2）f（x）能否展开成傅里叶级数需要有定理检验（3）傅里叶级数系数可由f（x）确定。通过类比我们将函数展开成麦克劳林级数的步骤和将函数展开成傅立叶级数步骤相类似，不同之处是麦克劳林级数属于幂级数，所以要求函数在其定义区间内展开，而傅立叶级数属于三角级数，所以要求函数必须是周期函数，在一个周期内展开即可。