南京信息工程大学 高等数学(上册) 试卷B(含答案)

南京信息大学试卷     学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷) 本试卷共  页；考试时间 120分钟；任课教师  课程组  ； 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. . （A）  （B）（C）  （D）不可导. 2. .   （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；  （B）是等价无穷小；   （C）是比高阶的无穷小；        （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（    ）. （A）函数必在处取得极大值； （B）函数必在处取得极小值； （C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点； （D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。 4. （A）  （B）（C）  （D）. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5.                     . 6.                   . 7.                 . 8.                       . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数由方程确定，求以及. 10. 11. 12. 设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性. 13. 求微分方程满足的解.                                                                                 四、 解答题（本大题10分） 14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D. (1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V. 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分） 16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，. 17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设） 解答   一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D  2、A  3、C  4、C 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. . 6..7.  .  8.. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导     ， 10. 解： 11. 解： 12. 解：由，知。           ，在处连续。 13. 解：                   ， 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且，     将此方程关于求导得        特征方程：    解出特征根： 其通解为                        代入初始条件，得    故所求曲线方程为： 五、解答题（本大题10分） 15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程： 由于切线过原点，解出，从而切线方程为： 则平面图形面积 （2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分） 16. 证明： 故有：   证毕。 17. 证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且 由题设，有 ， 有，由积分中值定理，存在，使即 综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在 和，使及，即.