赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间的一致凸性

赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间的一致凸性 赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间的一 致凸性 第49卷第5期 2011年9月 吉林大学(理学版) JournalofJilinUniversity(ScienceEdition) Vo1.49No.5 Sep2011 赋广义Orlicz范数的Orlicz函数 空间的一致凸性 段丽芬,许 (1.通化师范学院数学系,吉林通化134002;2 晶,崔云安. 哈尔滨理工大学应用科学学院,哈尔滨150080) 摘要:利用Banach及经典Orlicz空间几何理论,研究赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间一 致凸问,得到了由右导函数为凸函数的?一函数生成的赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间 一 致凸的充要条件. 关键词:广义Orlicz范数;Orlicz函数空间;一致凸 中图分类号:O177.3文献标志码:A文章编号:167l一5489(2011)05-0809—05 UniformRotundityinOrliczFunctionSpacesEquipped withGeneralizedOrliczNorm DUANLi.fen,XUJing,CUIYun—an (1.DepartmentofMathematics,TonghuaNormalUniversity,Tonghua134002,JilinProvinc e,China; 2.CollegeofAppliedSciences,HarbinUniversityofScienceandTechnology,Harbin15008 0,China) Abstract:BymeansofgeometriesofBanachspacesandOrliczspacesmethod,thecharacteriz ationsover uniformrotundityoftheOrliczfunctionspacesequippedwiththegeneralizedOrlicznormwa sdiscussed.For theOrliczfunctionspacesgeneratedbyaN— functionwhosederivativeontherightisconvexandequippedwith thegeneralizedOrlicznorm,bothsufficientandnecessaryconditionswerepresentedtomake thembeuniform rotund. Keywords:generalizedOrliczHoIm;Orliczfunctionspace;uniformrotund 自Orlicz引入Orlicz空问以来,Orlicz空间理论得到了快速发展引.广义Orlicz范 数是段丽芬 等最先引入的,它与Orlicz范数和Luxemburg范数等价,但赋广义Orlicz范数的 Orlicz空间与赋 Orlicz范数的Orlicz空间及赋Luxemburg范数的Orlicz空问理论上存在许多不同. 文献[5—7]得到了赋 广义Orlicz范数的Orlicz空间严格凸和中点局部一致凸的判据,本文给出由右导 函数为凸函数的』?一函 数生成的赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间一致凸的充要条件. 1定义及符号 设X示一个Banach空间,Y表示的共轭空间,B(X)和S(X)分别表示X的闭单位 球和单位 球面. 定义1_8如果对任何>.,存在>.,使得当,y?5(),ll1I>1—6时,有IIx-yII<, 收稿日期:2010一l1-29. 作者简介:段丽芬(1967,),女,汉族,硕士,副教授,从事Orlicz空间几何理论的研 究,E-mail:duanlf@126.COn1. 基金项目:波兰国家自然科学基金(批准号:201362236)和吉林省教育厅"十一五"科技项目(吉教科合字[2010]第214号) 8l0吉林大学(理学版)第49卷 则Banach空间称为一致凸的. 其等价描述为:若对任何{,},{Y,}cS(X),liralI+Yll=2,蕴涵limll一YIl=0. 定义2若是偶的,非负连续的凸函数,且当且仅当"=0时,(/I)=0,则映射 M:R-+~O,..)称为Orli函数.}~_lira和lim:o.的Orlic函数称为N-函数. 定义Orlicz函数M(")的余函数N()为 N()=sup{/Z1l—M(/Z):/L?0}. 用P+和q+分别表示和?的右导数,(G,,)为一无原子测度空间,表示定义在G上的可测实函 数全体.对任意的?L.,称P()=J,((t))dt为(t)关于的模.Orlicz空问 ,J={X?L:]A>0,P(A)<?} 及其闭子空间 = {?L":VA>0,PM(A)<?} 关于Orlicz范数(Amemiya范数): llll0=infk(1+PM()), Luxemburg范数: lJ}JM=inf}A>0:P吖(x/a)?1}, 以及广义Orliez范数: (1+())(1<P<..) 均成为Banach空问,简记L=[,_l?Il帅],E=[E,ll'll帅].当为N一函数时,x41'-~:0: 的?,满足Il=(1+p())(1<p<?)的k有且只有一个'. 2主要结果 引理1对任何1<P<?和0<b<0,都有 max{[1+(n—)]一[1+(b—)]}=(1+n)一(1+b). :设_厂()=[1+(0一)]一[1+(b—)],贝0 [一[? 易得对任何1<P<?及0??b,都有,()<0,表明)在[0,b]内递减,结论得证. 引理2(1<p<?)自反的充要条件是M??n. 证明:首先按文献[3]中定理1.45的方法易证(_』J)=L(古+1_1),充分性获证.另一方 面,若L"?(1<J[)<.o)自反,必自反,因此 L,=()"3(E)=(,J)](E)=L, 故L=E,即M??.同理可得M?. 定理1若?.函数的右导数P+为凸函数,则L,(1<p<..)一致凸的充要条件是: 1)M??2;2)M一致凸. 证明:充分性.设…Y?S(L,),+Y,Il一2(n一?),且 , +(nXn)],,亡[1+(^…Y)]I/p? 因为一致凸蕴涵M?:,根据文献[10]中定理2知,1<d=sup{kh}<?.令 第5期段丽芬,等:赋广义Orlicz范数的Orlicz函数空间的一致凸性811 一{,hn),…p{,), 则[0,b]c(O,1).因M一致凸,故对任何>0,0<<1/2,都存在6>0,使得对任何A?[?,6]及 l"一f/>~max{l11,l,Jl}?M,都有 M(Au+(1一A))?(1—6)[AM(U)+(1一A)M()].(1) 对任何正整数,令 G={t?G:f(t)l,lboy(t)l<M}, E={t?G:I()一h.y()j<8max{f()l,ly()l}}, F={t?G:I(f)一y()I?emax{I()I,【^y(,){}?u}, 则由?孚和p()+()-(_1)+(-1)J,可得 』M(k()一())?J-M(2u')出?M(2"G,GG 且 』(()一y())d?2』(三j;)d? , 』[((,))+M(h(f))?s[2(dp一1)1/p]<2sd. 同时由Minkowsky不等式,M的凸性,引理1及式(1),可得 0—2一I『+YllM,,? kn『))]+I1+『I)]一【l+p() 警{[1+(南+南州一[()? 』M(knx.)dt+) [1+hn+f)))d佃)? ?+?)d一 [((+?)d), 这蕴涵(())+(()))一0_再注意到 (+去c))2-~fM( 故p,Y.M??2,从而彻机的任 意性可得I『(t)一h.y,(t)Il一0,结合一h=llknII一llh.yll一0,即有 ll一Yll一0,充分性得证. 必要性.因为一致凸的Banach空间一定自反,故由引理2得M?An.若M不一致凸, 则由 文献[3]中引理1.17知,存在>0和ufo.,使得 pff1+)M)<(1-4-1/凡)P.(U)(n=1,2,…). 8l2古林大学(理学版)49卷 不失一般性,1段设,v(P("1))/xG?l,M(M1)G?1.选G"?,使得 [?(p+("))+,v(p+((1+)u,))]?[(M,)+((1+)",)](G)=2.(2) 令,={l+[(u)+((1+))]?(/xG"/2)}1/p,将G分为两个测度相等的子集G和G,使得 G:=lxG"/2(i=1,2),定义 = ,c ]-- E(1+)u+u;],=1_I" .+(1+)u.;],n:l,2,…, 则 IIII?=[1+(t)=1(i=1,2). 设IIxil:[1+(()G),则 (()).N(p+())(G)=l? fni当P+(u)为凸函数时, V(p+(!——:))?[(!!——:)]一.(.G")? [?(Jp+())+,v(p+((1+)u,))](")+((1+))]()=l, 故[",+(1+)"]/2?.又易得 1> / (一),)\n,M(M)+M((1+)u) 于是 jl1川[(厂'1]? (M+(1+)M)/2) (M+(1+)M)/2 {[音?1,? 一 EM()+1…)> l一1/n.—}1. 取,,>0,使得LIII1(1,2;]/p+1/q1),则由式(2)得 p+(u,f))+?(P+((】+)))?[(")+M(1+)]()=1, 再注意到P+(")为凸函数,有 [,v(p+(2(+s)))]?iM(2(1+)u,)]()? [1~(p+(,))+/v(,J+((1+)))()+((1+))]()=1. 记IIxII[1+(』j,7()G]I/q,则 (,v()?(q+()'(2/1. r???,,【 G ++ ++ M —n一.一 第5期段丽芬,等:赋广义Orliez范数的Orlicz函数空问的一致凸性813 表进而?,故 n = , g 一 k+1 『f kx c~ . 1)]? G2[(),.g+(p+(2(+)Un1))]}'g+(p+(2(+)))l [(G)/23[(2(1+)")-.?(2(1+))]一(1+)UnG 再定义LM,p 上有界线性泛函: g()=()(,)d(?Lg,p), ? 则IIgll=llOLIJ(i=1,2;??).但只要注意到M?z,便知{k}:t有界,设k?c (n=1,2,…),则 Il一nI_,?lg(一)=!:? 这与LM,v (1<p<?)一致凸矛盾.证毕. 参考文献 [5] [6] [7] [8] [9] [10] 2(1+)c' OrliezW.0berEineGewisseKlasseVonRaumenVomTypusB 『M].Poland:BullAcadPolonaiseA,1932. LuxemburgWAJ.BanachFunctionSpaces[D]:[PhDThesis].Delft:DelftUniversityofTechnology,1955. ChenST.GeometryofOrliczSpaces[M].Warszawa:DissertationsMath,1996. 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