K—S函数的一致不变凸性

K—S函数的一致不变凸性 K—S函数的一致不变凸性 Vo1.17No.4 Ju1.2001 科技通驻卷第期 BULIET|NOFSCIENCEANDTECHNOLOGY2001年7月 K—S函数的一致不变凸性 陈加莉 (云南财贸学院基础部,云南昆明650221) 摘要:对求解最优化问题的极大熵方法中的关键函数——K—S函数的一致不变凸性作了讨论, 得出”K—S函数是一致不变凸的,则一定是不变凸的结论.基于K—S函数的特殊熵参数,在证明 KS函数的一致不变凸性中,引人了一个很小的正数e,以说明只要熵足够太,K—S函数就是一致不 变凸的 关键词:枉太熵方法{K—S函数{不变凸性;一致不变凸性 中图分类号:O221文献标识码:A 文章编号:1001—7119(2001)04—0050—03 0引言 在对约束不可微最优化问题的求解中.极大熵方法是一种实用而有效的方法.例如,求解 下列问题: fminF) I s.tF()一max{,,)) l?J? lg.()?O01.2,…,m).?R 其中,fJ()(J=1,2,…,);g.)一(一1,2.….m)?一类似问题一般选代2,6次即可 达到工程要求的精度….使用极大熵方法的关键是构造一个K—s函数.K.s函数的一致收敛 性,凸性是凸规划中极大熵方法的理论基础.对K—s进一步的研究也引起了人们的关注.文献 [2]作者对K—s函数的不变凸性作了证明.本文在文献[2]的基础上对一致不变凸性进行了讨 论,并得出结论:K—s函数是一致不变凸的,则一定是不变凸的. 1引理 定义l:设,:S一只,S若对任意的.,?S,口?(O,1):if-在玑SxS—,使得f(x +卵(-,z))?af(x)+(1--a)f(x2)成立,则称,为S上的不变凸函数. 收稿日期:2001一Ol-08 作者筒介:陈加莉,女.1959年生t四川闻中人,讲师 第4期陈加莉.K—S函数的一致不变凸性51 设g)m ? a ? x毋),g一.S一尺(1??m),则gb)的K-S函数构造如下: 古h’”. 其中P>0为熵参数. 引理当户一+o.时,()一致收敛于g(),且有Ig)一g()I<-~lnm? 证明:l(x)--gc圳=I户1_inc砉eI= cI= 吉f 因为g()= 1 m “ axg一(),p>l, 所以P(g,()--g(x))?0(—l,2,…,m) . O<e?l(—l,2,…,m) 于是有 Ig()一g()l?吉nm(1) 即当p~+oo时,g)一致收敛于g).可进一步证明: g()?g()?g()+吉n 事实上,由(1)式已有 ()?g()+吉nm 而?e啊f>ec(户>.且户一+?) …小一吉1”主?. 从而()?() 2主要结论 定义2:设,:S一尺,SCR,若对任意的,Zz?S,口?(0,1),存在:S×S—及常数 c>O,使得:af(x1)+(1一a)f(x2)一f(x+(,2))?cn(1--a)ll1一2成立,则称,是 S上的一致不变凸函数. 命题设(,)(=1,2,…,)关于同一个1:S×S一尺均为一致不变凸函数,则对充分 52抖技通报17卷 大的P,gp(x)也是一致不变凸函数. 证明设口?(o,1);,x?S;?及常数c>O,取,>O,对一切(1??m)使得 ca(1--a)llx1一2? ag,1)+(1一n)毋(2)一毋1+ay(x】,x2))一,? ag(x1)+(1--a)g(x2)一g.(】+ay(x1,2))一, 由于上式对一切i(1??m)成立,且g()是g.)(1??)中的一个,有 ca(1--a)0x1一.ll?ag(xL)+(1一a)g(x2)一g(xl+a~ixL,x2))一e? agp(xt)+(1一口)g(z)一[g(+唧(X1*X2))+1nm]+pln一,? gp(x】)+(1一)(2)一gp(+口l,x2))+古n州一. 当P充分大时,即去nm?,,有: ca(1--a)lf1一2ll.~agp(x】)+(1--a)g(2)--g,(2+art(x1一2)) 即户一+..时,gp(x)为一致不变凸函数. 显然,女?果K—S函数g()是上的一致不变凸函数,则g)也是上的不变凸函数 参考文献: [】]唐焕文,张立卫.一党不可约束镟优化问题的极大熵方法【I].计算学,1993,15(3):868~275 [8]扬新民,邛群.K-S函数的不变凸性[Jl重庆师范学院学 报,1999,13attheconsistentJnvex[tyofK—Sfunctionwhichisthekeyfunctionusedby maxinumentropymethodinoptimizationproblemssolution.TheconclusionIdrewisasthefollowingif K—S functionisofconsistentinvexity,basedonaspecialentmpyparameterofK—Sfunction.itmustbeaninvexi— tyfunction.Apositivenumber ,isintroducedwhentestJfyingtheco~sistantinvex[tyofK—Sfunctiontoillus— tratethatsolong8stheentropyisbigenou,K—S(unctionmustheofcon~stantinvexhy. Keywords:maximumentropymethod;K—Sfunction;invexity;consistentinvexity