1曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方

1曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方 习题1.10 1.曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，写出微分方程. (x,y) ,yyx,yx，，，， 解 设曲线为，过其上点切线斜率为 ，，x,y 由题知 3 ,yxx,,，， 3,即所求曲线满足的微分方程为. y,x 2.下列所列是否是所给微分方程的解. 2, (1) xy,2y,y,5x 222,,, 解 因，故，，即， x,y,x,10x,10x2y,2,5x,10xy,10xx,y,2y 2, 因此是的解. y,5xxy,2y ,,(2) y，y,0,y,3sinx,4cosx ,,, 解 因，， y,3cosx，4sinxy,,3sinx，4cosx ,, 故 y，y,,3sinx，4cosx，3sinx,4cosx,0 ,, 因此 是的解。 y,3sinx,4cosxy，y,0 2x,,,(3). y,2y，y,0,y,xe x2x2x, 解 因， ，，y,2xe，xe,2x，x,e x2x2x,, ， ，，，，，，y,2，2x,e，2x，x,e,2，4x，x,e 2x2x2xx,,, 故， ，，，，y,2y，y,2，4x，x,e,22x，x,e，xe,2e,0 2x,,, 不是的解. y,xey,2y，y,0 ,x,x12,,,(4). y,(,，,)y，,,y,0,y,Ce，Ce121212 22,x,x,x,x111212,,, 解 因，，故 y,,ce，,cey,,ce，,ce11221122 ,,xx2212,,,yyy,，，,,,,，， ,，,,cece. 12121122 ,x,x112,,,从而 是，，的解。 y,ce，cey,,，,y，,,y,0121212 22, (5) . (x,2y)y,2x,y,x,xy，y,C 22,, 解 的两边同时对求导，得 . x,xy，y,cx2x,y,xy，2yy,0 , 整理得 . ，，x,2y,y,2x,y 22, 从而 是的解. x,xy，y,c，，x,2yy,2x,y 3.求下列微分方程的通解或特解 22,(1). 2xy,ylny,0 11 解 分离变量得 ，两边积分，得 ddyx,22yyxln2 11， ddyx,22,,yyxln2 11因此就是微分方程的一个通解. dy,,2,yyxln2 dyy(2) xy,lndxx dyduy,u，x, 解 令， 则 ， ,uy,uxxdxdx dudxdu,因此变量分离，得 ， u，x,ulnuu(lnu,1)xdx 两边积分，得 ，(这里是任意常数) lnlnu,1,lnx，cc11 整理得 c1 lnu,,e,x，1 ycx，1ccx，11令，有 ，于是 ， 将代入上式，得 . u,y,x,e,e,clnu,c,x，1u,ex cx，1因也是一个解， 故原方程得通解为 ，其中为任意常数. y,x,ey,0cdy,2x(3) ，,2yedx ,2x 解 令px()2,， qxe(), pxxpxx()d()d,,2x,,通解为yeqxexc(()d)，即 y,e(x，c). ,，, ,,,(4). y,y,2x,0 ,,,, 解 令， 则 . y,py,p dx,dx,,,,,因此， ，即 p,e,2x,edx，cp,p,2x,0,,,,, xpxce,,，，,21，，. 2xx,于是 ，两边积分,得 ，其中和是任，，，，y,,2x，1，c,ecy,,x，1，c,e，cc11 2x意常数.从而原方程得通解为 . ，，y,,x，1，c,e，c1 3,,(5) . y,,021，x 3,,, 解 由 知，， y,,0y,3arctanx，c121，x 两边积分，得 其中和为任意常数 y,3arctanxdx，cx，ccc1212, 故原方程得通解为 . y,3arctanxdx，cx，c12, ,,,(6) y,y,6y,0 2 解 特征方程为 ，解得 ，. ,,,,6,0,,,2,,312 ,2x3x依次原方程的通解为 ，其中和是任意常数. y,ce，cecc1212 ,,,(7) y,3y,0 2 解 特征方程为，解得，. ,,3,,0,,0,,312 3x 原方程的通解为 ，其中和是任意常数. y,c，cecc1212 2x,,,(8) 3y，2y,y,3e 12 解 特征方程为 ，解得，. ,,,,,13,，2,,1,0213 1x,x3 相应齐次方程的通解为 ，其中和是任意常数. ccy,ce，ce1212 2x 由于不是特征根，故特解为. y,Ae,,2 112x2x2x 将它代入原方程得，，从而 A,，于是特解为 ,. ye15Ae,3e55 1x1,x2x3 从而原方程的通解为 . ,，，ycecee125 ,,,(9) xy，y,0 dpdx,,,,, 解 令，则 ，于是 . 变量分离，得,,. y,py,px,y，p,0px 两边积分，得 ，这里为任意常数. 两边同时取指数，得 lnp,,lnx，cc11 cc1cc2211,pe，令，则 ，即 . 两边积分，得 y,clnx，c,,,,e,cyp,,232xxx其中和是任意常数，故原方程得通解为 . cy,clnx，cc3232 2,,(10) yy,1 , 解 令，则 y,p ddddppyp,,yp,,,, ddddxyxy因此原方程为 dp2yp,1 dy即 2dy2dpp,2 y 2dy2d2y2因此于是，即，也即， pc,,，,,,dxpc,,,，,,,，cyydxy2,，cy dy两边积分，得. ,,，xc1,2,，cy (以下可以略)，即 lnlntctc,，112 ,,,，,,，cxc()1tctccc,， 2其中. tc,,，y 4.求下列微分方程满足初始条件的特解. dy(1) ， y,4，3y,8x,odx dy 解 移项，得 ，因此 ,,3y，8dx ,3dx3dx,,,, y,e,8,edx，c,,,,, 884,3x即 ， 由知，，得 . 因此，原方程满足初始条y,4yce,，,，c,4c,x,o333 件的特解为 84,3x. y,，,e33 3x,,,(2) y,e,0,y,1,y,,1 x,0x,0 133xx,,, 解 移项，得 ， 两边积分，得 ， yecy,e,，13 41413x,, 由知，，，因此 ， y,,1，c,,1c,,y,e,11x,03333 14813xyexc 两边积分，得 ， 由知，，， y,1,,，，c,1c,222x,09399 因此，原方程满足初始条件的特解为 1483x. y,e,x，939 ,,,,(3) y,3y，2y,0,y,y,2x,0x,0 x2x2 解 特征方程为，解得，，故通解为 ，y,ce，ce,,3,，2,0,,1,,21212 x2x,,且 ，由，，联立方程组，得 ， y,0y,2y,ce，2cec，c,0c，2c,2121212x,0x,0 x2x解得 ，. 因此，原方程满足初始条件的特解为 . y,,2e，2ec,,2c,212 习题1.12 1.求下列函数的单调区间. 22(1) yxx,,ln 2x1,,,，，，， 解 的定义域，. ，，,,,00,,y,2x,,2x,fx,,:2xx,, ,, 令，则 ，，则因在和内，，在和,,,,10,1,1,0y,0x,,1x,1y,0，，，，，，12 ,内，. 1,，,y,0，， 22 因此函数在区间和内都单调减少，在区间和内,,,,1,1,01,，,y,x,lnx，，，，，，都单调增加. 2x(2) y,21，x 解 的定义域，因 ，，，，fx,,,，, 2221，x,2x,2x21,x2x，1x,1，，，，，，，，, y,,,,22221，x1，x，，1，x ,,, 故由知， ，. 因在内，在和内，. ，，,,,,11,，,y,0x,,1x,1,1,1y,0y,0，，，，12 2x 因此函数在区间上单调增加，在区间和内都单调减少. y,,,,,11,，,,,,1,1，，，，21，x nx,(3). yxenx,,,(0,0) n,1,xn,xn,1,x[0,)，,, 解 的定义域，因，故由，，，，，y,nxe,xe,n,xxefxn,0 n,x,,和知，在内，，在内，. 因此函数在区间内，，，，y,xe,,x,00,ny,0n,，,y,00,n单调增加，在区间内单调减少. ，,n,，, 2.证明题 1(1)当时， x,0ln(1)，,x1，x 1 证 原题不对，题目可以改为 当时，. x,1ln(1)，,x1，x 112，x1,fx,，,,0，，fx,ln1，x,令，则因，而 ，，，，221，x11，，xx，，，，1，x 11，故. 因此 2ln2ln4ln1,,,efxxf,，,,,,,ln1(1)ln20，，，，12，x 1当时，. x,1ln(1)，,x1，x 2x(2). xxxx,，,,,ln(1)(0)2 证 先证 ，为此令， 则，，，，，，，，，，，x,ln1，xx,0fx,x,ln1，xf0,0 1x,，因此在内单调增加. 于是当时，，，，,fx0,，,x,0fxx,,,,,10(0)，，11，，xx 有 fxxxf,,，,,ln1(0)0，，，，. 22xx再证 ，为此令，则 ，ln1ln1，，，，，，，，，，x,0g0,0，x,x,gx,，x,x，22 21x, gxxx,,，,,,10(0)，，11，，xx 因此，当时，，即，原不等式成立 ，，，，，，x,0gx,g0gx,0 2x 综上所述，当时，ln1. ，，x,0x,，x,x,2 2x(3)当时， . x,0cos1x,,2 2x,cos1 证 令，则，， ，，，，，，f0,0fx,,sinx，xfx,x,，2 ,当时，有. 于是，当时， ，从而，当时，，，，，，，，fx,0fx,f0x,0x,sinxx,0x,0即，原不等式成立. ，，fx,0 3 (4) 证明有且只有一个实根. xx，，,200720080 32, 证 设，则，因此单调增，fxxx,，，20072008fxx,，,320070fx，，，，，， 3于是至多只有一个根. xx，，,200720080 另一方面，因，，在上f(2)8401420080,,,,，,f(0)20080,,fx[2,0],，，连续，故由介值性定理知，在内至少有一个，使得. [2,0],fx,0x，，3.求下列函数的最大值和最小值. 2(1)， fxxx()45,,，x,,[3,10] ,, 解 ，令，得驻点 ，因，，，，，，，，，，fx,2x,4fx,0x,2f2,1f,3,26 2，故函数在有最大值，最小值. ，，，，，，,,f10,65fxxx()45,,，,3,10f10,65f2,1 21233(2)， fxxx()(1),,,x,,[2,2] 12,,21233,, 解 ，若，则 ，，,,,,fx,0fxxxx12，，，，33 1422,,,,22 333322xxx,,,1,xx,,1,，，，，xx,,1,矛盾，因此无驻点，只有不可导点，，. x,1x,0x,,1312 1111 3333因，，，，， ，，，，，，，，，，f0,1f,1,1f1,1f,2,4,3f2,4,3而 11 33431,, 11 33故函数在得最大值为，最小值为. ，，，，，，,,，，，，,2,2f0,f,1,f1,1f,2,f2,4,3 324.求曲线的凹凸区间和拐点. yxxx,,，，6930 2,,,,, 解 ，， 令，得，因在区间内，，y,3x,12x，9y,6x,12y,0,,,2x,2,,,,，而在区间内，所以是凹区间，是凸区间，因，，，，，，y,02,，,y,0,,,22,，, ，故是曲线的拐点. ，，，，y2,322,32 5.求图形D的面积和图形D绕轴旋转一周的旋转体的体积. x 2(,)由曲线与所围. y,xy,xD: 2 解 因和的交点坐标为和，故 ，，，，y,xy,x0,01,1 2 ，，D,{x,y0,x,1,x,y,x} 的面积为 11111,,223 . d，，S,x,xx,x,x,,,,0236,,0 D绕轴旋转一周的体积为 x 1224d，，V,,x,xx,, . ,015 (,)由曲线与轴所围( yx,sin0,,x,xD:，， ,, 解 D的面积为 S,sinxdx,,cosx,2,00 2,,,,2sind1cos2d D绕轴旋转一周的体积为. ，，xV,xx,,xx,,,,0022 2L6. 某企业的利润和销售价格之间的关系为，问销售价格Lxxx,,,,100025,040x 在什么范围变化时，企业的利润是增加的,又售价为多少时企业利润最大? 2,, 解 利润 ，，，，因 故由，，，，Lx,1000x,25x0,x,40Lx,1000,50xLx,0 ,,知，在内，而在内，故当时，企业的，，，，,,,,x,200,20Lx,020,40Lx,00,x,20 ,,,,利润是增加的，而，故，当时，企业的利润为最大，，，，，Lx,,50L20,,50,0x,20最大利润为元。 100 7.某单位准备举行一次音乐会(若票价为每人8元，听众将有300人，票价每降低1元，听众将增加60人(问能使门票收入为最大的票价是多少, R 解 设为门票收入，票价降低元， x 2 ，，，，，，， Rx,8,x,300，60x,,60x，180x，2400 3,,,, 因，故得，又，因此 ，，，，，，x,Rx,,120x，180Rx,0Rx,,120,02 3,,,, R,,120,0,,2,, 3因此能使门票收入为最大的票价是为元.86.5,,2