马尔萨斯人口模型

马尔萨斯人口模型 验证及改进马尔萨斯人口模型 摘要:目前，人类生存面临五大问题:人口问题、工业化的资金问题、粮食问题、资源问题、环境污染问题。其中，人口问题为首要问题，主要是人口增长过快，尤其是20世纪70年代到80年代，增加10亿人口仅仅用了12年。面临这样的现实问题，人类必须进行自我控制。而一个准确的人口预测模型，能够准确的预测出人口的发展，并依此做出更好的控制人口政策。运用马尔萨斯人口模型，利用美国人口数据对美国 1790~1980年的人口发展规模做出预测。 关键词 :人口预测;马尔萨斯人口模型;改进模型 一、 引言 马尔萨斯(1766―1834，是英国经济学家和社会学家)在研究百余年的人口统计时发现:单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比的。马尔萨斯人口论的内容主要包括:两个公理、两个级数两个抑制一条规律一个适度、三点见解、四点结论。马尔萨斯在四条自然法则一是食物为人类生存所必需，二是人口具有自然增长的趋势，三是土地的有限性，四是生物的营养法则的基础上于1798年提出了著名的人口指数增长模型。模型的基本假设:人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。由于马尔萨斯人口模型的局限性，应对此进行验证和在不同因素影响下的改进，由于本组水平和能力有 限只能从单个因素方面进行改进。 二、 马尔萨斯人口模型 关于马尔萨斯模型的验证 马尔萨斯人口模型 马尔萨斯(1766―1834，是英国经济学家和社会学家)在研究百余年的人口 统计时发现:单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比的。 马尔萨斯于1798年提出了著名的人口指数增长模型。 模型的基本假设:人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量 与当时的人口数成正比。 以示第年时的人口数，就表示第年时的人口数。是整数，为了利用微积分 这一数学工具，将视为连续、可微函数。这样有 其中为人口的增长率，当时，由上式得 (1) 设初始条件为时，，马尔萨斯人口按几何级数增加(或按指数增长)的结论就是来 源于方程(1)。方程(1)称为马尔萨斯人口发展方程。 通过高等数学的知识，我们很容易求出方程在初始条件下的解。 即 (2) 如果,(2)式表示人口将以指数规律无限增长。这似乎不太可能。 三、 实验过程与结果 1( 按照表中的数据，用MATLAB7画出数据连线图 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 6人口(×10) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 6人口(×10) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 6人口(×10) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 由上述表格可以得到相对于1790年的时间t和相应的N(t),见下表 时间(年) 0 10 20 30 40 50 60 6人口(×10) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 70 80 90 100 110 120 130 6人口(×10) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 140 150 160 170 180 190 6人口(×10) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 相关程序和结果图: 2(写出微分方程的解，代入初值，初值由表定 以1790年为初始年份，即，代入下式有 a) 用数据拟合模型中的参数，写出人口增长方程 在数据拟合过程中应用MATLAB中的数据拟合，由于马尔萨斯人口模型的指数性质，不能对上述表格中所有的数据都参与数据拟合，只能选取前若干项。 我们不妨取{0,3.9},{10,5.3},{20,7.2},{30,9.6},{40,12.9}，{50,17.1}这六组数据 进行数据拟合。 t = 0 10 20 30 40 50 y =3.9000 5.3000 7.2000 9.6000 12.9000 17.1000 k = 0.0299793????????? 可以得到k=0.0299793 因此可以得到马尔萨斯人口模型的方程为: 4(用MATLAB验证所得出的方程，是否完全符合现实数据 t=0:10:190; y=3.9*exp(0.0299793*t) plot(t,y) 精确值 实验值 N[ 0 ]= 3.9 N[ 0 ]= 3.9 N[ 10 ]= 5.3 N[ 10 ]= 5.26336 N[ 20 ]= 7.2 N[ 20 ]= 7.10332 N[ 30 ]= 9.6 N[ 30 ]= 9.5865 N[ 40 ]= 12.9 N[ 40 ]= 12.9377 N[ 50 ]= 17.1 N[ 50 ]= 17.4605 N[ 60 ]= 23.2 N[ 60 ]= 23.5643 N[ 70 ]= 31.4 N[ 70 ]= 31.8019 N[ 80 ]= 38.6 N[ 80 ]= 42.9193 N[ 90 ]= 50.2 N[ 90 ]= 57.9229 N[ 100 ]= 62.9 N[ 100 ]= 78.1716 N[ 110 ]= 76. N[ 110 ]= 105.499 N[ 120 ]= 92. N[ 120 ]= 142.379 N[ 130 ]= 106.5 N[ 130 ]= 192.152 N[ 140 ]= 123.2 N[ 140 ]= 259.324 N[ 150 ]= 131.7 N[ 150 ]= 349.978 N[ 160 ]= 150.7 N[ 160 ]= 472.324 N[ 170 ]= 179.3 N[ 170 ]= 637.438 N[ 180 ]= 204. N[ 180 ]= 860.274 N[ 190 ]= 226.5 N[ 190 ]= 1161.01 四、改进马尔萨斯人口模型 马尔萨斯理论包含三个基本假设，一是食物为人类生存所必需，二是土地的 有限性，三是人口具有自然增长的趋势。这三个假设的正确性是无可怀疑的，因 为它们都根源于“自然法则”。 人口增长总是快于生活资料增长，所以社会总 会达到人口饱和状态并陷于停滞。这些因素就是改进了的马尔萨斯模型。 假设人口之成长不能超过由其地域环境所决定之的最大容量。由于在人口相 对少时, 基本上马氏的模型是对的, 但当人口相当多时, 人口成长率便会趨缓, 而且越靠近人口上限 M 时, 成长率越小。可以得到微分方程 由不定积分可以得到: 注意，此时有0指南

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