导数的定义

导数的定义 导数的概念 教学目标 :通过实例的分析，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及内涵;通过分析、比较和归纳理解导数的概念;通过问题的探究，体会逼近、类比、 培养学生的探究意识和探究方法. 从特殊到一般的数学思想方法， 教学重点:导数概念的形成过程及导数概念的内涵. 教学难点:对导数概念的理解. 教学方法 :引导探究法，设疑——点拨——引导——探究。 背景:十七世纪，人类在力学，航海，天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，其中两类问题直接导致了导数的产生:一是物理中根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度，二是几何中求已知曲线的切线。 一( 两个引例 12引例1.已知某物体做自由落体运动，其运动规律(即位移函数)为，sstgt,,，，2 tT,0,.试讨论时刻落体的速度(). tt,,,0,T,,00 tt,解:先取一邻近于的时刻，落体在这一段时间内的平均速度为 tt,,00 1122,tgt0,,stst，，，，,s122g0 ,,,,，vttgtt,，，,,00,,,ttttt200 vtt,因为，在处连续，所以反映了落体在时刻的近似快慢程度，显t，，ts,st,,00 然当越接近于时，这种近似精确度越高. tt0 stst,，，，，10于是，定义 (1) limlimlimvtvgttgt,,,，,，，，，000tttttt,,,000tt,20 一般地，一质点做直线运动，设其位移函数为，若为某一确定的时刻，t，，s,ft0 ftft,，，，，0则称极限为质点在时刻的速度或变化率. tlim0tt,0tt,0 Mxfx,引例2.设有曲线，试求曲线上点处切线的斜率.假设y, ，，y,fx，，，，000 fx在处连续. M，，0 解:首先要明确一个概念:何谓曲线在处的切线,它应该定义为曲线在点MM00处割线的极限位置，因此切线的斜率就应该是割线的斜率取极限.(作图) 在曲线上的附近任取一点Q，可作一条割线Q，设， MM，，，，Qx,fx00 ,fxfx,，，，，,y0则 ,,,kk切割xxx,,0 显然当Q越接近于点，这种近似计算的精确度越高.于是，令 M0 fxfx,，，，，0 (2) limlim,,kk切割QMxx,,00xx,0 注意:引例1与引例2的实际背景相差很大，但最后要求的量的数学结构却完全相同，将他们在数量关系上的共性抽象出来，就有下面的导数的概念。 二. 导数的概念 fxfx,，，，，01.定义1:设函数在内有定义，如果极限存在， ，，Ux，，y,fxlim0x,xx,x00则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数xx，，，，y,fxfx00 dydf,fx在处的导数，记为:或;或简记为( x，，fx，，||00xx,xx,00dxdx 2.导数的等价定义:如果记，则定义1可改为:设函数在 ,,,xxx，，y,fx0 Ux内有定义，如果极限 ，，0 fxxfx，,,，，，，00lim存在，则称在处可导，称为函数xx，，，，y,fxfx00,,x0,x dydf的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为:或;x，，fx||0xx,xx,00dxdx ,fx或简记为( ，，0 Ux3.导数的另一种等价定义:设函数在内有定义，如果极限 ，，y,fx，，0 fxhfx，,，，，，00lim存在，则称在处可导，称为函数的xx，，，，y,fxfx00xx,0h dydf可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为:或;x，，fx||0xx,xx,00dxdx ,fx或简记为( ，，0 注意:(1)导数定义的本质是变化率的极限，至于表现为何种极限形式，这没有 本质的区别，我们在使用时可根据需要选择其中的一种.但根据我的经验，定义1 在实际计算时用得教多;而第一种等价定义在理论证明时用得教多;最后一种等 价定义则很少用，只在一些考察导数概念的习题中偶尔出现. fxfx,，，，，0 (2)如果不存在，则称函数在处不可导。 x，，fxlim0x,xx,x00 4.导数的几何意义:曲线在点Mxfx,处切线的斜率;(请同学们 ，，y,fx，，，，000 自己写出曲线在点Mxfx,处切线及法线的方程.) ，，，，000 5.导数的物理意义:做变速直线运动的物体的瞬时速度、加速度. fxf,0，，，，,要特别关注处的导数定义形式:f0lim,;若更特殊，还有x,0，，x,0x fxffx,0，，，，，，,，则。 f0limlim,,，，f0,0，，xx,,00xx 6.例子 2fxx,例1( 已知曲线，试求在处的导数。 x,2，，fx，， 2xyfxfxfxfx,,,,,,,,2,24解:这里 ，，，，，，，，00 2,,yx4limlimlim(2)4,,，,x 因为 xxx,,,222,,xx2 ,fx例2( 已知=A，试求下列极限的值 ，，0 fxxfx,,,，，，，00lim();,,A (1) ,,x0,x fxxfxx，,,,,3，，，，00 (2)。lim(4);,A ,,x0,x 三、课堂小结: 这节课，主要讲了导数的概念。导数是微积分的一部分，微积分的奠基人是 牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着 解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现。 作业: