尺规作图三等分一个给定的任意角

尺规作图三等分一个给定的任意角 专 研 究 肇 丞 … 。 ( ，， , , 城僬 一 庭 睡纛 ,,, ) ,, , ◎ 吴兴 建 ( 川 省 攀 枝 花 市 攀 铜 密 地 医 院 四 【 要】 摘 三等 分 任 意 角 的 出现 是 很 自然 的( 等 分 一 个 已 二 知角 既是 这 么容 易 ， 自然 地 会 把 问题 略 变 一 下 : 等 分 怎 么 很 三 样 呢,这 样 ， 一 个 问 题 就 这 么 非 常 自然 地 出现 了( 文 是 笔 这 本 者 对 尺规 作 图三 等分 一个 给 定 的任 意角 的研 究 结果( 相交 于 , ， , 与 ,相 交 于 ; 分别 以 , 和 为 圆 点 ， ,为 半 ， ; 径 作 圆 相 交 于 弧 的 , 和 ， 接 , ,和 ,， 线 段 ， ,， 连 则 ; , ;， , ,和 ; , 等 分 , ( 图 , ， (见 ) 【 键 词 】 规 作 图 ; 等 分 ; 意 角 ; 法 关 尺 三 任 解 ,。, , , , ,。 , 一 、 ( ) 法 一 一 解 , (作 一 任 意 角 ; 以 ,为 圆点 ， ;的 两 边 任 选 一 边 ， 的 适 当 长 度 为 半 径 作 弧 分 别 相 交 于 ; 两 边 的 , 点 和 点， 作 ; 的角 平 分 线 ; 以 , 再 ,为 半 径 ， 别 以 ,点 和 曰 点 分 为 圆 点 作 圆 ,和 圆 ,， 圆 ,和 圆 , 的上 部 做 公 切 线 ,( 在 , (反 向延 长 , 作 圆 , 和 圈 口 的 直 径 ， 别 交 于 圆 , 分 的 。点 和 圆 日 的 ,点 ， 别 过 ,点 和 ,点 作 的 垂 线 ( ， 分 ， , ， 并 适 当 延 长 相 交 于 ;的 两 边 ,点 和 卢点 ， 接 ( 连 ;的角 平 分 线 相 交 于 , 点( , (分 别 过 点 和 ,点 作 的垂 线 , 和 , 并 适 当 延 长 相 交 于 上的 , 和 , ( 点 点 幽 , 与 , (分 别 以 为 点 和 , 为 圆 点 ， ,为 半 径 作 圆 , 和 圆 点 , , 卢， 分 别 作 圆 ,、 , 的 公 切 线 , 和 圆 ,、 再 网 , 圆 的 公 切 线 ; 和 相 交 于 , , ,的 反 向延 长 线 于 , ( , (分别 以 , 和 , 为 圆 点 ， , 点 点 以 ,为 半 径 作 弧 相 交 于 , ,的 反 向延 长 线 ; ， 以 ; 为 圆 点 ，; ( , 为 半 径 作 再 或 ;) 弧 相 交 于 圆 ?的 圆周 , 和 圆 口的 圆 周 , ; 接 , , 和 , ; ， 连 则 线 ’ ( ) 法 一 证 明 二 解 , ; ， ;和 曰 ; 三 等 分 ;( ( , ， ; ‘ ( 圆 , :圆 口,圆 ,,圆 ,， , 。 ( ( ,, , , ( 圆 的 半 径 ) ,,,, 等 ( , , :, , ,, , ,, , ( ‘ ( ‘ ‘ ( ( , ,, , 一 ,, , 三 角 形 三 边 相 等 ) ,, ( ( ’ ( ( , , ， , , ; 三 等 分 , ( 网 , ( , ， 和 ; ; 见 ) , , ,( ,( 以 ,与 ,; 的交点 , 为圆 心 ， 上 的 , 为半 径作 圆 ， ， , 圆 的 圆周 与 ,相交 于 ,点 ， ,相 交 于 点 ， 接 , 和 ( 与 连 ， , ‘ ( , ,( , , 圆 的半 径 ) ， ,,是 等 腰 三 角形 ( , 上 , ( ’ ( ( ‘ ( ‘ ( 。 ( , ( 径 定理 ) 平 分 , ( , 垂 ， , , ’ ( ‘ , ,, ( 个 等 矩 形 , , 和 , , 的 对 角 线 ) , , , 两 ,, , , ， ( ’ ( ; , 是 等 腰 三 角 形 ， 平 分 , , , 也 , , ,( 连 接 , ，与 , ; 的交 点 ,( 与 , 。 , , ,, ( : , ,, 。 ( ( ,, ,， ,, ,( 别 为 , 。 分 , 减 ,和 , ( ) 。 ( ( 四 边 形 ,, 等 腰 梯 形 ( 底 角 相 等 ) , ? ,( , 为 , 两 ， 等 ,: , 同位 角 ), ,, , 同位 角 ) ( ( ( 腰梯形 上下边平行 ) ( ‘ ( ( 图 , 同理 ， ,, ,, , ( ，(,,, , ’ ( 又 ,: , ,,， ,:, , , , ;， ， , (以 ; 为 圆 点 ， 或 ;, ) 适 当长 度 为 半 径 作 弧 ;, ( 上 ,， , 分 别 相 交 于 , , ，, ， , , 的 ， , 和 点 ; (弧 , , , , 和 ; ， , ， 再 以 ;为 圆 点 ， ( ; ) 半 径 作 弧 , ， ,， 或 为 ( , 弧 分 别 与 , , 数 学 学 习与 研 究 , , ,, ’ ( ( , ,( 图 ,) , 见 ( ( 弼『 (( , ，( 专 题 研 究 鼙 , (以 ; 为圆点 ， 或 日 , ) 适 当 长线 段 为 半 径 作 弧 , ,( 上 ?， , 分别 相交 于 , , ， , 和 , ;得 , , ,和 四点 ( 弧 ,， ， ， , , , (以 ;为 圆 点 ， ( , , 或 ) 半 径 作 弧 ， 为 弧 分 别 相 交 于 , ， ,， , ， 两 点( 分 别 以 ， ， 为 圆 点 ， ,为 , , 得 再 ; , 半径作 圆， 圆周 分 别 相 交 于弧 得 ,， 两 点 ， 接 , ？ 连 ;和 , ;， 则 , , ，,和 , ,，, ？ ,三 等 分 , 见 图 , ( ( ) 图 , , 段 ,,， ， (线 , , , ,和 ;三等 分 ; , ( ‘ ( 弧 ,弧 仃， ,,,, ,, ,, ,盯 ， ’ ( ( ,,,, ,和 ，,三等分 ; 等弧对等角 ) 见图 ,( ， ， , ( ( ) , ( ) 法 二 二 解 , (作 一 任 意 角 , 以 ,为 圆 点 ， 当长 度 线 段 为 半 径 ， 适 作 弧 分 别 相 交 于 ;的两 边 得 ,， ,两 点 ， 接 , 连 ,得 等 腰 三 角 形 , , , 以 , ,( ? ,边 为底 边 、 , , , ， ,为 两腰 ( 图 , ( ) 法 二 证 明 三 解 , 线 段 , , ， , , ,三 等 分 , ,, ( ( , ， 和 , , ’ ( ’ , (以线 段 , ,为半 径 ， 别 以 , 为 圆点作 出 ， 等 圆 分 ， ,两 和 ;的角平 分线 , ( ,垂 直于 , 垂足 为 , 分别 以 , ，, ,, ,， ( ,, 的延长线 上任 一点 为 圆点 ，,为 半径作 圆 ,和 圆 口 , ( , (以 , ,延 长 线 任 一 点 ,为 圆 点 ， ,( , 为 半 径 , 或 ,) 作 圆 ， 别 过 ,点 和 点 作 圆 的 切线 三 分 ， 又 , , , , , ,, , ,, , ( , ,, ,, , , ( 。 ( ( , ,, ,, ; ,, 三 角 形 三 边 相 等 ) , ,, ,, ( ( 线 段 , , ，, ， , , 三 等 分 , ( , , 和 , 。 ( ( , (分别作 圆 , 圆 口和 圆 ,、 口的公 切线 , , ,与 ，相交 、 圆 ，( , 得, ， 点 ,与 ’ ， 相交得 , 连接 ,， 点( ,线段 ,与 , , ,延 长线相交 于 , 分 别 以 , , 圆 点 ， ,为 半 径 作 圆 , 和 圆 ( 和 为 , ， 再 以, ;为半 径 ， 别 以 , , 圆 点 作 弧 相 交 于 , 分 和 为 ,的 ;点 ( , (以 ;为 圆点 ，;( , 为 半径 作弧 分别 相 交 于 圆 , 或 , ) 圆周 的 ,和 圆 曰 圆 周 的 ， 别 连 接 , , ， 得 ; ， 分 , , ， 再 连接 , , 线 段 , ; ， , 曰 ;三等 分 ;( 图 , ( ;， ， ; , ， 和 ; ; 见 ) , ;和 , 相 等( ( 作 ,， , , , , ， 反 向 延 长 线 ， 与 ,; 相 交 于 , ， ， ， , ,, 的 ( ， , 连 接 曰 ， 与 , , 相 交 于 , 以 ,为 圆心 ， ( , ， ( , ,长 为 半 径 作 圆 与 ,相 交 于 ( 关 键 一 步 ) ( ‘ 。 ( , ,,, ， ,, , , , ( ‘ ( ( 四边 形 ,, , 为等 腰 梯 形 ( 腰 相 等 ， 底 角 相 等 ) , 两 两 ， , ,为 等腰 梯 形 ,, 高 ， , , ， ,的 , , , ,, ‘ ( ( , ,垂 直 平 分 , ( 径 定 理 )， 垂 ，,平 分 , ， ， 即 , ,, ,, ( ’ 。 ( ,,, , 对 顶 角 ) ,, , 对 顶 角 ) ( ， ( ， ,: ,, ,: ,( ’ ( ( ‘ ？ , , ,, ,,,。 ,, ,, ‘ ( ( ,, , ， 平 行 线 , , 的 截 线 ， ,与 ,,互 (， 为 ; ，, 为 内错 角 ) ,, , , 内错 角 ) ,, , 对 顶 角 ) ， , ( ， ( ( ’ ( ’ , , , , ,， , , ,, , , , ( ,， ’ ( ( 已 知 ,为 ; , ， ‘ ( ( ,为 ,? ; ， , ， ,, ,， ,, ‘ ( ( ,, , (( 图 ,) 见 图 , 数 学 学 习与 研 究 , ,( , , , , 专 题 研 究 露 ( 。 ?， ( ( , (线 段 与 , ; 相 交 得 , 点 ， 段 , 与 ; 相 交 线 , 得 , 点 ， 接 , ,( , , 交 于 ,， ， 连 接 , 连 , ,与 , 和 ,相 ,再 , , 和 ;， 段 , , , 线 , ， , ， ;和 , , ;三 等 分 ; ( 图 , (见 ) , 图 , , ( ，;，;和 , , , ,三 等 分 ; ( 已知 : 段 , , ， , , ; 三 等分 ; ， ; , ， 线 , ， 和 , , , ( ( , , ,, , ( 弦 对 等 角 ) , 艿 等 ( 弧 弧 ( 弧 对 等 角 ) 等 ， ( 弧 对 等 弦 ) 等 ， ’ ‘ ( ’ 图 , ’ ( ( ,, , ; ,, ？ ;, ,, , , ( ) 法 三 证 明 五 解 , (线 段 , , ，, ，, 和 口 ; 三 等 分 , ,, ( , , ‘ ‘ ( ( , , ？ ,， ,和 , ,， ,三 等分 ; 等弧 等 弦等 角 ) ( 图 , ( (见 ) ( ) 法 三 四 解 , 一 给定 的 任 意 角 ;， ;为 圆 点 ， 当 长 度 线 段 (作 以 适 作 半 径 ， 出 弧分 别 相 交 于 , 的两 边 得 ， 作 ,两 点 ， 接 , 连 , 得 等 腰 三 角形 , ,( ,, , ,以 , ,边 为 底 边 、 ,， ,为 两腰 ( , , ( ( ,, ,,, ,, ,, , ， , 又 , ,, ,,, ， , ( , ,,; , ,, 三 角 形 三 边 相 等 ) ,, ,, ( ， 线 段 , , ， , ， , 和 曰 ; 三 等 分 , ; 曰 ( , , ,( ‘ ( ( ,(, , , , , , , (以线 段 , 为半 径 ， 别 以 , ,为 圆点 作 出 ,， , 分 ， ,两 等 圆和 ,的角 平 分 线 ,, , ( ,垂 直 于 , 垂 足 为 , 再 以 ， 为 ,， ( , ’ ( ) 别 连接 , ,分 ,和 , ( , ’ ( , ,,,， , ,,,， , ,, 已知 , , , 且 , ,， , ,,, ,， 圆点 ，, 为半 径 作 弧 相 交 于 ;的 角 平 分线 与 相 交 ( , ( ( 四边 形 , , , ,是 菱 形 ( 四边 形 对 角 线互 相 垂 直 ) ， , (以 , ,为 半 径 、 为 圆 点 作 圆 ,， 分 别 作 出 圆 、 再 圆 ( , ( ,和 圆 曰、 ,的 公 切 线 ,， ( 线 , 和 ,分 别 相 交 于 ; 圆 , 切 ’ ( , , ,, ,,, ,,, , ,, , ,, ,， ,, ,，, , ,， ,: , 菱 形 的 对角 ) ( ( , ,是 圆 , 圆 , 的 连 心 线 ， 是 圆 、 ,的 公 切 线 ; 、 , 圆 ( 角 平 分 线 得 ,点 ( ‘ ’ ( , (分 别 以 ,， ,为 圆 点 ， 以线 段 , ,为 半 径 ， 弧 相 交 于 作 线 段, 得 , 点 ( 以 , 点 为 圆点 ， 段 , 或 , 为 半 ,， 再 线 ,( ,) , ,是 圆 ,、 ,的 连 心 线 ， 圆 ,是 圆 曰、 ,的 公 切 线 ， 已 知 圆 且 径 作 弧 相 交 于 圆 ,和 圆 ,， ， 和 曰 两 点 ( 得 , , (分 别 连 接 ,; ， , , 则 , ; ， , 曰 , ，, 和 , ， , , ， , 和 , 等 分 ; ( 见 图 , ,三 ( ) , ,, , ,, , ,，, , ,， ( ( , , , , , ,, ,,， ,,, ,,， ,, ,, ,, ,( 错 角 ) ( , , , ,, , ( 图 , 内 ，( ‘ (见 ) ’ ( ( , , 图 , 图 , 数学学习与研究 , , (, , , , 专 题 研 究 辔 () 接 ,与 ; ,连 ,反 向 延 长线 的交 点 , 和 ,与 , ,反 向 , 延 长 线 的交 点 , 得 线 段 , ， 段 ,,与 , ， ,线 ,在 ,相 交 ( ‘ ( ‘ , ,,, ， ,, , ,为 等腰 三角 形 ， ,, 上 ,,( ,, ,, ,( ( ( ‘ ( ,, ,( 等腰 三角 形 , ,底 角 的 补 角 ) , ， 四边 形 , , , ,为 等 腰 梯 形 ( 形 两 底 角 相 等 ) 梯 ， ( ( ( ( , ,, ( 形 上 底 与 下 底 平 行 ) ,, 梯 ( 反 向延 长 线 的交 点 , 和 , , 与 , , ( ) 接 , , 与 ,连 反 向延 长 线 的 交 点 , 得 线 段 , , ， 段 , , 与 , 在 , 线 , 相交( ’ ( ‘ ,, ,,, , , ， ,， ， ( 四边 形 , ,也 为 等 腰 梯 形 ，,, ,, , ,, ,， , ， ( ( ,， , ( ( ( ,: , 同 位 角 ) ,, , 等 腰 梯 形 , ,的 ( ， ( , , 两 底 角 ) ,, , 内 错 角 ) ,: , 同 位 角 ) ,, ， ( ， ( ， ,, 同 位 角 ) ,( ， ‘ ( ( ,, ,, ,, ,, , , , , ,( 二 、, , , , ,。 , 图 , , ’ ( ‘ ,, 上 ,,( ,, ,, ,( ( ( , ,是 等 腰 三 角形 ， , , , , , , ， 边 形 , 也 是菱 形 ( 个 四 ,, 两 ( ) ,为 圆 点 作 一半 圆 ， 半 圆 直 径两 端 为 ,， 分 一 以 该 ,， 别 以 ,和 ,为 圆 点 ， , 以 ,或 , ,为 半径 作 圆 ,和 圆 ,， , 圆 和 圆 曰与半 圆分 别 相 交 于 , 和 ,， 接 , 连 ,和 , ， 段 , ， ,线 , , ( ( 共 有 底 边 的全 等 等 腰 三 角 形 是 菱形 ) ( ‘ ( ( , , ,( ‘ ( ( , ,, ,( 见 图 , , ( ,) , ， ,和 , ,, ,三等 分 ,, 的 ; ( 图 , ) ,。 (见 , 图 , , ( ) 明从略( 二 证 三 、 , , , ,。 , 以 ;为 圆点 作 圆 ;， ;直 径 两 端 为 ,， 分 别 以 ,和 圆 ,， 为 圆点 ， 以 , 任 ,或 , ,为 半 径 作 圆 ,和 圆 ， 圆 和 圆 与 圆 ;分别 相 交 于 ,， ， , ，和 ,， 别 连 接 , ， ,， , , , 分 , , , ，, 。 的 ;被 , , ， ,三 等 分 ( 见 图 , ) ,， , , ( , 图 , , () , 线段 , , , , ，, ，,和 口 ;三 等 分 ; ( , ( ‘ 四边 形 , , ,,是菱 形 ， , ,是 , 和 ,的 角 平 分 , 线 ， 上 各 点 与 ; 的连 线 也 与 , ,上 各 点 与 ;的连 线 , 相对应 ， ‘ ( ‘ , 口 , , 三 等 分 ; ， , , ， , ，; 和 ( 图 , , ’ ( , , , ， ;和 , ;三 等 分 ; ( 图 , ) ，,, , (见 , ( ) 明 从 略 二 证 ( 转, 下 ,页 ) 数 学 学 习 与研 究 , , (, , , , 专 题 研 究 静 当 一, , ， (, , ) ,, ， ,, 时称 之 为 缺 乏 弹 性 ， 即商 品 例 , 商 品的 需 求 函 数为 , , ,一 ？为 需 求 量 ， , ,( ,为 价格) ( 需 求 量 的 相对 变 化 小 于 价 格 的相 对 变 化 ， 时 ， 格 变 化 对 此 价 需 求 量 的影 响较 小 ， 当 涨 价 不 会 使 需 求 量 有 太 大 的 下 降 ， 适 从 而 增加 收入 ( 例 , 某种商品 的需求量 ？ 单位 : 件) 价格 , 单 ( 百 与 ( 位 : 元 ) 关 系 为 ,( ),, , 于， , , , 求 价 格 为 , 千 的 , , 一 , ,, ， , ， 千 元 时的 需 求 弹 性( ( ) ,, ,求 ,时 的边 际 需 求 ; ( ) ,, , 求 ,时 的 需 求 弹 性 ; ( ) ,, , 当 ,时 ， 价 格 ,上 涨 , ， 若 , 总收 益 如 何 变 化, ( ) ,, , 当 ,时 ， 价 格 ,上 涨 , ， 收 益 如 何 变 化 , 若 , 总 解 设 ？, ( ): ,, ，, , , ， 厂( , , ‘ 解 由 南 ？, 一, 一号 , , ( ,, ,) , , 当, , ,, ,一 ,一( : 时， ? , 从 这个 结 果 明 ， ,, 当 ,时 ， ， 一, ,, 此 商 品 ,, ， ， 的 需 求 对 价格 富有 弹性 ( 价格 上涨 , 时 商 品 需 求 将 减 少 当 , , ， 之 当价 格 下 降 , 时 ， 品 需求 将增 加 , ( , 反 , 商 , 需 求 弹性 ( , ) , , 揭 示 当商 品价 格 变 化 时 需 求 变 动 的 强 弱 ( ( ) ,: ,当 ,时 的边 际 需 求 厂( ) 一, ，: 一, , , ,。 , ( 说 明 当价 格 ,, ,个 单 位 时 上 涨 一 个 单 位 的 价 格 ， 求 需 将 下 降 ,个 单 位 ( ( ) ,, ,当 ,时 的 需 求 弹 性 , , , (利 用弹 性 分 析 总 收 益 的 变 化 总 收益 是 商 品 的价 格 ,与 销 售 量 ,, ( ) 乘 积 ,, ,, 的 厂( )’ , ( )‘ 一 ,, , (, 说 明 当 ,:,时 ， 果 价 格 再 上 涨 , ， 求 将 减 如 , 需 少 ,,,( (, , ,( ,, ) 由于 , : , ， ( ) ) , : ( ) 入 的 弹 性 ( 总 收 入 增 长 的 百 分 比 ) ,收 即 ( ‘ ( ‘ ,，， 】 (, , ， , ( ，, ) ( ) , ( 收 入 ,是 商 品 价 格 与 需 求 量 ？的 积 ， 即 ,,, ,,, ( ) ,, ( , 因而 若 , ,, 求 变 动 幅度 小 于 价 格 变 动 幅 度 ， , ， 需 , , 于 ,) , ,) ， 】 是 ， ， ) (, ( ( , , , , , ,时 ， 收 入 随价 格 上 涨 ( 跌 ) 增 加 ( 少 ) 若 , ,， 总 下 而 减 ; ,， 时需 求 变 动 幅 度 大 于 价 格 变 动 幅 度 ， ,时 总 收入 随 价 格 , , 厂, , ， ， ( ) , , , 上涨( 跌) 减少 ( 加 )若 ， ， 下 而 增 ; ,,时 需 求 变 动 幅度 等 于 价 格变 动 幅度 ， ,时 收 入取 得 最 大 值 ( 此 得 出 ， 益 ,, 由 收 的 变 化受 需 求 弹性 的制 约 ， 随商 品 的 需 求 量 的 变 化 而 变 化 ( 其关 系 如 图 , ( ,, , 】, ) ,, :， 一 , , ,( ,),( ,, ,, :, ,， , , ) : , ( ( , , , ,) (, ,( 说明 当 ,, ,时 ， 如果 价格 上涨 , 总收入 增加 , , ,( , (, ‘ 一 ,, , ( ( , ? , : ‘ ( 当 ,, ,时 ， 果 价 格 上 涨 , 总 收 人 将 减 少 , , , ( 如 , (, 由上 总 结 分 析 函数 的 导 数 作 为 经 济 分 析 中 的 一 个 工 具 ( 图 , 的确 重 要 而 实 用 ( ( 接 , 上 ,页 ) 四 、 , 。, , ,, , ,, ,。 ( ) 明从 略( 二 证 五 、, , ,。 , , , ? ( ) 作 ,, , 。 一 先 ,, 的三 等 分 ， 角 作 , , ,,,, 余 。 ,。 三 等 分 ， ,,,, 三 等 分 的 每 一 角 加 余 角 三 等 分 的 一 角 ， ,。 即 三 等分 , , ,,,, , 。 下 面 以 ,为 , , 为 例 作 图 : ,。 ,,( ,。 先 用 ;除 以 , , 得 四种 情 形 : , 整 除 按 ,:,, ,， () ,。 作 图 ;, 不 能 整 除 余 数 大 于 ,, 按 ,, () ,。 , 。, ,,,, , 作 ,。 先三 等 分 ,, ， 三 等 分余 角( 口点 相邻 的余 角 三 等 ,。后 与 分 的 一 角边 与 圆 ,相 交 点 为 , ， , , 即 为 ;为 ,, 三 , ,。 等分 之一 角 ( 分别 以 ,和 ，为 圆 点 ， , 半 径 作 弧 分 别 以 ,为 相交 于 圆 ;的 圆周 ,和 ， 接 , 连 ,和 ,, 线 段 , ， , , ， , , ，, 和 , ,三 等分 , , 的 , ( 图 , ) ,。 (见 , 图 ;, 余 数 小 于 ,,按 , , ,,,, 作 图 ;, 余 数 等 于 () ,。 。 ,。 () , , 按 ,,,, 作 图( ,。 ,。 为 此 ， 尺 规 作 图 的 方 法 就 三 等 分 了 一 个 给 定 的 任 用 意角( 图 , , 数 学 学 习 与研 究 , , ，, , , ,