探究性课题——三角形的内接正方形的面积

探究性课——三角形的内接正方形的面积 探究性课题——三角形的内接正方形的面积 蔡兆生 课本例题，具有一定的代性(现行课本中几经修订得以保留的例题，因其具有丰富的内涵和推广价值而成为典型例题(发挥典型例题应有的功能，对调动学生的学习积极性，培养学生的思维品质，提高教学质量，具有重要的意义，现举例说明( 人教版初中《几何》第二册P243例5，如图1，?ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少, 为方便起见，将课本解答抄录如下:设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在边BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，?ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xmm， ?PN?BC， ??APN??ABC， 解得 x=48(mm) 答:(略) 这是一道源于实际的应用题，既有自身的应用价值(又有探究引申的教学价值( 1 变换视角，谋求问题解决的彻底性 由例题解法可知，正方形的边QM落在不同的边上(这样的正方形称为三角形的内接正方形)，所得正方形的边长不尽相同，为提高锐角三角形余料的利用率，正方形的边长总希望大一些为好( 为便于讨论，设?ABC的三边长分别为a、b、c，各边上的高分别为h、h、h，边落在abcBC、AC、AB边上的内接正方形的边长分别为x、x、x，为不失一般性，设a,b,c，?ABCabc 的面积为S( 可得 h,h,h( abc 根据例题解法有 同理 x,x， bc ? x,x,x( abc 这表明，对于锐角三角形余料，内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长最大，即加工成的正方形最大( 如果三角形余料不是锐角三角形，怎样使加工成的正方形零件最大呢, ? x=x( ab 这表明:边落在直角边上的两个内接正方形一样大(同理，可得x,x，即边落在斜边bc上的内接正方形最小( 如果?ABC是钝角三角形，一边落在BC边上的面积最大的是正方形PCMN，如图2所示，AD为BC边上的高， ? MN?AD， ? ?BCE??ACD， ?a,b，?S,S， ?BCE?ACD22?(a，CD，h),(b，CE，h) ab 22=c，2ah，2CDh,c,2bh,2CEh aabb =4S，2CDh,4S,2CEh ?ABCa?ABCb =2CDh,2CEh ab =4S,4S,0， ?ACD?BCE ? a，CD，h,b，CE，h， ab 即 x,x( ab22又 (b，CE，h),(c，h) bc ? x与x的大小不确定，从可操作性看，将内接正方形的一边落在钝角三角形较短边上具bc 有应用价值( 至此，三角形余料内接正方形的面积如何取得最大值问题已获彻底解决( 2 逆向思维，探求例题引出的新结论 从上面的可以看出，同一个三角形，内接正方形的边落在三角形的不同边上的内接正方形大小不同(如果正方形的一边落在三角形不同边上的内接正方形面积都相等，三角形是不是等边三角形呢, 设a、b、c分别?ABC中?A、?B、?C的对边，每边上的高分别为h，h，h，三个内abc接正方形的边长分别为x、x、x，?ABC的面积为S，由课本题目的解法可知: abc 由 x=x=x及2S=ah=bh=ch abcabc 得 a，h=b，h=c，h( abc 由 a，h=b，h ab 去分母，整理得 22ab，2bS,ab,2aS=0， 分解因式得 2S(b,a),ab(b,a)=0， 即(b,a)(2S,ab)=0， ? 2S,ab=ah,ab=a(h,b)?0 (?h,b)， aaa ? b,a=0 即 a=b，同理b=c， ? ?ABC为等边三角形( 这样，我们就得到了一个真命题:设?ABC三边上的三个内接正方形面积都相等，则?ABC是等边三角形(第十一届江苏省初中数学竞赛题)( 3 静中窥动，录求例题引申的新题型 从运动的观点看，若将原题中的点P、N沿AB、AC移动，必然会引起正方形边长及QM位置的变化，由此可编拟如下新题: 已知:在?ABC中，四边形PQMN是有一边平行于BC的正方形，BC=120mm，高AD=80mm， 2设正方形的边长为xmm，正方形与三角形重叠部分的面积为ymm( (1)当Q、M在?ABC内部时(如图3)，求y与x的数关系式及x的取值范围，并画出它的图象; (2)当Q、M不在?ABC内部时(如图4)求y与x之间的函数关系式及x的取值范围，并画出它的图象，求出y的最大值( 2略解:(1)y=x，由例题解法知，当QM在BC边时，x=48，故x的取值范围是 0,x,48，图象如图5( (2) ?PN?BC， y取最大值为 4 数形结合，探索例题达到的新境界 数与形是数学的两大支柱，优势互补，相得益彰，例题中三角形的底和高为将三角形放入坐标系中有了可能，三角形的三个顶点为确定抛物线解析式创造了几何条件，三角形的不定性会引起内接正方形大小的不定性，由此又可编拟如下探索性问题: 2 已知抛物线y=,x，mx，m，6( (1)求证:不论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)若抛物线与x轴的两个交点B、C位于原点的两侧，且OB?OC=1?2，求m的值及抛物线的解析式; (3)由(2)所得的抛物线上是否存在点A，使得两个顶点落在AB、AC上，另两个顶点落在BC上的正方形边长为3,如果存在，请求出A点的坐标，如果不存在，请说明理由( 222略解 (1)因为?=m,4×(,1)(m，6)=m，4m，24=(m，2)，20,0，所以不论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点( (2)由题意，设x，x为B、C两点的横坐标，则x,0，x,0，x=,2x， 121221 由根与系数的关系得 x，x=m，xx=,(m，6)， 1212 解析式为 2y=,x，2x，8( 2x，8)，则 0 易见B、C两点的横坐标分别为,2，4， ? BC=6( 由PN?BC得(图7) 得?ABC内接正方形的边长为3( 本题熔代数、几何于一炉，沟通了函数、方程、相似形之间的联系，不仅能使学生开拓眼界，而且促进了思维能力的提高与创新意识的培养( 课本例题，蕴藏着丰富的内涵，挖掘、提高课本例题的教学价值，是一种创造性的劳动(发挥课本例题应有的作用，不仅能提高教学质量的近期效果，而且有利于落实素质教育的远期需要(充分利用课本例题的典型性与代表性，构建基础性训练与探索性学习相结合的训练体系，是改进学生有效性学习的重要途径(