排列组合的意义一、 排列组合定义
1、什么是C
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列(即不排序)。
例如:编号1~3的盒子,我们找出2个来使用, 这里就是运用组合而不是排列,因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C(3,2)=3
2、什么是P或A
公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如:1~3,我们取出2个数字出来组成2位数,可以是先取C(3,2)后排P(2,2),就构成了 C(3,2)×P(2,2)=A(3,2)
3、A和C的关系
事实上通过我们上面2个对定义的分析,我们可以看出的是,A比C多了...
一、 排列组合定义
1、什么是C
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列(即不排序)。
例如:编号1~3的盒子,我们找出2个来使用, 这里就是运用组合而不是排列,因为
目只是要求找出2个盒子的组合。即C(3,2)=3
2、什么是P或A
公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序)。
例如:1~3,我们取出2个数字出来组成2位数,可以是先取C(3,2)后排P(2,2),就构成了 C(3,2)×P(2,2)=A(3,2)
3、A和C的关系
事实上通过我们上面2个对定义的分析,我们可以看出的是,A比C多了一个排序步骤,即组合是排列的一部分且是第一步骤。
4、计算方式以及技巧要求
组合:C(M,N)=M!÷( N!×(M-N)!) 条件:N<=M
排列:A(M,N)=M!÷(M-N)! 条件:N<=M
为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求,我需要大家能够熟练的掌握1~7的阶乘, 当然在运算的过程中,我们要学会从逆向思维角度考虑问题,例如C(M,N)当中N取值过大,那么我们可以看M-N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C(M,[M-N]),因为 C(M,N)=C(M,[M-N])
二、 排列组合常见的恒等公式
1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+……+C(n,n)=2^n
2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)
针对这2组公式我来举例运用
(1)有10块糖,假设每天至少吃1块,问有多少种不同的吃法?
解答:C(9,0)+C(9,1)+……+C(9,9)=2^9=512
(2),公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画,按照要求,甲比乙多选1副,且已知甲按照要求任意挑选的
与乙任意挑选的方法 之和为70,求,甲挑选了多少副参加展览?
C(8,n)=70 n=4 即得到甲选出了4副。
三、 排列组合的基本理论精要部分(分类和分步)
(1)、加法原理(实质上就是一种分类原则):一个物件,它是由若干个小块组成的,我们要知道这个物件有多重,实际上可以分来算,比如,我们知道每一个小块的重量,然后计算总和就等于这个物件的重量了,这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中,当我们要求某一个事件发成的可能性种类,我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零,
例如:7个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可以看,
第一类情况:甲坐在左边,乙坐在右边,其他人随便坐,A(5,5)
第二类情况:甲坐在右边,乙坐在左边,其他人随便坐,A(5,5)
我们分别计算出2种情况进而求和即得到
。 这就是分类原则。 这样就是A(5,5)+A(5,5)=240
(2)、乘法原理(实质上就是一种分步原则):做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
例如: 7个人排座位,其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法,按照分步原则,
第一步:我们先对甲乙之外的5个人先排序座位,把两端的座位空下来,A(5,5)
第二步:我们再排甲乙,A(2,2)
这样就是 A(5,5)×A(2,2)=240
如何区分两个原理:
我们知道分类原则也就是加法原则,每一个分类之间没有联系,都是可以单独运算,单独成题的,也就是说,这一类情况的方法是独立的,所以我们采用了加法原理。要做一件事,完成它若是有n类办法,是分类问题,第一类中的方法都是独立的,因此用加法原理;
我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事,需要分n个步骤,步与步之间是连续的,只有将分成的若干个互相联系的步骤,依次相继完成,这件事才算完成,因此用乘法原理.说明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。
这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的,因此也将两个原理区分开来
(3)特殊优先,一般次要的原则
例题:
(1)从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有___个。
第一步构建排列组合的定义模式,如果把数学逻辑转换的问题。
(2)在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有______种。
第一类:A在第一垄,B有3种选择;
第二类:A在第二垄,B有2种选择;
第三类:A在第三垄,B有一种选择,
同理A、B位置互换 ,共12种。
(3)从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有________。
(A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析:显然本题应分步解决。
(一)从6双中选出一双同色的手套,有C(6,1)种方法;
(二)从剩下的5双手套中任选2双,有C(5,2)种方法。
(三)这2双可以任意取出其中每双中的1只,保证各不成双;
即 C(6,1)*C(5,2)*2^2=240
(4)身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。
分析:每一纵列中的两人只要选定,则他们只有一种站位方法,因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系,共有三纵列,从而有C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90种。
四、 解决排列组合问题的策略
1、逆向思维法:我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把这个集合看成数学上的单位1,那么1=a+b 就是我们构建逆向思维的数学模型了, 当a不利于我们运算求解的时候,我们不妨从b的角度出发思考,这样同样可以求出a=1-b。
例题:7个人排座,甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种?
例题:一个正方体有8个顶点 我们任意选出4个,有多少种情况是这4个点可以构成四面体的。
例题:用0,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( )
A.24个 B.30个 C.40个 D.60个
2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略:
(1)无关型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集
例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?
(2)包含型:两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系
例题:用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
P55×-P44=120-24=96
用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数?
25,50 (3×3×2×1)+P4,4=18+24=42
(3)影响型:两个特殊位置上可取的元素既有相同的,又有不同的。
例题:用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
3、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
例题:平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直,则它们构成的矩形共有________个。
简析:按构成矩形的过程可分为如下两步:第一步.先在4条平行线中任取两条,有C4取2种取法;第二步再在5条平行线中任取两条,有C5取2种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形,据乘法原理,构成的矩形共有6×10=60个
4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
对于排列与组合的混合问题,可采取先选出元素,后进行排列的策略。
例:4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子,则恰有一个空盒的放法有___种。144
5、插板法
插板法的条件构成: 1元素相同,2分组不同,3必须至少分得1个
插板法的类型:
(1)、10块奶糖分给4个小朋友,每个小朋友至少1块,则有多少种分法?(典型插板法 点评略)
(2)、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法?(凑数插板法: 这个题目对照插板法的3个条件我们发现 至少满足1个这个条件没有, 所以我们必须使其满足,最好的方法 就是用14块奶糖来分,至少每人1块 ,当每个人都分得1块之后,剩下的10块就可以随便分了,就回归到了原题)
(3)、10块奶糖放到编号为1,2,3的3个盒子里,每个盒子的糖数量不少于其编号数,则有几种方法?(定制插板法: 已然是最后一个条件不满足,我们该怎么处理呢,应该学会先去安排 使得每个盒子都差1个,这样就保证每个盒子必须分得1个,从这个思路出发,跟第二个例题是姊妹题 思路是一样的 对照条件 想办法使其和条件吻合!)
(4)、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1~11的盒子里面,每个盒子至少放1个,有多少种方法?(多次插空法 这里不多讲,见我排列组合基础讲义)
6、递归法(枚举法)
公考也有这样的类型, 排错信封问题,还有一些邮票问题
归纳法:
例如:5封信一一对应5个信封,其中有3个封信装错信封的情况有多少种?
枚举法:
例如:10张相同的邮票 分别装到4个相同的信封里面,每个信封至少1张邮票,有多少种方法?
枚举:
1,1,1,7
1,1,2,6
1,1,3,5
1,1,4,4
1,2,2,5
1,2,3,4
1,3,3,3
2,2,2,4
2,2,3,3
9种方法!
五、 疑难问题
1、如何验证重复问题
2、关于位置与元素的相同问题,
例如: 6个人平均分配给3个不同的班级,跟 6个学生平分成3组的区别
3、关于排列组合里面,充分运用对称原理。
例题: 1,2,3,4,5 五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数?
例题:7个人排成一排,其中甲在乙右边(可以不相邻)的情况有多少种?
注解:分析2种对立情况的概率,即可很容易求解。 当对立情况的概率相等,即对称原理。
4、环形排列和线性排列问题。(见我的基础排列组合讲义二习题讲解)
例如:3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。 问有多少种方法?
例如:3对夫妇围坐在圆桌旁,男女间隔的坐法有多少种?
注解:排列组合中,特殊的地方在于,第一个坐下来的人是作为参照物,所以不纳入排列的范畴,我们知道,环形排列中 每个位置都是相对的位置,没有绝对位置,所以需要有一个人坐下来作为参照位置。
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