第二章一维随机变量及其分布（doc X页）

第二章一维随机变量及其分布（doc X页） 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布 ?2009考试内容 随机变量 随机变量分布数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 ?2009考试要求 1(理解随机变量的概念，理解分布函数 FxPXxx(){}(),,,,,,，, 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 2(理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布、几何分布、Bnp, ，， 超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用。 P,，， 3(了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。 24(理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U(a,b)、正态分布N()、,,, ,指数分布及其应用，其中参数为的指数分布E()的概率密度为 ,,(0), ,,x,,,e,0,若x>fx(), ,,0,0.若x,,, 5(会求随机变量函数的分布。 本章导读 本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型;如何根据定义求的函数分布一般方法。介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的，如为什么要求分布函数必须右连续等问题,目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。 一、 随机变量 1概 念 ,,ee随机试验的每一个可能的结果(即每一基本事件)，对应样本间的集合中每一元,, XeXeXXe,素，我们都可以设令一个实数来表示该元素，显然，为实值单值函数，，，，，，，XXe称为随机变量。对，我们试验前无法确定，也就无法事先确定的值，只有在试验后才 XX会知道的值，但取值一定服从某种确定的分布。 28 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件;第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率;第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。比如:将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷X中出现正面的总次数，那么，对于样本空间中的每一个用表示正面，表示反面 HT,,e,,，， 样本点，都有一个值与之对应，即 Xe TTTHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTH样本点 的值 3 2 2 2 1 1 1 0 X 二、随机变量的分布函数 2.1 随机变量的分布函数(适合任何类型的随即变量) 陈氏第2技 随机变量的分布函数的全新揭秘。 ? 分布函数定义形式的渊源 一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率 PxXxPxXxPxXxPxXx,,,,,,,, 或 或 或 ,,,,,,,,12121212 读者只要利用一维坐标轴就分容易得出下列结论 PxXxPXxPXx,,,,,,,,,,,,,1221,PxXxPXxPXx,,,,,,,,,,,,,,,1221,,,0当 ,，，,PxXxPXxPXx,,,,,,,,,,,,,,,,1221, ,PxXxPXxPXx,,,,,,,,,,,,,,1221, PXx,所以，我们只须定义一个形式就可以了，其他区间形式都可以用它表示出来。 ,, XXFxPXx,,,,,x于是定义:为的分布函数。它就是落在任意区间上的概率，本质，，,,，,上是一个累积函数，对于离散点，采用叠加，对于连续点，使用一元积分。 Fx?具有下列重要性质: ，， a 单凋不减;因为区间越大，概率越大。 ，， FFxFFx，,,,,,,,lim1, lim0b ; ，，，，，，，，，，xx,，,,,, 29 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 ,,,,,,,,,PxXxPXxPXxFxFx,,,,,,，，，，122121,,0PxXxPXxPXxFxFx,,,,,,,,,,,,,,,,，，，，,122121 ,00PxXxPXxPXxFxFx,,,,,,,,,,,,,,,,,,，，，，,,122121, ,0PxXxPXxPXxFxFx,,,,,,,,,,,,,,,,，，，，,122121, c ，，, , ,0limPXxFxFxFxFx,,,,,,，，，，，，，，，，00000xx,,0, ,11PXxPXxFx,,,,,,，，，，，，000, ,0PXxFx,,,，，，，00, 上述全部可能的表示中，只有，但，因为假如 ，Fx,0FxFx,,0FxFx,,0，，，，，，，，，，11那么，当离散型在点的概率不为零时，等式就会出现矛盾，PxXxPxXx,,,,,x,,,,12121 故不可能左连续。其中，是计算离散FxPXxFxFxFxFx,,,,,,0lim，，，，，，，，，，，，0000xx,,00型分布函数的重要公式。 又，上式中根本不可能出现Fx，0的形式，FxFx，,0对上述5种关系没有任何影响，，，，，，， 即Fx右连续。当然，由于连续型在一点的概率FxFxFxFx，,,,0;0 且 ，，，，，，，，，，，，0000，， FxFx恒为零，所以，连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求右连续，才使，，，，成为分布函数的普适定义。 评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型，还可以描述离散型及其其他非连续型，但不同的随机变量可以有相同的分布函数。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规 0, 0x,, ,1,律。注意，存在既非离散型又非连续型的分布函数，如等类型，。 Fxxx,,,, 01，，,2, 1, 1x,,, 2(2 离散型随机变量的分布律(概率分布) 当随机变量所取的有限个或可列个值，能够按照由小到大的顺序排列时，称为离散型随机变量。当已知分布函数，求分布律(概率分布)的计算方法是(参阅【例9】) PXxFxFxFxFx,,,,,,0lim。 ，，，，，，，，，，0000xx,,00 Xxk,1,2,？Xx,PXxp,, 设离散型随机变量的可能取值为，事件的概率为 ，，,,,,kkkk , ，离散型分布函数称为离散分布律，一般使用列表表示。注意 : 。要求掌握的离散p,1,k,k1 30 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 01,性分布律有5种:分布，伯努利二项分布，泊松分布，几何分布和超几何分布。 评 注 离散分布函数一般为阶梯函数。已知离散分布函数，根据分布FxPXx,,Fx，，,,，，函数的性质，可以计算出离散分布律;反过来，已知离散分布律，根据PXx,PXx,,,,,kk一维直角分割法，可以计算出离散分布函数。 Fx，， 2.3 连续型随机变量的概率密度(分布密度) x, 称为连续分布函数 称为概率密度，或分布密度。 ftFx,Fxftdt,，，，，，，，，,,, 离散型分布函数反应在各个分布点上，而连续型分布点上的分布函数为0，显然不能反应其分布本质，故而使用其相应的概率密度或称分布密度来反应分布规律。 fx，， ?连续型具有下列性质 Fx，， a 连续型Fx是连续函数(左右均连续)，即:FxFx,,0; ，，，，，，，， bFxFxx,,0 连续型几何意义是面积，且:; ，，，，，，0 ，,,,cFftdtFftdt，,,,,,,,1, 0 ，，，，，，，，，，,,,,,, d 要求掌握的连续型分布函共有3种:均匀分布，指数分布和正态分布。 ，， 陈氏第3技 常年考点用到的 5个分布函数组合的重要结论。 1 只有存在概率密度(不恒为零)的随机变量才称为连续型，但不能错误认为分布函数连，， Fxx,,100, 1续的随机变量为连续型。如分布函数 就不是连续型。 ，， n 2FxFxFx, , , ？ 若均是分布函数，则当 时 aa,,0, 1，，，，，，，，,12nii,1i nn 和仍然为分布函数 。 aFxaFx，，，，,,iiiii,1i,1 n 3fxfxfx, , , ？ 若均是分布函数，则当 时 aa,,0, 1，，，，，，，，,12nii,1i nn 仍然为分布函数，但不一定是分布函数。 afxafx，，，，,,iiiii,1i,1 31 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 1yb,,,YaXb,， 如果为连续型，则也是连续型，且，若如果为离XX4fyf,，，，，YX,,aa,, YaXb,，YaXb,，散型，则却不一定为离散型，如服从泊松分布，就不再是泊松分布。 X 普适分布函数和离散型分布函数右连续;连续型分布函数左右都连续;但密度函数不 5，， 一定连续，而且一般规定:区间端点(注意不是分界点)处密度函数值取零。 评 注 设和是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为;fxfx, XX，，，，1212 分布函数分别为，则 FxFx, ，，，，12 AfxfxXBfxfxX ，,必为某一的概率密度。 必为某一的概率密度。，，，，，，，，，，，，1212 CFxFxXDFxFxX ，,必为某一的分布函数。 必为某一的分布函数。，，，，，，，，，，，，1212 解:选D。 ，， ，,，,，,fxfxdxfxdxfxdxA，,，,，,,,1121错误;，，，，，，，，，，，，1212，，,,,,,,,,, FFC，,，，,,，,,,1121错误;，，，，，，12 1,211,01 ,,,,,,xx,,x ,,,，,,，，取 fxfxfxfxB,,,,,,,,,,,;01错误; ，，，，，，，，，，,,12120,0, otherother,, 取 XMaxXXFxPXxPMaxXXx,,,,,,,,,,，，,,,,,,1212 ,,,,,,,,PXxXxPXxPXxFxFxD;正确。,,,,,,，，，，，，121212 2.4 离散型与连续型随机变量的关系 PXxPxXxdxfxdx,,,,，, ，，，，，， fxdxPXxp,,可见，积分元在在连续型随机变量理论中与在离散型随机变量理，，，，kk论中所起的作用地位相同，这与微分的几何意义完全一致。 2.5 一维随机变量的8大分布(3个离散分布+5个连续分布) Bp1, (1) 两点分布(又称0-1分布) ，， XX模 型:伯努利试验变量只有两种可能结果(对立)，随机变量使用0与1 两种取值。 AAp如每次发生的概率为，共试验了1次，求其中发生的概率(放回抽样)。 32 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 PXpPXpq,,,,,,1, 01，，，， 1,kkkkk,1PXkCpppqBpk,,,,,1~1, , 0, 1.0-1分布为: ，，，，，，1 (2)伯努利二项分布 Bnp, ，， 模 型:随机试验结果只有两种，如每次发生的概率为，共试验了次，求其中发AApn k生次的概率(放回抽样)。 1,kkkkkk,1PXkCppCpqBnpkn,,,,,1~, , 0,1,2,,？ ，，，，，，nn (3)泊松分布 P,，， 模 型:满足下列条件的随机质点流(一串重复出现的事件)称为泊松流。 (1)在时间内流过质点数的概率仅与有关，与无关; t (2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立; (3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不 可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。 例如:单位时间内放射性物质放射出的粒子数;单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数; 单位时间内走进商店的顾客数等等;均可认为它们服从泊松分布。 k,,,PXkePk,,,~, 0,1,2,？ ,，，，，k! PBnpnp,,,,lim,, 其中p当很小时，有。 ，，，，n,, 【例1】某人进行射击，命中率0.001，独立射击5000次，求射击中次数不少于两次的概率。 k,,,PXke,,解:服从二项分布，但由于次数很大，可用泊松分布计算 ，，!k ,,，,0.00150005 01 55,,,,5555PXPXPXeeee,,,,,,,,,,,,2101115，，，，，，0!1! Gp(4)几何分布 ，， AAp模 型:随机试验结果只有两种，如每次发生的概率为，试验一直继续，直到发生 kA为止，求第次(放回抽样)才发生的概率。 k,1k,1PXkppqpGpk,,,,,1~, 1,2,3,？ ，，，，，， 33 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 bkk【例2】袋中有个白球，个红球，从袋中先后取出个球，放回，求第次取到白球的概a 率。 ak解:服从几何分布，每次取到白球的概率为 ，则第次取到白球的概率 p,ab， k,1bak,1,,k,1 1PXkppqp,,,,,，，，，,,，，abab,, 【例3】5把钥匙，只有一把能开锁，如果某次打不开仍不扔掉(放回)，求下列事件的概率。 (1)第一次打开;(2)第二次打开;(3)第三次打开; 解:服从几何分布 k,141k,1,,k,1 PXkppqpk,,,,,，,1, 1,2,3.，，，，,,55,, (5)超几何分布 HnMN, , ，， N模M 型:随机试验结果只有两种，如件产品，其中有件次品，从中取件(不放回和n k放回抽样结果相等)，含有个次品的概率。 knk,CCMNM, ,,,~, , , 0,1,2,,min,？PXkHnMNkMn，，，，，，nCN bk【例4】袋中有个白球，个红球，从袋中先后取个球，求含有个白球和红球概率。 kka12解:服从超几何分布 kk12CCab 放回抽样: ,,,, 0,1,2,,min,,？PXkkabk，，，，kC，ab kkkkk1212CCPCCabkab不放回抽样:,,,,, 0,1,2,,min,,？ PXkkabk，，，，kkPC，，abab 可见:超几何分布遵循抽签原理。 Uab, (6)均匀分布 ，， Xab, fx 模型:设随即变量的值落在内，其内取值具有“等可能”性，即其密度分布在，，，， 1ab, 上为常数，即 ，，ba, 1,, axb,,, fxUab,~, 注意区间为开区间，端点的分布密度值取零，，，，ba,, , 0, other, 34 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 0, xa,, ,xxxa,, Fxfxdxfxdxaxb,,,,,, ，，，，，，,,,,,aba,, 1, xb,,, xx,21 PaxXxbFxFx,,,,,,,，，，，，，1221ba, 2【例5】若服从上的均匀分布，求方程有实根的概率。 X1, 6xXx，，,10,, 624,2解:有实根，则;则有实根的概率。 XXX,,,,,,402&2舍去,,xx，，615,(7)指数分布 E,，， 模 型:在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般。XE~(),例如，某电子元件直到损坏所需的时间(即寿命);随机服务系统中的服务时间;在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。 ,,,,xx,,,exex, 01, 0,,,fxEFx,,~ ,，，，，，，,,0, 00, 0xx,,,, ，,nx,,，,,nxedxn1!指数分布计算中常用到函数:如 等等。 ,，，,0 PxXxxXxPXx,,，,,,|【例6】指数分布的特点是:“无记忆性”，即。试证明之。 ，，，，000 证明: PxXxxXxPxXxxPXx,,，,,,，,,, ，，，，，，000000PxXxxXx,,，,,,|，，000PXxPXx,,，，，，00 ,，,xx，，,,x0011,,,ee，，，，PxXxxFxxFx,,，，,，，，，，，0000,x,,,,,,,,,1eFxPXx，，，，,x,011,,,PXxFx，，，，11,,e，，00 2N,,, (8)正态分布 ，， X?模 型:在实践中，如果随机变量表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地服从正态分布。如:测量产生的误差;弹着点的位置;噪声电压;产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。尽管它来源于连续型，但它是任何分布在样本数一般大于45时的极限分布。而且，根据中心极限定理，若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正态分布，它是数理统计的基础，是概率与数理统计中的第一大分布。 35 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2x,,，，,12222,，， fxeNxYaXbNaba,,,,，,,,，，,,,,~, , ,~, ，，，，，，，，，，，，2,, 2x,,，，,x122, Fxedx,，，,,,,,2 2x,12? 当，称为标准正态分布。此时分布函数为 ,,,,,,fxeN0, 1~0,1，，，， ,2 ,,,,,xx1,，，，， ,1,,,,,,,000PXPX，，,,,,,22tx,1,2 ,,,xedt，，,X,,,,,,,,~0, 1N，，2,,,,,,,,, xx,,,,,,,,,21PxXx,,,,,,，，12,,,,,,,,,,,, 01,Bnp, Gp评 注 8大分布产生的背景如下，伯努利试验产生的分布有:分布，，，，，，， 2HnMN, , P,E,Uab, 。泊松流产生的分布有:，。误差产生的分布有:，。 N,,, ，，，，，，，，，， X,,,,2【例7】设XN~,,, ，证明 (重要结论，务必记住) ~0, 1N,，，，，,,,,, 证明:根据概率定义来证明。 X,,,,XX 设 ，大写表示随机变量，小写表示随机变量取到的值。 xY,,,,,,, X,,,,FyPYyPyPXyFy,,,,,,，,，,,,,，，，，，，，，Yx,,,,, 22,,，,，，yy，，，，y,,11222,,,~0, 1fyFyFyfyeeN,,，,，,,,，，，，，，，，，，,,,,,,,yYxx22,,, 12PXY,,0, 0PXY,,,0, 0N0, ,【例8】设随机变量XY, 均服从，若概率，求 ,,,,，，3 AXBY,,,,0, 0PXPY,,,,000解:令，注意连续型，则 ,,,,,,,, 36 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 11,,,,,,,PAPBPABPXY; 0, 0，，，，，，,,23 ,,,,,,,,,，PXYPXPYPABPAB0, 00 0 ,,,,,,，，，， 11,,，,,，,PABPAPBPAB，，，，，，，，，，，， 1111，， 1,,，,,,,2233，， ?分位数:如无特别说明，正态分布专指下分位数;三个抽样分布专指上分为数。 ，,2(1) 上分位数 PXzNdx,,,,,,,,, ，，，，,,z, z,2(2) 下分位数 PXzNdx,,,,,,,,, ，，，，,,,, 评 注 无论哪种分位数，对标准正态分布都有: zz,,1,,, 2u,z12切 记:标准正态分布的查表中使用的 是下分位数 ,,,,zeduPZz，，，，,,,,2 其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数，即: 22,Pnn,,,,,，，，，,,,,, 。参见浙大三版附表2~5。 Ptntn,,，，，，,,,,,,PFnnFnn,,,,，，，，,,,,1212,, YfX,三、一维随机变量函数的分布函数 ，， 3.1 离散型 陈氏第4技 采用〖一维直角分割法〗计算一维分布函数。 12,,x12,,xFx 如计算区间的，先在区间内任取一点x，然后，由x点向数轴左边(往，， PXx,左边画是为了满足的分布函数定义)画一个直角区域，该直角区域与样本空间的交，， Fx集就是所求的，即把该直角区域包含全部样本点的概率相加， 如为连续则相加变为积分。，， x〖直角分割法〗也适应二维分布，由点向平面左下方画一个直角区域即可。 37 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 0, 1x,,, ,0.4, 11,,,x,【例9】设的分布函数为，求的概率分布。 XXFxPXx,,,，，,,,0.8, 13,,x, ,1, 3x,, 解:由于要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间的为常数，故具XFxFx,，，，，有离散型特征。在处有第一类跳跃间断点，即在这些点的概率不为零，即XFxx,,1, 1, 3，， 正概率点存在。根据〖直角分割法〗，计算如下 PXFF,,,,,,,,,,11100.400.4,,，，，， PXFF,,,,,,,11100.80.40.4,,，，，， PXFF,,,,,,,333010.80.2,,，，，， X的概率分布(即离散分布律)为 X,1 1 3 p0.40.40.2 i X【例10】设随机变量的分布为 X -1 0 1 2 3 ab0.35 0.25 0.15 pi 22a,0.2XFxPXPXPX,,,1,0,1.2YX,,1当时，求的分布函数和和的分布。 ，，，，，，，， 解:上表显然为离散分布正概率点的值。 10.250.150.350.250.05,，，，，,,,,abba根据概率归一化: 12,,xFx 利用直角分割法，如计算区间的 ，， ,,,,，,，,,FxPXPXPX1010.6 ，其余区间类推，故: ，，，，，，，， 0, 1x,,, ,0.25, 10,,,x, ,0.4, 01,,xFx, ，，,0.6, 12,,x, ,0.95, 23,,x,1, 3x,, 38 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 评 注 由于分布函数右连续，故等号位置不能放在小于号上。 2PXPXPXPXPX,,,，,,,,，,,111230.4，，，，，，，，，， PXPXPX,,,,，,,0100.4，，，，，， PX,,1.20，， 2XYX,,,,,,,1, 0, 1, 2, 311, 0, 3, 8 2PYPXPX,,,,,,,,,11100.15，，，，，， 2 PYPXPXPX,,,,,,,，,,010110.45，，，，，，，， 2PYPXPXPX,,,,,,，,,,313220.35，，，，，，，， 2PYPXPXPX,,,,,,，,,,818330.05，，，，，，，， 2-1 0 3 8 YX,,1 p0.15 0.45 0.35 0.05 X【例11】已知随机变量的分布律为 ,,3, X 442 0.2 0 0.1 P YSinX,求的分布律。 2YSinX,?YX解:的所有可能取值为 ，1 (将的所有取值代入得到) 2 ,,23,,,,,, PYPXPX 0.3,,,，,,,,,,,,,,244,,,,,, ,,, PYPX1 0.7,,,,，，,,2,, 2Y 0.1 2 0.3 0.7 P 3.2 连续型 ,Xfxx, , ,,,，,gxgx 如果具有连续概率密度，处处可导，且不变号，则，，，，，，，，X ,1YgXXgY,,,的概率密度为: ，，，， 39 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 ,,,,11，，，，fgygyyab, , ,，，，，，，,X，，，， fy,，，,Y ,0, other, 评 注 上述解法由于条件苛刻，应用受到限制，而且一般的概率密度并非连续函数。所以 ?分布的一般的解法(又称分布函数法)是: YgX,，， 首先确定的值域，也可以是开区间或半开半闭区间。 Yaab, ，，,, byaFyybFy,,,,,,0;1; ，，，，，， ，根据分布函数定义求。 cayb,,，， , FyPYyPgXyfxdxfyFy,,,,,,,，，，，,,，，，，，，，，,,,，，gXy,，， ?Z 新增例子1:设为连续型随机变量，分布函数为Fz，求YFZ,的分布函数。 ，，，， 解:由分布函数的性质知 YFZY,,,0,1 ，，,, yFyyFy,,,,,,00;11; ，，，， ,,11，，当时，FyPYyPFZyPZFyFFyy,,,,,,,, 01,,y，，,,，，，，，，,,,,，， 0,0 y,,1,01 ,,y,,,,,,,,FyyyfyU,01~0,1 。 ，，，，，，,,0, other,,1, y, YGxyxy,,,,,,|13,13 新增例子2:设随机变量 的联合分布是正方形上的X,，，,, UXY,,均匀分布，求的概率密度。 1,,13,13 ,,,,xy,fxy, ,解: ，，4, ,0, other, XYUXY,1,30,2,,,,, 根据(值域)。 ,,,, 1uFu,,,00 ; ，，，， 2uFu,,,21 ; ，，，， 302,,,,,,,,uFuPUuPXYu ，，，，,,,, 40 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 1112,,,,,,,dxdyufuu122，，，，，，,,422xyu,, (画图求面积) 1,2,02,,,uu ，，,,,fu，，2, ,other0, , ? 注意，由于分布的概率密度函数不一定连续，故一般规定在端点的密度函数值为零， 故一般来说是个开区间。 yab,, ，， 1YX,，23【例12】，求的。 fyXfx~,，，，，y2xx1，，， YX,，23解:由于不满足处处可导，故采用一般解法: y,3yy,,33,,,,2FyPYyPXyPXFfxdx,,,，,,,,,23，，，，，，，，YXX,,,,,,,22,,,, , yy,,3311,,,,,fyFyf,,,,，，，，YYX,,,,2222，，,,,,yy,,33,,,，1,,,,22,,,,，， ,,,,YX,sin【例13】设随机变量，求的分布密度fy。 XU~, ,，，Y,,22,, 解 法: 公式法 ,1,,,,, , x,,,,,,,,,， 而在存在反函数 yx,sinxy,arcsin, ,fx,22，，,,,,,,22,,,0, 其它, 1, 且，使用公式法 x,y2,y1 ,,,,11，，，，fgygyyab, , ,，，，，,,,X，，，，fx,，，,Y ,0, other, 1,,,,, 1, 1y,,，，fyxfyyyarcsinarcsinarcsin, 1, 1,,,，，，，，，，，,,XX2, ,,1y,,, ,,0, other0, other,, YX,sinX0, ,【例14】已知随机变量的服从上的均匀分布，求的概率密度。 ,, 解:: 分布函数定义法 X的概率密度为: 1,x,, 0,,,,, fx,，，,,X ,other0, , YY,0, 1yFyyFy,,,,,,00;11; 先确定的值域为。故 ，，，，,,YY 41 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 当时 01,,y x的单调区域有两个，即，根据反函数的定DDxxyxyx,,,,,,,|0arcsin|arcsin,,,,,, 义，的两个单调区域存在反函数。使用一般法，得 D arcsiny,11FyPXydxdxy,,,，,,sin, 01，，，，,,,0arcsiny,,, yFy,,,当; 00 ，， yFy,,,当; 11 ，， 2,,,y, 01,2,,,,,,yfyFy当 01 ，，，，,y1,Y,,other0, , 评 注 如无特别指明，则，而本题为。 XU~0, ,XU~0, ,，，,, X【例15】XE~,，求Ye,的概率密度函数。 ，， Xx,0解:因为指数分布要求，故Ye,不仅处处可导，且存在反函数，可直接利用公式: ,,,,,,11ln,y,，,1,，，，，，，fgygyyabeyy, , ln, 1,,,,，，，，,,,,yy, 1,,,,,Y，，，， fx,,,，，,,,Y0, 1y,,,,,0, other0, 1y,,, 可见，在容易判断满足条件情形下，使用公式效率很高。 X2XN0, 1 Ye,YX,【例16】服从，求, YX,，21, 的概率密度。 ，， 2x,121解: ,,,,，,xXNfxe,,，，~0, 1()，，,2 XYe,,0 恒成立FyPYy,,,()0一般解法:由，故，当 y 0,,，，Y当时 y,0 2x,lny12XedxFyPYy,,()= ,,,,PeyPXy( )( ln)，，,Y,,,2 2()ly,,12ye, 0,,,YfyFy()(),,故的概率密度 ,y2,YY ,y00， ,, 公式解法: 42 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 2(ln)y,,,1,,,,11,2，，，，fgygyyabfyyy, , lnln, 0,,ey, 0，，，，,，，，，,,,,,XY，，，， fx,,,，，,y2,,,Y ,,,y0, 0,other0, ,y00， ,,, Y,12由知，当时，; X,,2FyPYy,,,()0YX,，21y,1，，，，Y2 当时，因为不存在反函数，故使用一般解法 y,1 2FyPYyPXyPXy,,,，,,,, 21(1)/2 ，，，，，，，，Y (1)/2(1)/2,,,,,,PyXy，， 2,y1x,122 ,edx,,y1,,22 22(1)/2)((1)/2)yy,,,,,,,111,22,,,eey , 1，,，,,,,, fyFy,, ，，，，,yy24(1)/24(1)/2,,,YY,,,y0, 1,,, y,1,,14ey, 1,,,,y2(1), = , ,y0, 1,,, 3YX,FyPYy,,,()0 由知，当时，, y,0，，，，Y 当时 y,0 2x,y12 FyPYyPXyPyXyedx,,,,,,,,, ，，，，，，，，Y,,y,2 22yy(),2,,,,,y1,,222ee(1),,,y,0,,,2ey, 0,,,,,,2,,fyFy,, ，，，，,,,,,YYy0,,,0, 0y,,0,,, FxFx,FxaFxbFx,，【例17】 设都是分布函数，常数abab,,，,0,0,1，证明，，，，，，，，，，1212也是分布函数，并举例说明分布函数不只是离散与连续两种。 证明:分布函数的三个基本条件: xxFxFx,,,(1) ，，，，1212 43 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 lim0, lim1FxFx,,(2) ，，，，xx,,,,，, (3) FxFx，,0，，，， xxFxFxFxFx,,,,, ，，，，，，，，1211122122 ,,，,，,FxaFxbFxaFxbFxFx，，，，，，，，，，，，1112112222 limlim0FxaFxbFx,，,，，，，，，，，12xx,,,,,, limlim1FxaFxbFxab,，,，,，，，，，，，，12xx,，,,，, FxaFxbFxaFxbFxFx，,，，，,，,000，，，，，，，，，，，，1212 所以，也是分布函数。 Fx，， 1取:，并令 ab,,2 0, 0x,,0, 0x,,,FxFxxx,,,,, , 01，，，，,,111, 0x,,,1, 1x,, 0, 0x,, ,111，x,,,，,,,FxFxFxx, 01，，，，，，,12222, 1, 1x,,, Fx由于是不连续的分段函数，故即不是离散型，又不是连续型。 ，， 5PY,1【例18】已知XBpYBpPX,,,,2, 3, 1，，，求。 ，，，，,,,,9 30PYPYCp,,,,,,,11011解: ,,,,，，3 5120 又，PXpPXp=0=C1111,,,,,,,, ,,，，,,293 3119,, 故 PY,,,,,111,,,,327,, ,2XXE~2YeU,,1~0, 1【例19】设，证明:。 ，，，， 证明: ,2x,2, 0ex,fx,，，,X0, 0x,, 1,,,,22xx,,,,,,,,,,,,,FyPYyPeyPeyPxy11ln1，，,,，，，，，，Y,,2,, 1, 1y,,,,,222Xxx又， xeyey,,,,,,,,,,,,,0, 101011 Pe1，，，，,0, 1y,, 44 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 所以，只需考虑区间 ，此时 y,0, 1，， 1,,ln1y，，2Fyfxdx,，，，，YX,0 111，，ln1,y，，,ln11,,,,,,,,fyFyfye，，，，，，YYX,,2121,,yy，，，， 故:。 fyU~0, 1，，，，Y 【例20】设随机变量的概率密度为 X 1,, 1, 8x,,,,32 ，求的分布函数。 YFX,Gyfx,，，，，，，3x,Y ,0, other, 解:显然， xFxxFx,,,,,,10; 81，，，， 18,,x当 时 x13Fxdtx,,,1，，,321t3 又，FFy,,,,10, 810, 1，，，，，， 显然，当 yGyyGy,,,,,,00, 11，，，， 3当，yGyPYyPFXyPXy,,,,,,,,,0, 11，，，，,,，，,,,, 3333，，,,，,，,，,,PXyFyyy 1111，，，，，，,,，， 于是， 0, 00, 0yy,,,, ,, , 00, 00Gyyyyy,,,,,,，，,, ,,1, 11, 1yy,,,, 2XY，AX,,1，【例21】向平面区域随机投掷一点，设 Dxyx: 02; 04,,,,,，，,, BY,,3。求 ,, AB，AB，XY，12 恰好发生一个的概率;是否独立, 是否独立, ，，，， 2162DSxdx,,,4解:的面积为 ，，D,03 45 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 1,3,, , xyD,，，xyD,(正概率点区域), , ，，,,Sfxy, ,,16，，,,D ,,0, 其它 (零概率点区域)0, 其它,, 214,x311,,,,PAfxydxdydxdy, ，，，，,,,,001616 ,,1xD,, 34,y37 , PBfxydxdydydx,,,，，，，,,,,00168,,3yD,, 1339,,dydx , PABfxydxdy,，，，，,,,,001616,,,,13xyD,,,, AB，恰好发生一个的概率为 PABAB，1，，，， 又， PABPAPABPBPAB，,，,，，，，，，，，，，， ,，,，，，2PABPAPABPBPAB ，，，，，，，，，， ,，,,，，，2PAPBPABPAPBPABPAB，，，，，，，，，，，，，，，，，， PABPABPAPBPAB，,，,2 ,，，，，，，，，，， ,，,，,,，,PABABPABPABPABABPABPAB0，，，，，，，，，，，， 11797 22,，,,，,，,PAPBPAB，，，，，，1681616 AB，2PABPAPB, 显然 ，故不独立; ，，，，，，，， 1339 又 PABfxydxdydydxF,,,,, 1, 3，，，，，，,,,,001616xyD,,,,,,,,13 214,x311PAfxydxdydxdyF,,,,, 1，，，，，，X,,,,001616xD,,1,, 34,y37 PBfxydxdydydxF,,,,, 3，，，，，，Y,,,,00168yD,,3,, 故，不独立。,,FFFXY1, 313, ，，，，，，XY 评 注 求连续函数的概率时，积分区域为直角分割区域与概率密度分布的正概率点区域的交 XY， 集。如果读者对二元分布及其边缘分布不熟悉，可以不看此题的是否独立的证 明，以后再回头来研究。 46 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布模拟题 一(填空题 1( 设随机变量X的分布函数为 0, 1,x,,, ,57x，,Fxx(), 11,,,,, ,16, ,1, 1x,, 2 则________。 PX(1),, 2( 设随机变量X的密度函数为 ,Cxx，,,,, 10, , fxCxx(), 01,,,,,, ,0,.其他, 则常数C=__________。 2, 01,xx,,,1,{}X,3( 设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件fx(),,0,.其他2,, 出现的次数，则P(Y=2)=_________。 3124( 设X服从[0，1]上的均匀分布，则概率=________。 PXX(0),，,48 25( 设为其分布函数，则对任意实数，有____。 aFaFa()(),,，，,,XNFx (,),(),, xx, 01,,,, ,13PX(),,,6( 设连续型随机变量X的概率密度为 则 ____。 fxxx()2, 12,,,,,,22,0,.其他, 3,4, 01xx,,,fx(),7( 设随机变量X的概率密度为 又为(0，1)中的一个实数，且a,0,.其他,, ，则_______。 a,PXaPXa()(),,, 28( 若 则X的密度函数的两个拐点为________。 fx()XN (,),,, k,59( 设X服从参数为的泊松分布，则使得达到最大的________。 PXk(), YX,,2lnZX,,,2ln1 10(设X服从[0，1]上的均匀分布，则随机变量的概率密度为_______，的，， 概率密度为________。 二(选择题 1(下列函数中能够作为分布函数的是 47 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 0,1,x,,,0,0,x,,,1,,(A) (B) Fx(),Fxx(),12,,,,,ln(1)，x,,3,0.x,,,1，x,1,2.x,,, 0,0,x,,0,0,x,,,,x，2,Fxxx()sin,0,,,,,(C) (D) [ ] Fxx(),02,,,,,,5,,1,.x,,,1,2.x,,, 22(设随机变量而且C满足，则C等于 PXCPXC()(),,,XN (2008,2010), (A)0 (B)2008 (C)1998 (D)2010 [ ] 2,，xx23(设为一概率密度，则k的值为 fxke(), ,11e,1(A) (B) (C) (D) [ ] 22,, 4(下列命题正确的是 (A)连续型随机变量的密度函数是连续函数。 (B)连续型随机变量的密度函数满足。 fx()0()1,,fx (C)连续型随机变量的分布函数是连续函数。 (D)两个概率密度函数的乘积还是密度函数。 [ ] 5(设随机变量X的概率密度为，分布函数为，且，则对于任意实数，有= afx()Fx()fxfx()(),,Fa(), 1,Fa()(A)F(a) (B) 2 (C) (D) [ ] 2()1Fa,1(),Fa 2a,06(设 对于任何正数，有 ,,0, (),fxX为的密度函数XN~(, ),,, (A) (B) fafa()(),,fafa()(),, C)( (D) [ ] fafa()(),,fafa()()1，,, FxFx()()和FxaFxbFx()()(),,7(设都是随机变量的分布函数，则为使是某随机变量的分布函数，1212 必须满足 3222ab,,,,ab,,,,(A) (B) 3355 1313ab,,,,ab,,,,,(C) (D) [ ] 2222 FxFx(),()fxfx(),()8(设为随机变量的分布函数，是密度函数，则 1212 48 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 (A)是密度函数。 fxfx()()，12 (B)是密度函数。 fxfx()()12 (C)对任何满足是密度函数。 ababafxbfx，,，1,, ()()的实数12 (D)是分布函数。 [ ] FxFx()()12 三(解答题 1(设随机变量X的概率密度为 2x,,132xex,0,,,fx(), 2, ,0,.其他, 求X的分布函数F(X)和概率。 PX(24),,, 2(假设随机变量X的概率密度为 1x,,cos,0,,,x, 22fx(),, ,0,.其他, , 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，试求Y的分布律。 3 3(一个袋中有5只球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码， 求X的分布律。 4(设10件产品中有7件正品、3个次品，现随机地从中抽取产品，每次抽1件，直到抽到正品为止，求: (1)有放回抽取下，抽取次数的分布律与分布函数; (2)无放回抽取下，抽取次数的分布律与分布函数。 5(设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布，其概率密度为 1,x,15ex,0,, fx(),5,X ,0,.其他, 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未 等到服务而离开窗口的次数，试求Y的分布律以及概率。 PY(1), 32a,0xYxY，，，,106(设随机变量Y服从上的均匀分布，，且关于未知量x的方程没有实根[, 5]a4 1a的概率为，试求的值。 4 X7(已知，试求Y的分布律。 XBnpY (,), 1(1),，, 8(设随机变量X的概率密度为 49 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 ,1, 10,，,,,xx , fxxx()1, 01,,,,,,X ,0,.其他, 2 求的分布函数。 YX,，1 9(设随机变量X的分布函数为严格单调增加的连续函数，Y服从[0，1]上的均匀分布，证明随机变Fx()X ,1量的分布函数与X的分布函数相同。 ZFY,()X 210(设X服从区间(0，4)上的均匀分布，随机变量，试求Y的密度函数。 YXX,,,23 50 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布模拟题答案 一(填空题 393311( 2. 1 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 2 x,,,,4864442 11,,yz,,1122eyez,0,,0,,,,,fyfz()(),,10. 22,,YZ ,,0,.0,.其他其他,, 二(选择题 1((C) 2((B) 3((A) 4((C) 5((D) 6((A) 7((A) 8((D) 三(解答题 2x2,,x21(1),0,,，,ex,Fx(),1( 2, ,0,0.x,, ,8 PxFFFe(24)(4)(2)(4)19.,,,,,,,,, 12(YB (4,). 2 3(利用古典概型易得 X 3 4 5 133P 10105 k,137,, 4((1) PXkk,,,？{},1,2,3,.,,1010,, kx,1[][]x373,,,, FxPXx,,,,,()()1,,,,,101010,,,,k,1 (2) X 1 2 3 4 7771P 1030120120 ,0,1,x, ,7,,12,,,x,10 ,28,Fxx(),23,,,, ,30, 119,,34,,,x,120,1,4.x,,, ,,2255( YBppPXePYPYe (5,),(10). (1)1(0)1(1).,,,,,,,,,, 51 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---概率论与数理统计 4111,a6(由方程没有实根得(注意为正数)。 ,,,,,,,,,14,(14),YPYa于是故a543,a 7( Y 0 2 11P nn ,，,，,pp1[1(12)][1(12)] 22 0,1,y,, ,,8( Fyyyy()211, 12,,,,，,,,Y ,1,2.y,,, 9(利用分布函数的定义，反函数的定义以及均匀分布的分布函数即可得证。 1,, 43,,,,,y,44，y, ,1fyy(), 35,,,,,10( ,Y84，y, ,0,.其他, , 52