勾股定理 两点间距离公式

勾股定理 两点间距离 1、直角三角形中，直角边与斜边的关系 定理在直角三角形中，斜边大于直角边( 2、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(即如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2，b2=c2( (1)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2，股2=弦2( (2)勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的研究几何图形的性质提供了新的途径( (3)勾股定理的常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理( (4)勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系(勾股定理的作用是:?已知直角三角形的两边求第三边;?在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系;?用于证明平方关系;?利用勾股定理，作出长为 的线段( 3、勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三条边a，b，c满足a2，b2=c2，那么这个三角形是直角三角形( 勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的又一种方法(这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的(实际上利用计算证明几何问在几何里也是很重要的(这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法(它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”～ 4、两点的距离公式 如果直角坐标平面内有两点，那么 A、B两点的距离 AB=( 二、重点、难点、疑点突破 1、勾股定理与其逆定理 勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，反映了直角三角形(三边分别为a，b，c，其中c为斜边)的三边关系，即c2=a2，b2( 它的变形为c2,a2=b2或c2,b2=a2(运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边( 运用逆定理可识别直角三角形( 2、直角三角形的几个性质 (1)两锐角互余; (2)三边长满足勾股定理; (3)如果有一个锐角等于30?，那么所对的直角边(设此边长为a)等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a; (4)等腰直角三角形(直角边边长为a)三边长的关系为a，a， ; (5)面积等于两直角边乘积的一半，也等于斜边与斜边上的高的积的一半( 3、勾股数组 如果正整数a，b，c满足a2，b2,c2，那么a、b、c叫做勾股数组( 对于m、n都是正整数，且m>n，如果 ，那么a、b、c一定是勾股数组( 显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数(例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，„为勾股数组( 若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷( 4、数形结合思想 数形结合是中学数学中一种重要思想方法，它把代数的精确描述与几何图形的直观结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，也将抽象思维与形象思维有机地结合在一起，实现了数与形的统一(正如华罗庚所说:“数缺形时少直觉，形缺数时难入微(” 例如对于勾股定理的证明，教材中就是以几何直观形式呈现的，清晰易懂(又由下图，我们不难得出下面的结论: 对于正数a，b，c，d，如果a，b=c，d，那么， ( 结合图形，如何证明，同学们不妨一试，亲身 体验数形结合的神奇～ 三、典型例题剖析 1、运用勾股定理求值 例1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是_______cm2( : 把面积问题转化为正方形边长的问题，由勾股定理可导出正方形A，B面积的和为正方形E的面积，正方形C，D面积的和为正方形F的面积，所以正方形A，B，C，D面积的和就是边长为7 cm的正方形的面积，即49 cm2( 小结: 解决本题不是靠机械地运用勾股定理，而是灵活地由勾股定理的验证过程来求解(本题不但考查学生对勾股定理知识的灵活掌握和应用，更强调和突出了考查学生对知识形成过程的理解(即:不但要“知其然”，而且要“知其所以然”( 例2、如图，在?ABC中，?C=90?，AD、BE是中线，BE= ，AD=5，求AB的长( 解: 设CE=x，CD=y，则 AC=2x，BC=2y( 在Rt?ACD和Rt?BCE中，由勾股定理得 在Rt?ABC中，( 点拨:运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解( 2、构造直角三角形解题 例3、如图，已知，?A=60?，?B=?D=90?，AB=2，CD=1(求BC和AD的长( 解: 如图，延长BC，AD交于E( ??B,90?，?A=60?， ??E=30?，?AE=2AB=4( 同理CE=2CD=2( 在Rt?ABE中，BE2=AE2,AB2=16,4=12， ?BE=( 在Rt?CDE中，DE2=CE2,CD2=4,1=3， ?DE=( ?BC=BE,CE=,2，AD=AE,DE=4,( 点拨: 灵活根据图形及条件，构造直角三角形(其实也就是补 图)，创造条件去利用勾股定理解题( 例4、如图，在?ABC中，?BAC=90?，AB=AC，点D、E在 BC上，且?DAE=45?，求证:CD2，BE2=DE2( 解: 如图，将?ABE绕点A逆时针旋转90?得?ACF，则 ?ACF=?B=45?，BE=CF，?BAE=?CAF( ACB=45?，??DCF=90?( 又?? ??EAD=45?，??BAE，?DAC=45?( ??DAF=?CAF，?DAC=45?( 在?AED和?AFD中， ??AED??AFD(SAS)，?ED=FD( 又在Rt?CDF中，CD2，CF2=FD2，?CD2，BE2=DE2. 点拨: 此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中( 3、直角三角形的判定 、?ABC中，a=m2,n2，b=2mn，c=m2，n2，其中m，n是例5 正整数，且m>n，试判断?ABC是否是直角三角形( 分析: 本题中已给出三角形的三边长，判断该三角形是否是直角三角形，只需直接运用勾股定理的逆定理就可以了，但关键是确定最大边( 解: ?m，n是正整数，且m>n，?c>b，c>a， a2，b2=(m2,n2)，(2mn)2=m4,2m2n2，n4，4m2n2=m4，2m2n2，n4( 又?c2=(m2，n2)2=m4，2m2n2，n4， ?a2，b2=c2，??ABC是直角三角形( 小结: 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一，利用它判断一个三角形是否是直角三角形的步骤是: (1)确定最大边(不妨设为c); (2)计算c2与a2，b2的值; (3)比较c2与a2，b2是否相等，若相等，则此三角形是直角三角形，否则，不是直角三角形( 例6、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证:EF?CE( 分析:要证明EF?CE只要证明?CEF为直角三角形即可( 证明: 连结FC，设正方形边长为a，则 ?AEF中， 在Rt 在Rt?BCE中， 在Rt?CDF中， 即EF2，EC2=FC2( ??CEF为直角三角形，且CF为斜边(?EF?CE( 点拨: 这里先运用勾股定理计算出?CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法( 4、运用面积法解题 例7、如图，Rt?ABC的两直角边AB=4，AC=3，?ABC内有一点P，PD?BC于D，PE?AC于E，PF?AB于F，且 (求PD、PE、PF的长( 解: 在Rt?ABC中， ?AB=4，AC=3，?BC==5( 设PF=x，PE=y，PD=z，则 (? 连结PA、PB、PC( ?S?PAB，S?PBC，S?PAC=S?ABC， ?AB?x，BC?z，AC?y=AB?AC， 即4x，3y，5z=12( ? ?，?，得4x，3y，5z，=24， 配方，得 ?PD=PE=PF=1( 点拨: 本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解( 5、构造几何图形解答代数问题 例8、设a、b、c、d都是正数，求证: (分析:题中出现线段的平方和，考虑构造Rt?，利用勾股定 理证明( 证明:构造一个边长分别为(a，b)、(c，d)的矩形ABCD(如 图)( 在Rt?ABE中， ( 在Rt?BCF中， ( 在Rt?DEF中， ( 在?BEF中，BE，EF>BF，即 点拨: 勾股定理将直角三角形的位置关系(两边垂直)转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题( 6、勾股定理的应用 例9、在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高? 分析: 如图所示，一只猴子经过的路径B?C?A，共走了10，20=30(m)，另一只猴子经过的路径是B?D?A，也走了30 m，且树垂直于地面，于是此问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解决( 解: 如图所示，设BD=x， 则CD=BD，BC=x，10( ?BC，CA=BD，DA=30，?AD=30,BD=30,x( 在Rt?ADC中，AD2=CD2，AC2， ?(30,x)2=(x，10)2，202，解得x=5( ?CD=x，10=15(m)( 答:这棵树高15 m( 小结:此题的关键是正确地画出图形，运用勾股定理及方程的思想解决问题( 例10、如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且?QPN=30?，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长? 分析: 学校A到公路MN的距离AB=PA=80(米)，因为80<100，所以学校会受到噪声的影响(要求受影响的时间，就需求出受影响时拖拉机行驶的路程，因此，在MN上找到两点C，D，使AC=AD=100米，那么CD间的距离就是受影响时拖拉机行驶的路程，由勾股定理及等腰三角形的性质，可求出C，D之间的距离( 解: 过A点作AB?MN，垂足为B， ??QPN=30?，?AB=AP=×160=80(米)( ?80<100，?学校会受到噪声的影响( 在MN上找两点C，D，使AC=AD=100(米)( 这说明拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到C处时，学校开始受到噪声的影响，当行驶到D处时，学校开始脱离噪声的影响( 由勾股定理，得BC2=AC2,AB2=1002,802=3600(米2)，?BC=60米( ?CD=2BC=2×60=120米( ?学校受到噪声影响的时间为120?1000?18=(时)=24(秒)( 小结: 解几何类应用题的关键，是将实际问题转化为几何问题，利用数形结合的思想方法进行求解(