向量的平行与垂直
江苏省清江中学高三数学复习资料 编制人:尚月如 做题人:顾卫红 张勇 审核人:尚月如顾卫红张勇
向量的平行与垂直
一、基础知识回顾:
1(平行向量定义:?方向 或 的非零向量叫平行向量,向量、平行,记作?;bbaa?规定:与任一向量 ; ?共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.0 ,,,,2. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件:有且只有一个实数λ,使=λ.bbaa(等价于:存在两个不同为零的实数、,使得 ,a,,b,0).,1,212
ababab3. 非零向量和的数量积的定义:?= (向量和的夹角为)
4. 非零向量a和b垂直的定义:如果两个非零向量a和b ,则说a和b垂直,记作a?b
a,b,5.非零向量垂直的充要条件:符号语言:
,,a,b,坐标语言:设=(x,y), =(x,y),则 ab1122
,,,,0a//b,6. 向量共线的充要条件:符号语言:b=λ(,) aa,,R
,,a//b,坐标语言:设=(x,y), =(x,y),则 ab1122
二、基础训练
1(与向量垂直的单位向量是_________ _____. a,(3,,4)
2(与向量平行的单位向量是_______ _______. a,(3,,4)
3(若三点e,e是两个不共线的向量,已知AB,2e,ke,CB,e,3e,CD,2e,e,若A,B,D12121212共线,则k=______________.
xy114(若 ( ) a,(x,y),b,(x,y),则,是a//b的1122xy22
A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
三、典型例题
vab,,2uv//例1(已知向量,,且,求实数x的值。abxuab,,,,(1,2),(,1),2
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,,,,,,,,a,(1,0),b,(2,1).|a,3b|a,例2(已知 (1)求; (2)当为何实数时,与ba,3bkk
,,,,a,平行, 平行时它们是同向还是反向,. (3)当为何实数时,与垂直,.ba,3bkk
OP,OA,t,AB例3(已知点及,试问: O(0,0),A(1,2),B(4,5)
PPPy(1)当t为何值时,在轴上? 在轴上? 在第三象限? x
(2)O、A、B、P四点能否构成平行四边形?若能,则求出t的值.若不能,说明理由.
,,,b例4.已知平面上三个向量、、的模均为1,它们相互之间的夹角均为120?, ac,,,,,,(k,R)(1)求证:?;(2)若,求的取值范围. (a,b)|ka,b,c|,1ck
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四、课后作业 班级 姓名
( )1(如果互相垂直,则实数x等于 a,(2x,2,,3)与b,(x,1,x,4)
17177 A( B( C(或 D(或,2 22222
( )2(三点A(x,y),B(x,y),C(x,y)共线的充要条件是 112233
A(xy,xy=0 B(xy,xy=0 12211331
C( D((x,x)(y,y),(x,x)(y,y)(x,x)(x,x),(y,y)(y,y)2131312121312131
( )3(已知 a//b且|a|,1,|b|,2,则a,b为
B(,2 C(?2 D(?3 A(2
( )4(非零向量a、的位置关系是 b满足|a|,|b|,且a不平行于b,则向量a,b与a,b
A(平行 B(垂直 C(共线且同向 D(共线且反向 ( )5(下列命题中正确的是
a,b,0,则a或b,0a,b,0,则a//b A(若 B(若
2C(若 D(若 a,b,则a,b,(a,b)a,b共线,则a,b,|a||b|
,
( )6.向量AB,(3,4)按向量a=(1,2)平移后为
A、(4,6) B、(2,2) C、(3,4) D、(3,8) ( )7(下面四个条件:
? ?a,b,3e且a,b,5ea,,b且,唯一(,,R且b,0)
? xa,xb,0(x,x,R)?xa,yb,0(x,y,R且x,y,0)1212
a与b其中能使共线的是 A(?? B(?? C(?? D(??
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江苏省清江中学高三数学复习资料 编制人:尚月如 做题人:顾卫红 张勇 审核人:尚月如顾卫红张勇 ( )8. 在?ABC中,?C=90?,则k的值是 AB,(k,1),AC,(2,3),
A(1.5 B(,1.5 C(5 D( ,5 9(已知a,(x,7),b,(4,x,3),当x,______时,a,b;当x,_______时,a//b.
31a//b10.设,且有,则锐角 。 ,,a,(,sin,),b,(cos,,)23
11(已知平行四边形ABCD的三个顶点为A(,1,,2),B(3,,1),C(5,6),则顶点D的坐标
____. 为__
12(给出下列命题:
(1)如果 (2)如果,a,,b(,,0,,,R)那么a,b;a,c,b,c(c,0),那么a,b;
a,b,0,那么a,b; (3)如果方向相反; (4)如果a,b,,|a|,|b|,0,那么a与b
a,b,0,那么a与b (5)如果的夹角为钝角.
其中假命题是____________(将假命题的序号都填上)
13(已知在梯形ABCD中,AB//CD,A(1,1),B(3,,2),C(,3,,7),若AD//(BD,2AB),求D点坐标.
14(已知平面内三个点A(1,7),B(0,0),C(8,3),D为线段BC上一点,且
点坐标. (BA,CA,DA),BC,求D
B组
,kZ( )1.已知,,若,则?ABC是直角三角AB,10ABkAC,,(,1),(2,4)
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1234形的概率是 A( B( C( D( 7777
P2.有两个向量e,(1,0),e,(0,1),今有动点,从开始沿着与向量ee,相同的方P(1,2),12120
向作匀速直线运动,速度为||ee,;另一动点,从开始沿着与向量32ee,相Q(2,1),,Q12120
P同的方向作匀速直线运动,速度为|32|ee,(设、在时刻秒时分别在、处,t,0PQQ1200
PQPQ,时, 秒( 则当t,00
( )3.已知O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),是P线段AB上且 APABOAOP=t (0?t?1)则? 的最大值为
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