南通大学附属中学高二数学期中试卷

南通大学附属中学高二数学期中试卷 南通大学附属中学2013—2014学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 注意事项:本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟( 一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分(请把答案填写在答卷纸的相应位置上( ((((((((( 1(抛物线y ,x的准线方程为. 答案:x 21 4 2(若函数f(x) x, 答案:0 1，则f (1) ? . x 3(已知双曲线的方程为x,15y 15，则该双曲线的焦点坐标为. 答案:( 4,0) 4(已知物体运动方程为s 答案:8 2214t,3，则t 2时的瞬时速度是 4 x2y2 , 1上一点到左准线的距离为5，则它到右焦点的距离为 ? . 5(已知椭圆259 答案:6 x6(曲线y e在x 0处的切线方程为. 答案:x,y,1 0 x2 ,y2 1的两个焦点，P为双曲线上一点，且满足 F1PF2=900， 7(已知F1,F2是双曲线4 则 F1PF2的面积为 答案:1 8(函数y 1x+cosx,x (0, )的极大值为. 2 答案: , 212 x2y2 9(已知A,B,F分别是椭圆2,2 1(a b 0)的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于ab 点M，若直线MB//x轴，则该椭圆的离心率是 ? . 1 第 1 页 共 6 页 10(若函数f(x) ax3,x,3恰有3个单调区间，则a的取值范围是. 答案:(, ,0) x2y2 ,2 1，左右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆上一点，且 F1AF2不可能11(已知椭圆方程为25b 为直角，则正数b的取值范围是 ? . 答案: 2 12(设函数f(x) 答案: 1,2 12x,9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是. (a,1,a,1)2 x2y2 (a b 0)的右焦点为F(3,0)13(已知椭圆E:2,2 1，过点F的直线交椭圆于A、 B两点.ab 若AB的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为 ? . x2y2 , 1 答案:189 x2n1x2x314(已知n?N，设函数fn(x),1,x，，x?R，对于任意n?N*，关于x 的方程 232n,1,* fn(x),0在区间[t+1，t，2]上有唯一实数解，则整数t=答案:0 二、解答题:本大题共6小题，共计90分(请把答案写在答题卡相应的位置上(解答时应写出文字 说明，证明过程或演算步骤( 15. (本题满分14分) 1x2y2 (1)若双曲线2,2 1的渐近线方程为y x，求该双曲线的离心率的值. 2ab (2)设P是抛物线x 2y上一点，若P点到抛物线准线的距离为217，求P点的坐标. 2 b1c2a2,b2b2152 1, 1, e 解:(1)由题意 ，所以e 2 ， 所以 a2aa2a244(2)抛物线准线方程为y , 21117，设P点的坐标为,x0,y0,，则y0,(,) ，解得y0 8，222代入抛物线方程:x0 16，解得x0 4，所以P点的坐标为(,4,8)或(4,8). 第 2 页 共 6 页 2 16. (本题满分14分) 已知函数f,x, x3,ax2(其中a是实数)，且f ,1, 2. (1)求a的值及曲线y f,x,在点,1,f,1,,处的切线方程; (2)求f,x,的单调区间. 解:(1)f′(x),3x2-2ax，由f′(1),3-2a=2得a=11213.所以f,x, x,x，f(1) . 222 13 2(x,1)，即2x,y, 0. 22所以曲线y f,x,在点,1,f,1,,处的切线方程为y, (2)令f′(x),3x2-x>0，解得x 0或x 11;令f′(x),3x2-x<0，解得0 x . 33所以f,x,的单调增区间为,, ,0,和 ,, ;单调减区间为 0, . 17((本题满分14分) 已知f(x),xln x，g(x),,x2，ax,3. (1)求函数f(x)的极值; (2)对一切x?(0，，?)，2f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围; 解:(1)f′(x),ln x，1，令f′(x),0解得x 1 3 1 3 1. e 110，，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x? ，，? ，f′(x)>0，f(x)单调递增( 当x? e e 所以f(x)在x 11处取极小值,. ee 3(2)2xln x?,x2，ax,3，则a?2ln x，x， x ,x，3,,x,1,3设h(x),2ln x，xx>0)，则h′(x), xxx?(0,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减，x?[1，，?)，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)min,h(1),4.因为对一切x?(0，，?)，2f(x)?g(x)恒成立，所以a?h(x)min,4. 18((本题满分16分) x2y2 已知椭圆C:2,2 1,a b 0,的左、右焦点为F1,F2，离心率为e，直线l:y ex,a与ab 椭圆C有公共点为M. (1)求点M的坐标(用字母a，b，c示); (2)设直线l与x轴、y轴分别交于A,B，且AM AB，证明: 1,e; 第 3 页 共 6 页 3 2 (3)若 3， MF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程. 4 x2y2 1 ,解:(1)联立方程组 a2b2，消元得b2x2,a2(ex,a)2,a2b2 0， y ex,a b2b2 化简得x,2cx,c 0,解得x ,c，代入y ex,a得y ，所以M ,c,aa 22 . (2) 直线l:y ex,a中令y 0解得x ,aa，即A(,,0)，令x 0解得y a，即B(0,a). ee ab2ab2b2a2,c2 2 1,e a，所以 2 由AM AB得(,c,,) (,a)，得. 2eaeaaa (3)若 31c132，则1,e ，解得e (负值舍去)，即 ， 42a24 又 MF1F2的周长为2a,2c 6，所以a 2,c 1， 22xy, 1. 所以椭圆C的方程为43 19((本题满分16分) 如图，已知椭圆的两个焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为2P是椭圆上一点，2 且在第一象限 2PF2,x2 PF2,(,x0，,2,y0)，所以PF1?0,(2,y0),1. 24,y24,y2x2y0022又点P(x0，y0)在椭圆上，则,1，所以x0,,(2,y0),1， 2422 解得y0,2或y02(舍去)，则点P的坐标为(1， 2)( 第 4 页 共 6 页 4 (3)证明:由(1)知PF1?x轴，所以直线PA、PB的斜率互为相反数(设直线PB的斜率 为k，不妨令k>0，则直线PB的方程为y,2,k(x,1)， y2,k,x,1,， 由 x2y2 得(2，k2)x2，2k(2,k)x，2,k)2,4,0. 241， 设B(x,2,k,2,4k2,22k,2k2，2k,2 B，yB)，则xB,2，k2，k，同理可得xA,2，k所以x2k8k A,xB,2，k，yA,yB,,k(xA,1),k(xB,1),2，k所以直线AB的斜率kyA,yB AB,xx,2为定值( A,B 20. (本题满分16分) 已知函数f(x) x3,ax2,bx,c的图象经过坐标原点，且在x 1处取得极大值( (1)求实数a的取值范围; )若方程f(x) ,(2a,3)2 (29恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式; (3)对于(II)中的函数f(x)，对任意 、 R，求证:|f(2sin ),f(2sin )| 81( 解: (I)f(0) 0 c 0,f (x) 3x2,2ax,b,f (1) 0 b ,2a,3 f (x) 3x2,2ax,(2a,3) (x,1)(3x,2a,3), 由f (x) 0 x 1或x ,2a,3 3，因为当x 1时取得极大值， 所以,2a,3 3 1 a ,3，所以a的取值范围是:(, ,,3); (II)由下表: 依题意得:a,6 27(2a,3) ,(2a,3)2 9，解得:a ,9 所以函数f(x)的解析式是:f(x) x3,9x2,15x . (III)对任意的实数 , 都有,2 2sin 2,,2 2sin 2, 在区间[-2，2]有:f(,2) ,8,36,30 ,74,f(1) 7,f(2) 8,36,30 2 f(x)的最大值是f(1) 7,f(x)的最小值是f(,2) ,8,36,30 ,74 函数f(x)在区间[,2,2]上的最大值与最小值的差等于81，所以|f(2sin ),f(2sin )| 81( 第 5 页 共 6 页 5 第 6 页 共 6 页6