与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法

与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干 ????? 一元二次方程是初中教材的重点，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上， 注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。 一、换元 2 例1 方程x-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( ) A、-2 B、0 C、2 D、4 (93年“希望杯”竞赛题) 2解：原方程为(x-1)-5|x-1|+6=0 2 即|x-1|-5|x-1|+6=0 令|x-1|=A，则方程变为 2 A-5A+6=0 ?A=2，A=3 12 由|x-1|=2，得x=3，x=-1； 12 由|x-1|=3，得x=4，x=-2。 34 x+x+x+x=4 1234 故选D。 二、降次 24 例2 已知α、β是方程x-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a+3β的值。 (96年江苏省竞赛题) 2解：?α是方程x-x-1=0的根， 22 ?α-α-1=0，α=α+1(二次转化为1次) 422 α=(α+1)=α+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次) 4 ?α+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5 三、整体代入 2 例3 设二次方程ax+bx+c=0的两根为x、x，记S=x+1993x，S=x+1993x，…，121122 Sn=x+1993x，则aS+bS+cS= 。(93年希望杯竞赛试题) 199319921991 2 解：?x、x是方程ax+bx+c=0的两根， 12 ?ax+bx+c=0，ax+bx+c=0。 12 aS+bS+cS=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x199319921991 +1993x)=(ax+bx+cx)+(a?1993x+b?1993x+c?1993x)= x(ax +bx+c)+1993x(ax+bx+c)=0。 12 四、配偶 22 例4 已知α、β是方程x-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β 的值。 (第八届“祖冲之”杯竞赛试题) 222+β=(α+β)-2αβ=49-16=33， 解：由韦达定理，得 22 (α-β)=(α+β)-4αβ=49-32=17 α+β=7，αβ=8 ?α ?α＞β，?α-β= 2 设A=+3β， 2 B=+3α(A的配偶) 22 则A+B=+3(α+β)=+3×33= 22 A-B=-+3β-3α =-3(α+β)(α-β) = ?2A= A= 五、反客为主 例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。 (98年香港竞赛试题) 解：设方程两整数根为α、β，则α+β=a。 由此可知a必为整数 2 将方程x-ax+4a=0中的x视为常数，a视为未知数，方程可变为 2 (x-4)a=x ?a==x+4+ ?a为正整数 ?x=5, 6, 8, 12, 20。 此时对应的a值为a=25, 18, 16, 18, 25。 ?所有正实数a的值为25，18，16。 六、构造新方程 例6 已知两数a、b，ab?1，且 2a2+1234567890a+3=0(1) 2 3b+1234567890b+2=0(2) 则= 。 (91年“希望杯”竞赛试题) 2解：显然b=0不是方程(2)的解，方程(2)两边同除以b，得 2+1234567890×+3=0 3+1234567890×+=0 2 考虑方程2x+1234567890x+3=0中， 2 ?=1234567890-24＞0 即2() ?方程有两个不相等的实数根 而ab?1，即a? 2 ?a、是方程2x+1234567890x+3=0的两个根。 ?a?=，即= 七、反证法 例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程 2 ax+2bx+c=0 2 bx+2cx+a=0 2 cx+2ax+b=0 不可能都有两个相等的实数根。 (97年山东省数学竞赛试题) 证明：若三个方程都有两个相等的实数根， 则 三式相加，得 4(a222+b+c)-4(ab+bc+ca)=0， 222 a+b+c-ab-bc-ca=0， 222 2a+2b+2c-2ab-2bc-2ca=0， 222 (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 ?a=b=c 这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。 故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。 八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解 2 例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。 (98年江苏省竞赛试题) 解：当k=0时，原方程化为x-1=0，x=1，符合题意。 当k?0时，设原方程的两个整数根为α、β，不妨设α?β。由韦达定理，得 α+β=-=-1-，(1) αβ==1-。(2) (2)-(1)，得αβ-α-β=2 ?αβ-α-β+1=3，(α-1)(β-1)=3 ?α、β是整数，?α-1、β-1也是整数，又α?β， ? ? 于是α+β=6或α+β=-2 分别代入(1)，得k=-或k=1 ?当k=0，-，1时，原方程的根都是整数。 九、整体变形 例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程 2+ x 2 x+ 2 x+ 2 x+ 中，至少有两个方程有不相等的实数根。 (92年“希望杯”竞赛试题) 证明：设这四个方程的判别式分别为?、?、?、?，则 1234 ?=2a+b-2 (1) 1 ?=2b+c-2 (2) 2 ?=2c+d-2 (3) 3 ?=2d+a-2(4) 4 22 ??+?=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()+()+a+b＞0 (5) 13 22 ?+?=(b+c-2)+(d+a-2) +b+d=()+()+b+d＞0 (6) 24 若??0，??0，则?+??0，与(5)矛盾。故?、?中至少有一个大于0。 131313 同理，?、?中也至少有一个大于0。 24 ?所给的四个方程中，至少有两个方程有不相等的实数根 十、分类讨论 例10 已知三个关于x的方程： 2 x-x+m=0(1) 2 (m-1)x+2x+1=0(2) 2+2x-1=0(3) 其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是( ) (m-2)x A、m?2 B、m?或1?m?2 C、m?1 D、?m?1 (98年山东省竞赛试题) 解：(1)有实根的条件是1-4m?0，m?，无实根的条件是m＞。 (2)有实根的条件是m-1=0或，即m=1或m?2且m?1，无实根的条件是m＞2。 (3)有实根的条件是m-2=0或，即m=2或m?1且m?2，无实根的条件是m＜1。 ?若(1)(2)有实根，(3)无实根，则 ，解得m?。 ?若(1)(3)有实根，(2)无实根，则 ，不等式组无解。 ?若(2)(3)有实根，(1)无实根，则 ，解得1?m?2。 ?若(1)(2)(3)均有实根，则 ，不等式组无解。 ?当m?或1?m?2时，至少有两个方程有实根。 故应选B。 十一、数形结合 一元二次方程问题常与对应的二次的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。 2 例11 是否存在这样的实数k，使得二次方程x+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k的取值范围；若没有，简述理由。 (2000年数学奥林匹克训练题) 2 解：设f(x)=x+(2k-1)x-(3k+2)，则其图象为开口向上的抛物线。根据题意若方程有 两个实数根，且两根都在2与4之间，则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点，且交点都 在2与4之间(如图)。符合条件的k值应满足下列条件： (1)即4(k+1)2+5?0，k可取任何实数。 (2)的解是k＞0。 (3)的解是k＞-2。 (4)的解是-＜k＜-。 ?这个不等式组无解。 故符合条件的k值不存在。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。