谈单位向量

谈单位向量 谈单位向量 2010年第4期中学数学研究35 谈单位向量 北京西城区新国入学校(100034)蒋世信 模为1的向量称为单位向量,通常用示. 因方向不同,单位向量有无穷多个但它们的长度均 为1;向量?)的单位向量是,因为它的 l口l 所以单位向量是唯一的.对 方向与向量相同, laI 于单位向量,它的一些性质是应该知晓的,这有利 于解题.比如: 1.单位向量e的坐标可以表示为(cosO, sin0)(0?R); 2.两个单位向量P,P和(或差)的模的取值 范围是0?Iel?e2l?2; 3.两个单位向量e.,e的数量积是它们夹角的 — 余弦值且I= a .=c.s; lIIl 4.不共线的两个单位向量e,e2的和向量e+ e,在它们夹角的平分线上; 5.不共线的两个单位向量P.,:的和向量与差 向量互相垂直,显然(e.+e2)?(e一e2)=0,且向 量e+e2和el—e2分别是以P,e2为邻边的菱形的 两条对角线. 请看如下例题. 例1已知向量,OB的模ll=lOBl=1. (1)若l+OBl=1则LAOB=(). (2)若lOA—OBl=1则~AOB=(). 分析:依向量和(差)的平行四边形法则及菱形 的有关性质可知:(1)~AOB=2zr/3.(2)LAOB= 霄. 例2(O8年浙江卷(理)第9题)已知a,b是 平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a 一 )?(6—)=0,则lcI的最大值是(). A.1;B.2;C.;D.2. 分析:如图,设oa=a,OB=b,CA=a—,CB ———— '——'——_+———}——? = b—C,因为(a—c)?(b—C)=CA?CB=0,所 以点c落在以AB为直径的圆上.显然点c在AB的 中点M处,lCl最大为?2.选c. 例3(03年全国新课程卷 (理)第4题)0是平面上的 一 定点,A,,C是平面上不共 线的三个点,动点P满足,OP :+Af+1, A?(0,+?),则P的轨迹一定通过?ABC的 (). A?外;B心;旦重心;D?垂心? 分析:因为而AB+为的平分线,则 P的轨迹一定通过AABC的内心.选B. 例4(06年陕西卷(理)第9题)已知非零向 量与满足(AB+A… C).B—C=0且 += 吉测c为(). A.等边三角形;B.直角三角形; C.等腰非等边三角形; D.三边均不相等的三角形. 分析:因刀~AB+AC为厶4的平分线 ,而 f??+l_1.B—C:0,可知/A的平分线垂直\lABllCI,.''一… 底边BC,由等腰三角形"三线合一"的充要条件得 到日c是等腰三角形;又AB+=吉, . ? . cosA=1/2,则A=zr/3.故ABC是等边三角形, 选A. 例S(05年天津卷(理)第l4题)在直角坐标 系xoy中,已知点A(O,1)和点B(一3,4),若点C在 LAOB的平分线上,且Il:2,则:—— . 分析:因为点C在/_AOB的平分线上,其方向 向且为.-(0,1)+= (0,1)+(一3/5,4/5)=(一3/5,9/5).该方向向量 的单位向量为—二二二?(一3/5,9/5) ~/(一3/5)+(9/5) 36中学数学研究2010年第4期 : (一10,3_/1o).又II:2,故= 2?(一J~/lo,3A-6/lO)=(一Ji-6/5,3~T6/5). t~116(o6重庆(理)第7题)-bn:(7/2, 1/2):(1/2,一7/2)的夹角相等,且模为1的向 量是(). A.(,一); B.(4,一三5)或(一54,); c(,一 o.(,一3(一, 分析:因为与向:(7/2,1/2):(1/2,一 7/2)的夹角相等的向量在该夹角的平分线或其反 向延长线上,显然该夹角平分线的方向向量为: +[(7/2,1/2IIbI)+I 口,了 1/2,一7/2)]=5?(4,一3)=4~(4/5, ( 一 3/5).又,其模为1,故满足条件的向量为(4/5, 一 3/5)或(一4/5,3/5).选B. 例7(O9安徽(理)第14题)给定两个长度为 1的平面向量和,它们的夹角为120~,如图所 示,点c在以0为圆心的AB圆弧上变动,若: 0+yOB,其中,Y?R,则+Y的最大值是 y D 分析:如图建立直角坐标系,设/_AOC=0,已 知II:l商I:1,ZAOB:120.,则(1,0), B(一i/2,d3/2),c(cos0,sin0).'.'OC=OA+Y一————一—-??_. O—B= (,0)+(,2,,[3y/2):(cos0,sin), . 『一y/2=cos0,. . 12:in0…, 贝0+Y=4%ino+cos0=2sin(0+30.).?.'0.? 0?120.'...当0=60.时,+y有最大值2. 例8已知正四面体ABCD中,E,F分别是棱 AD,BC的中点,连AF,CE,求异面直线AF与CE的 距离. 分析:对于异面直线的距 离,教学要求不高.但是利用 空间单位向量的概念,还是较 容易将它求出的.如图1,设异 面直线MA与NB的距离为 IMNI,为Me的单位向量, 则IMNI=lMN?l=I(MA———_+————_ lA—B.el , 显然,由.0 【?^=0 设正四面体是由连接正 方体的四个顶点A,B,C,D所 构成,如图2建立直角坐标 系,设正方体棱长为2,则 (0,0,0),(2,0,2),C(2, 2,0),o(o,2,2),AD中点E 的坐标(0,1,1),BC中点,的 坐标(2,1,1),A—F:(2, 1,1),C—E:( ———— _+ EF=(2,0,0).又设=(,Y,z),..' ,1), =0 , =0 . f(,Y,)?(2,l,1)=0 【(,Y,)?(一2,一1,1)=0 . . . f2+Y+,,...{-I1....:1, 【一2x一),+=0【,,=一2x . ? . 令=1/,则=(1/,一2,0),则d= JE,?PJ=J(2,2,0)?(1/?s,一2/?s,0)J= I一2/l:2/5.[亦或d=IAC?l=l(2,2, 0)?(1/,一2/,0)I=I,2/I=2/5.请 同学们想一想,这是为什么?] 注:遇到正四面体要想到与正方体联系,借助 正方体有可能较迅速地将正四面体的有关问题解 决.如本题可以较快地求出点A,B,c,D,E,F的坐 标;又如2003年全国旧课程文,理试卷第12题:一 个四面体的所有棱长都是?2,四个顶点在同一个球 面上,则此球的表面积为(). A.3,r;B.47r;C.3?27r;D.67r. 显然,棱长为的正四面体内嵌于棱长为1的 正方体中,它们内接于同一个球其直径为正方体对 角线的长.故选A. 1.. 一 一商