与费马点有关的两个问题

与费马点有关的两个问题 浙江省永康市芝英中学 陈俊杰 【摘要】本文先简要介绍大家所熟知的费马点的有关背景、做法和性质，然后给出与费马点有关的两个问题的解答 【关键字】费马点，最小值，坐标，公式，几何做法 一、费马问题 1640年，法国著名数学家费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小(人们称这个点为“费马点” 后来数学上费马点的定义:在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点 三角形中的费马点的存在性和可以见诸多文献，如文[1]、[2]，下面介绍平面三角形中找出费马点的几何方法 (1)三内角皆小于120?的三角形，分别以为边，向三角形外侧做正三AB,BC,CA ,,,,,,角形,然后连接，则三线交于一点P,则点P就是所ABC,ABC,ABCAA,BB,CC ,,,求的费马点;或者是做出三角形的外接圆，易知三个外接圆交ABC,ABC,ABC ,于一点P,则点P就是所求费马点。(且有性质)，APC,，APB,，BPC,120 (2)若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求费马点 二、最值与坐标 本文只对三内角皆小于120?的三角形的情况进行讨论 【问题1】已知a,b,c为三内角所对应的,ABCAB’C' 三边长，为的费马点，设P,ABC P C B，求的值PA,x,PB,y,PC,zx，y，z,x,y,z A' 解:因为为的费马点，故有 P,ABC ,，所以有 ，APC,，APB,，BPC,120 1,S,S，S，S,sin120(xy，yz，xz),ABC,APC,APB,BPC2 4即 (1)xy，yz，xz,3S,ABC3 222,,x，y,c,2xycos120在中，根据余弦定理有， APC 222x，y，xy,c即 (2) 222y，z，yz,a同理有 (3) 222 (4)x，z，xz,b 2222222(x，y，z),a，b，c,(xy，yz，xz)(2)+(3)+(4)有 (5) 2222(x，y，z),x，y，z，2(xy，yz，xz)所以 222a，b，c3,，(xy，yz，xz) (6)22 a，b，cL,x，y，z,s,记 2 根据海伦公式有 (7)S,s(s,a)(s,b)(s,c),ABC 由(1)(6)(7)式可得 222a，b，c2L,，23s(s,a)(s,b)(s,c) 2 222a，b，c故 L,x，y，z,，23s(s,a)(s,b)(s,c)2 2222,b,c,z，xz,y,xy,(x，y，z)(z,y)(4)(2)式有 (8) 2222,a,b,y，yz,x,xz,(x，y，z)(y,x)(3)(4)式有 (9) 2222,c,a,x，xy,z,yz,(x，y，z)(x,z)(2)(3)式有 (10) 22bc,zy由(8)可得，代入，可得 ,,L,x，y，z2L 22ba，xzL，2,， (11)L 把及(11)式代入(10)式可得 L,x，y，z 2222Lbc2a，，,x, 3L 2222Lac2b，，,y,同理可得 3L 2222Lba2c，，,z, 3L PA(x,y),B(x,y),C(x,y)【问题2】已知三角形，，若为,ABCABC112233 P的费马点，求点的坐标(x,y) AB'C' O2O3 解:显然中最多只有一条直线没有PA,PB,PC P C斜率，因此分二种情况讨论B O1 A' 1、若都有斜率，则 PA,PB,PC k,k,PAPC (1) tan120,1，kkPCPA k,k,PCPB (2) tan120,1，kkPCPB k,k,PBPA (3)tan120,1，kkPBPA y,yy,yy,yy,y3311由(1)可得 ,,,3,3x,xx,xx,xx,x1331 223x，3y，(y,y,3x,3x)x，(x,x,3y,3y)y，化简得31131313 (4)xy,xy，3xx，3yy,031131313 22同理得3x，3y，(y,y,3x,3x)x，(x,x,3y,3y)y，23233223 (5)xy,xy，3xx，3yy,023322323 22 3x，3y，(y,y,3x,3x)x，(x,x,3y,3y)y，12122112 (6)xy,xy，3xx，3yy,012211212 ,,,O,O,O易知(4)(5)(6)分别为正三角形的外接圆的方程,则ABC,ABC,ABC213 P(4)-(5),(5)-(6),(4)-(6)可得直线的方程，因为是PC，PB,PAPC，PB,PA 的公共交点，故是直线(或，或)的方程构成的P(x,y)PB,PAPC，PBPC，PA方程组的解，即满足方程 P(x,y) ,yyyxxxxxxyyy(2,,,3，3)，(，,2,3，3)，3121212312, xyxyxyxyxxyyxxyy，,,，3(，,,),0,3132132313132323 ,yyyxxxxxxyyy(2,,，3,3)，(，,2,3，3)，,2131313231 ,xyxyxyxyxxyyxxyy，,,，3(，,,),02321321223231212, 因为此方程组的解表达式很繁，故只给出上式，没有具体的给出这组解。 PA2、若有其中一条没有斜率，不妨设直线没有斜率 PA因此垂直于轴，且容易求得的方程分别为 xPB,PC 33y,y,,(x,x)y,y,,(x,x) ， 332233 ,3(，)，3(,)xxyy,33232,x,,,(,),yyxx,33,,233联立得，解得,,33(x,x)，3(y，y),,3232yyxx,,,(,),y21,,3,6, 3()3()x，x，y,y3232即当，且三角形三内角皆小于120?的情况下，x,123 3()3()3()3()x，x，y,yx,x，y，y32323232费马点才为(，)P(x,y)623 参考文献: [1]王申怀，利用导数求费马问题的解，数学通报，1995年11期