韦达定理

韦达定理 www.czsx.com.cn 专题七 韦达定理 12 例1 已知关于x的二次方程2x+ax-2a+1=0的两个实根的平方和为7,求a的值. 4 解析 设方程的两实根为x,x,根据韦达定理,有 12 a,xx，,,,12,,2 ,,，21a,xx,.12,,2 222于是,x=(x+x)-2x?x xx，1212 12 ,，21aa2 =(-)-2? 22 12 =(a+8a-4) 4 112依题设,得(a+8a-4)=7. 44 解得a=-11或3. 注意到x,x•为方程的两个实数根, 122则??0,但a=-11时,?=(-11)+16×(-11)-8=-63<0; 2a=3时,?=3-4×2×(-6+1)=49>0, 故a=3. 点评 韦达定理应用的前提是方程有解,即判别式??0,本题容易忽视的就是求出a的值后,没有考虑a的值满足??0这一前提条件. 2 例2 已知关于x的方程x+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,•方程的两个根一个大于0, 另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,•方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 解析 (1)据题意知,m应当满足条件 2,,,,，,44(2)0,mm? ,xxm,，,20.? ,12 (1)(1)0,mm,，,, 即 ,m,,2., 由?,得m>2或m<-1, ?m<-2. - 1 - www.czsx.com.cn (2)m应当满足的条件是 2,,,,，,44(2)0,mm , xxm，,,,20, ,12 ,xxm,，,20.12, mm,,,21,或, , 即 m,0,, ,m,,2., ?-2b>c,2b=a+c,b为正整数,若a+b+c=84,求b 的值. 解析 依题设,有 a+c=2b, ? 222 a+b+c=84. ? 22 ?可变为(a+c)-2ac=84-b, ? 2584b, ?代入?,得 ac=, ? 2 2584b,2?a、c是关于x的一元二次方程x-2bx+=0的两个不相等的正实数根. 2 - 2 - www.czsx.com.cn 2,584b,2,,,，,440,b,,2 ,2584b,,,0.,,2 2 即160,x>0,则 12 ,,,(1)0,m,xx，,0,,,12 即 ,,12xx,0.m,0.12,,,4 1?m<1且m?0,此时,m?且m?0; 2 ?若x<0,x<0则有 12 ,,,(1)0,m,xx，,0,,,12 即 ,,12xx,0.m,0.12,,,4 1 而m?时方程才有实数根, 2 ? 此种情况不可能. 1 综上所述,当m的取值范围为m?且m?0时,方程的两实根同号. 2 点评 存在性问题的探索一般是先假设存在,然后据已知和相关知识进行推理,若推理的结论 与题设或概念、定理、事实等相矛盾,则假设不成立,从而不存在,•反之则存在. 例6 (1998年江苏初中数学竞赛题)求满足如下条件的所有k值:使关于x•的方程 2kx+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数. 解析 (1)当k=0时,方程为x-1=0,有整数根1; (2)当k?0时,所给方程是一元二次方程,设该方程两整数根为x,x,则 12 k，11,xx，,,,,,1,12? ,,kk , k,11,xx,,,1.? 12,kk, 由?-?,得x+x-x?x=-2, 1212 即(x-1)(x-1)=3. 12 ?x,x为整数, 12 - 4 - www.czsx.com.cn x,,13,x,,11,x,,,11,x,,,13,,,,,1111 ?或或或 ,,,,x,,13,x,,,13,x,,,11.x,,11,2222,,,, x,,2,x,2,x,0,x,4,,,,,1111解得或或或 ,,,,x,4,x,,2,x,2,x,0.222,,,2, 1 代入?得k= -或k=1. 7 122 又??=(k+1)-4k(k-1)=-3k+6k+1,当k= -,k=1时都大于0. 7 1 ?满足条件的k值为k=0或k= -或k=1. 7 点评 注意到方程二次项系数是参变数k所以方程可能是一次方程,也可能是二次方程应分 别讨论.求参数时,通常由根与系数的关系列出关于k的式子,消去k,然后因式分解及因数分 解求出整数根,从而求参数k. 巩固训练 21.设方程2x+ax-2=0的两根之差得绝对值为5/2，则等于a 2解:设方程2x+ax-2=0的两根是x1、x2， 那么|x1-x2|=5/2， ，x1x2=-1， 又?x1+x2=-a/2 2222?|x1-x2|=|(x1-x2)|=|(x1+x2)-4x1x2|=|a/4+4|=25/4， 2又?a?0， 2?a/4+4=25/4， 解得a1=3，a2=-3 2.若m、n是二次方程x2+1994x+7=0的两根，那么(m2+1993m+6)?(n2+1995n+8)等于( )。 A(2000 B(1994 C(1986 D(7 解:由题意，知m+n=,1994，m?n=7( 又m2+1994m+7=0，n2+1994n+7=0， ?m2+1993m+6=,(m+1)， n2+1995n+8=n+1( ?原式=,(m+1)(n+1) =,(mn+m+ n +1) - 5 - www.czsx.com.cn =,(7,1994+1)=1986 3.若实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=2，c,0，则下列正确的是( ) A、ab,0 B、|a|+|b|?2 C、|a|+|b|,4 D、0,|a|+|b|? 解: ?a+b+c=0，abc=2， ?a+b=-c，ab=2c， ?a，b是一元二次方程cx2+c2x+2=0的两个根， ??=c4-8c?0， ?c,0， ?c?2， ?|a|+|b|=-a-b ?|a|+|b|=-a-b=c ?|a|+|b|?2， 24.已知方程x+3x+m=0的两根之差为5,求m的值. 答.-4 113325.已知x,x是方程3x-mx-2=0的两个根,且+=3,求的值. xx，1212xx12 2m2解:?x、x为方程3x-mx-2=0的两根,?x+x=,x?x=- 12121233 11 而+=3,?m=-6. xx12 23322 因此x+x=(x+x)(x-xx+x)=(x+x)[(x=1+x)-3xx]=-12. 1212112212212 226.已知方程x-4x+2-k=0,且k?0,不解方程证明:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)一个根 大于1,另一根小于1. 222解:(1)??=(-4)-4(2-k)=4k+8>0, ?方程有两个不相等的实数根; 22 (2)(x-1)(x-1)=x?x(x+x)+1=2-k-4+1=-k-1<0, 121212 ?x-1,x-1中必有一个正数,一个负数. 12 即x,x中必有一个大于1,另一个小于1. 12 - 6 - www.czsx.com.cn 27.利用根与系数的关系,求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x+2x-3=0的两个根 的平方多1. 22 设方程3x+2x-3=0的根为x,x,所求方程的根为y,y,而x+x=-,x?x=-1, 解:12121212322 ?y+y=(x+1)+(x+1) 12122 =(x+x)-2xx+2 1212 2402 =(-)-2×(-1)+2= 3922y?y=(x+1)(x+1) 1212222 =(x?x)+(x+x)+1 1212 402x+1= =(x?x)+(x+x)-2x1212129 40402?所求方程为y-y+=0, 992即9y-40y+40=0. 2228.关于x的方程x-4nx-3n-1=0 ?,x-(2n+3)x-8n+2=0 ?,若方程?的两根的平方和等 于方程?的一个整数根,求n的值. 解:提示:设方程?的两根为x,x,则x+x=4n,x?x=-3n-1. 1212122222 ?x+x=(x+x)-2xx=(4n)-2(-3n-1) 1212122 =16n+6n+2. 解方程?得x=4n+2,x=1-2n. 12 12(1)当16n+6n+2=4n+2时,n=0,n=-, 128 把n=0,代入x=4n+2,得x=2; 111 13把n=- 代入x=4n+2,得x=不是整数, 21128 1?n=-舍去; 8 12(2)当16n+6n+2=1-2n时,n=n=-. 124 13把n=-代入x=1-2n,得x=不是整数, 2242 1?n=-舍去. 4 当n=0时,方程?的?=4>0, 1 - 7 - www.czsx.com.cn ?n的值 229.已知α,β, 是方程x2-7x+8=0的两根,且α>β,不解方程,求+3β的值 ,2222解:由题意知α+β =7, αβ=8.于是α+β=(α+β)-2αβ=33,(α-β)=( α+β)-4αβ=17, 又α>β,故α-β=. 17 2222 令A=+3β,B=+3α,则 ,, 22(),,，227，4032222A+B=++3(α+β) = +3(α+β)= +3×33=, ? ,,84,, 22(),,,222A- B==-+3β -3α=+3(β-α)(β+α) ,,,, 285172=(β-α)[+3(β+α)]=- (+3×7)=- . ? 174,,8 1 ?,?两式相加,得A=(403-85). 178 222210.已知x,x是方程x-2(k-2)x+(k+3k+5)=0(k为实数)的两实根,求的最小值. xx，1212解:由韦达定理得, 2x+x=2(k-2),x?x=k+3k+5. 1212 11109222222?x+•x=•(•x+•x)-2xx=4(k-2)-2(k+3k+5)=2(k-)- 12121222 122又?=4(k-2)-4(k+3k+5)=-28k-4?0,即k?-, 7 145022故只有k=-时,x+x取最小值为. 12749 211.如果方程(x-1)(x-2x+m)=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边,•求实数m的取值 范围. 解:由已知x=1, 1 - 8 - www.czsx.com.cn 设另两根为x,x且x?x,x+x=2,x?x=m. 23232323 又x>•x-x132 322==,解得m>. 即1>()xx,()4xxxx,,44,m32322342 又?=(-2)-4m?0,?m?1, 3 ?0. 4 已知a,b,c,d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1,求(a+c)(b+c)的值. 13. 解:? (a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1, ?a、b(a?b)是方程(x+c)(x+d)=1的两个不同实根, 2即为方程x+(c+d)x+cd-•1=0的两个实根, ?a+b=-(c+d),ab=cd-1. 2 ?(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c 2 =(cd-1)-(c+d)c+c=-1. - 9 - www.czsx.com.cn 专题八 韦达定理的应用 典型例题 22例1.如果a，b为质数，且a-13a+m=0，b-13b+m=0，那么b/a+a/b的值为( ) A、123/22 B、125/22或2 C、125/22 D、123/22或2 分析:由于a、b的关系不明确，故应分a=b和a?b两种情况讨论，(1)a=b可直接求出代数式答案; (2)若a?b，设a，b为方程x2-13x+m=0的两个根，利用根与系数的关系及a，b为质数即可求出a、b的值( 解::(1)若a=b，则b/a+a/b=2; (2)若a?b，设a，b为方程x2-13x+m=0的两个根( ?a+b=13( ?a，b为质数， ?a=11，b=2或a=2，b=11， ?b/a+ab/=125/22( 222例2.已知α、β是方程x-x-1=0的两个实数根，则代数式α+α(β-2)的值为 ( 分析:根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案( 解:?α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根， 22?α+β=1，αβ=-1，α-α-1=0，β-β-1=0 22?α+α(β-2)=α+1+α(β+1-2) =α+1-1-α =0( 2例3.已知关于x的方程x2-(m-2)x-m/4=0 (1)求证:无论m取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根; (2)若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2( 分析:(1)根据方程根的判别式判断根的情况，只要证明判别式?的值恒为正值即可; 2(2)|x2|=|x1|+2，即|x2|-|x1|=2，两边平方后再配方得(x1+x2)-4|x1x2|=4，再根据根与系数的关系用m表示出两根的和与两根的积，代入得到关于m的方程，即可求得m的值 2解:(1)?a=1，b=-(m-2)，c=-m/4， 222??=b-4ac=(m-2)-4?1?(-m/4) 22=2m-4m+4=2(m-1)+2,0， ?方程总有两个不相等的实数根; - 10 - www.czsx.com.cn 2(2)?a=1，b=-(m-2)，c=-m/4， ?x1+x2=m-2， ?方程总有两个相异的实数根 2?x1•x2=-m/4,0， ?x1与x2异号， 而|x2|=|x1|+2， ?|x2|-|x1|=2， 2两边平方后再配方得(x1+x2)=4 2?(m-2)=4， 解得m=0或m=4， 当m=0时，x2+2x=0 方程的根为0和-2，这两个根满足|x2|=|x1|+2， 则x1=0，x2=-2; 2当m=4时，x-2x-4=0， ?x=(2?5)/2( 2222例4.设x1、x2是方程2x-4mx+2m+3m-2=0的两个实根，当m为何值时，x1+x2有最小 值，并求这个最小值( 22分析:由韦达定理知x1+x2是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值， 就要看自变量m的取值范围，从判别式入手 22解:?x2是方程2x-4mx+2m+3m-2=0的两个实根， 22=(-4m)??-4?2?(2m+3m-2)?0，可得m?2/3， 2又x1+x2=2m，x1x2=(2m+3m-2)/2， 2 2?x12+x22=2(m-3/4)+7/8=2(3/4-m)+7/8， ?m?2/3， ?3/4-m?3/4-2/3,0， 22 2?当m=2/3时，x1+x2取得最小值为2?(3/4-2/3)+7/8=8/9( 2例5.若关于x的一元二次方程3x+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根满足关系式:x1(x1+1) 2+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1)，判断(a+b)?4是否正确, 分析:先把原式进行化简，再根据根与系数的关系得到(a+b)2=4ab+1，由一元二次方程 跟的判别式大于等于0即可得出结论 2解:(a+b)?4正确( 2理由:原式可化为(x1+x2)-=3x1x2+1， 2?(a+b)=4ab+1， 2??=9(a+b)-4?3?4ab?0， - 11 - www.czsx.com.cn 2?(a+b)-4?3?4ab?0， 2?(a+b)?16/3ab，即4ab+1?16ab/3， ?4ab?3， 2?4ab+1?4，即(a+b)?4( 2例6.已知:四边形ABCD中，AB?CD，且AB、CD的长是关于x的方程x-2mx+(m-1/2)2+7/4=0的两个根( (1)当m=2和m,2时，四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由( (2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB,CD，求AB、CD的长; 分析:(1)根据当m=2和m,2时，方程根的情况来进一步判断AB和CD的数量关系， 结合其位置关系，判断该四边形的形状; (2)根据梯形的对角线的中点所连接的线段等于上下底差的一半，结合根与系数的关系// 得到关于m的方程，从而求出方程的两个根; 解:(1)当m=2时，x2-4x+4=0( ??=0，方程有两个相等的实数根( ?AB=CD，此时AB?CD，则该四边形是平行四边形; 当m,2时，?=m-2,0， 又?AB+CD=2m,0， 2AB•CD=(m-1/2)+7/4,0， ?AB?CD( 该四边形是梯形( (2)根据三角形的中位线定理可以证明:连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半( 则根据PQ=1，得CD-AB=2( 22根据(1)中的AB+CD和AB•CD的式子得(2m)-4(m-m+2)=4， ?m=3( 2当m=3时，则有x-6x+8=0， ?x=2或x=4， 即AB=2，CD=4( 同步巩固 21.(1)已知x1和x2为一元二次方程2x-2x+3m-1=0的两个实根，并x1和x2满足不等式(x1x2)/(x1+x2-4),1，则实数m取值范围是 ; 2(2)已知关于x的一元二次方程8x+(m+1)x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取 - 12 - www.czsx.com.cn 值范围是 ( 2分析:(1)根据一元二次方程有实数根的条件，得出?=(-2)-4?2(3m-1)?0?;由 根与系数的关系可得 x1+x2=1，x1•x2=(3m-1)/2，代入(x1x2)/(x1+x2-4),1，又得到一 个关于m的不等式?，解由??组成的不等式组，即可求出m的取值范围( (2)先根据一元二次方程有两个负数根，由一元二次方程根与系数的关系，得出两根之 和小于0，两根之积大于0，解不等式组求出m的取值范围，再代入判别式??0进行 检验，即可求出结果 2解:(1)?方程2x-2x+3m-1=0有两个实数根， 2??=(-2)-4?2(3m-1)?0，解得m?1/2( 由根与系数的关系，得x1+x2=1，x1•x2=(3m-1)/2( ?(x1x2)/(x1+x2-4),1， ?(3m-1)/-6,1，解得m,-5/3( ?-5/3,m?1/2; 2(2)?关于x的一元二次方程8x+(m+1)x+m-7=0有两个负数根， ? -(m+1)/8,0 (m-7)/8,0， 解得m,7( 222又??=(m+1)-4?8(m-7)=m-30m+225=(m-15)?0， ?实数m的取值范围是m,7( 22.已知α、β是关于x的方程x+px+q=0的两个不相等的实数根，且 22α3-αβ-αβ+β3=0，求证:p=0，q,0( 2分析:根据根与系数是关系求得α+β=-p，根据根的判别式求得?=p-4q,0;然后利用完 22222全平方公式将α3-αβ-αβ+β3=0变形得α3-αβ-αβ+β3=(α-β)(α+β) =0，所以α+β=-p=0，所以-4p,0，即p,0( 2证明:?α、β是关于x的方程x+px+q=0的两个不相等的实数根， ?α+β=-p，αβ=q; 22?α3-αβ-αβ+β3=0， 222?α3-αβ-αβ+β3=(α-β)(α+β)=0; 2?α、β是关于x的方程x+px+q=0的两个不相等的实数根， ?α?β， ?α-β?0， 2?α+β=-p=0，?=p-4q,0; ?p=0，-4q,0， ?q,0 - 13 - www.czsx.com.cn 23.已知α、β是方程x-x-1=0的两个根，则α4+3β的值为 ( 222分析:先由α、β是方程x-x-1=0的两个根可知，α=α+1，β=β+1，α+β=1，αβ=-1， 再设A=α4+3β，B=β4+3α，由A+B=10及A-B=0即可求出A的值( 2解:?α、β是方程x-x-1=0的两个根， 22?α=α+1，β=β+1，α+β=1，αβ=-1， 设A=α4+3β，B=β4+3α， ?A+B=α4+3β+β4+3α 22=(1+α)+(1+β)+3(α+β) 22=1+2α+α+1+2β+β+3 =5+2(α+β)+1+α+1+β =10; A-B=α4+3β-β4-3α 22=(1+α)+3β-(1+β)-3α 22=1+α+2α+3β-1--β-2β-3α 22=α+2(α+β)+β-β-2(β+α)-α 22=α+2+β-β-2-α 22=α-β+β-α =1+α-1-β+β-α =0; 由A+B=10及A-B=0得，A=5( 24.已知方程x+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=28，那么这个方程两根为 ( 分析:根据根与系数的关系，可以写出两根和与两根积，再由两根是正整数及p+q=28，利 用提公因式法因式分解可以确定方程的两个根( 解:设x1，x2是方程的两个根，则x1+x2=-p，x1x2=q， ?p+q=28， ?x1x2-x1-x2=28， x1(x2-1)-(x2-1)=29， (x1-1)(x2-1)=29， ?两根均为正整数， ?x1-1=1，x2-1=29或x1-1=29，x2-1=1， ?方程的两个根是:x1=2，x2=30(或x1=30，x2=2( 故答案为:x1=30，x2=2( 225.设x1，x2是关于x的方程x+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x+qx+p=0 的两根，则p，q的值分别等于( ) - 14 - www.czsx.com.cn A、1，-3 B、1，3 C、-1，-3 D、-1，3 分析:已知两方程的根，由根与系数的关系得:x1+x2=-p，x1•x2=q;x1+1+x2+1=-q，(x1+1) (x2+1)=p，即x1+x2+x1•x2+1=p，将x1+x2=-p，x1•x2=q分别代入，消去x1、x2， 解关于p、q的二元一次方程组可求解( 解:由根与系数的关系可知:x1+x2=-p，x1•x2=q; x1+1+x2+1=-q，(x1+1)(x2+1)=p，即x1+x2+x1•x2+1=p( 将x1+x2=-p，x1•x2=q代入整理，得 -p+2=-q -p+q+1=p 解得p=-1 q=-3( 故选C 26.方程x+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则p/(x1+1)(x2+1)的值是( ) A、1 B、-l C、-1/2 D、1/2 2分析:根据x+px+1997=0设两个正整数根x1、x2，根据根与系数的关系x1+x2=-p， x1x2=1997，?x1=1，x2=1997，或x1=1997，x2=1，代入即可求解( 2解:根据x+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2， ?x1+x2=-p，x1x2=1997， x1、x2是两个正整数根， ? ?x1=1，x2=1997，或x1=1997，x2=1， ?x1+x2=1998，p=-1998， ?p/(x1+1)(x2+1)=p/(x1x2+x1+x2+1)， =-1998/(1998+1997+1)=-1/2( 故选C( 27.两个质数a、b恰好是整系数方程x-99x+m=0的两个根，则b/a+a/b的值是( ) A、9413 B、9413/194 C、9413/99 D、9413/97 分析:根据根与系数的关系a+b=99，所以a，b一奇一偶，偶数中只有2是质数 所以a， b是2和97，通分代入计算即可( 2解答:解:?a、b是整系数方程x-99x+m=0的两个根，?a+b=99，ab=m， 22?b/a+a/b=b/ab+a/ab 22)=(a+b/ab 2=[(a+b)-2a]/bab 2=(99-2m)/m， - 15 - www.czsx.com.cn ?a、b为质数，?a=2，b=97，或a=97，b=2， ?m=2?97=194， 2?b/a+a/b=(99-2m)/m 2=(99-2?194)/194 =9413/194， 故选B( 8.设方程有一个正根x1，一个负根x2，则以|x1|、|x2|为根的一元二次方程为( ) 222A、x-3x-m-2=0 B、x+3x-m-2=0 C、x2-根号(1-4m)x-2=0 D、x-根号(1-4m) x+2=0 分析:根据一元二次方程根与系数的关系，可以写出两根和与两根积，然后由|x1|+|x2|,0， |x1|•|x2|,0进行判断作出选择( 解:A?|x1|+|x2|=3,0，但|x1|•|x2|=-m-2不能确定它的正负，?不能选A( B?|x1|+|x2|=-3,0，?不能选B( C?|x1|+|x2|=根号(1-4m),0，但|x1|•|x2|=-2,0，?不能选C( D?|x1|+|x2|=根号(1-4m),0，|x1|•|x2|=2,0，?选D( 故选D( 29.若方程(x-1)(x-2x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是( ) A、0?m?1 B、m?3/4 C、3/4,m?1 D、3/4?m?1 2-1)(x-2x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即分析:方程(x 2方程的一边是1，另两边是方程x-2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大 -2x+m=0的两个根设是x2和x3，一于第三边，任意两边之差小于第三边(则方程x2 定是两个正数，且一定有|x2-x3|,1,x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即 可确定m的范围 2解:方程(x-1)(x-2x+m)=0的有三根， 22?x1=1，x-2x+m=0有根，方程x-2x+m=0的?=4-4m?0，得m?1( 又?原方程有三根，且为三角形的三边和长( ?有x2+x3,x1=1，|x2-x3|,x1=1，而x2+x3=2,1已成立; 2当|x2-x3|,1时，两边平方得:(x2+x3)-4x2x3,1( 即:4-4m,1(解得，m,3/4( ?3/4,m?1( 故选C( 2210. 已知关于x的方程x-(2k-3)x+k+1=0( (1)当k为何值时，此方程有实数根; - 16 - www.czsx.com.cn (2)若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值 分析:(1)由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解; (2)由于方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，首先把等式两边同时平方，然后利用 根与系数的关系即可求解( 解:(1)若方程有实数根， 22则?=(2k-3)-4(k+1)?0， ?k?5/12， ?当k?5/12，时，此方程有实数根; (2)?此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3， 2?(|x1|+|x2|)=9， 22?x1+x2+2|x1x2|=9， ?(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|=9， 2而x1+x2=2k-3，x1x2=k+1， 222?(2k-3)-2(k+1)+2(k+1)=9， ?2k-3=3或-3， ?k=0或3，k=3不合题意，舍去; ?k=0( 11. 已知二次方程x2-px+q=0的两根为α、β，求 ?以α3次方、β3次方为根的一元二次方程; ?若以α3、β3为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0，求所有这样的一元二次方程( 分析:?欲求以α3、β3为根的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，可知 所求方程是x2-(α3+β3)x+α3β3=0(先由已知条件得出α+β=p，αβ=q，再运 用立方和公式、积的乘方的运算性质用含p、q的代数式分别表示α3+β3，α3β3即 可; ?由于?中所求方程即为x2-px+q=0，则得方程组{p3-3pq=pq3=q，解此方程组，即可求 出p、q的值，再舍去无实根的方程，从而求出问题的解( 解:??方程x2-px+q=0的两根为α、β， ?α+β=p，αβ=q， ?α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)3-3αβ(α+β)=p3-3pq， α3β3=(αβ)3=q3， ?以α3、β3为根的一元二次方程为x2-(p3-3pq)x+q3=0; ?由题意，得{p3-3pq=pq3=q， 由q3=q，得q=0，q=?1， 当q=0时，p3=p，p=0，?1; 当q=1时，p3=4p，p=0，?2; - 17 - www.czsx.com.cn 当q=-1时，p3=-2p，p=0( ?当p=0，q=1时，方程x2+1=0无实根， ?满足条件的方程有x2=0;x2-x=0;x2+x=0;x2-2x+1=0;x2+2x+1=0;x2-1=0( 2212.设m是不小于-1的实数，关于x的方程x+2(m-2)x+m-3m+3=0有两个不相等的实 数根x1、x2， 22(1)若x1+x2=6，求m值; 22(2)求mx1/(1-x1)+mx2/(1-x2)的最大值( 分析:(1)首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件 的m的值( (2)把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求 出代数式的最大值( 解:?方程有两个不相等的实数根， 222??=b-4ac=4(m-2)-4(m-3m+3)=-4m+4,0， ?m,1， 结合题意知:-1?m,1( 222222(1)?x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=4(m-2)-2(m-3m+3)=2m-10m+10=6 ?m=(5?17)/2， ?-1?m,1， ?m=(5-17)/2; 2222(2) mx1/(1-x2)={m[x1+x2-x1x2(x1+x2)]}/(1-x1)(1-x2) /(1-x1)+mx2 22=[m(2m3-8m+8m-2)]/(m-m) 2=[2m(m-1)(m-3m+1)]/m(m-1) 2=2(m-3m+1) 2=2(m-3/2)-5/2(-1?m,1) ?当m=-1时，式子取最大值为10( 22213.已知关于x的方程4x-8nx-3n=2和x-(n+3)x-2n+2=0(问是否存在这样的n的值， 使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根,若存在，求出这 样的n值;若不存在，请说明理由( 分析:先根据根的判别式来确定方程(1)是否有实数根;然后再由根与系数的关系用n 来表示两个实数根的差的平方;最后，根据解得的第二个方程的两根，并由已知条件 来求n的值( 22解:由?1=(-8n)-4?4?(-3n-2)=(8n+3)+23,0，知n为任意实数时，方程(1) 都有实数根( - 18 - www.czsx.com.cn 设第一个方程的两根为α、β(则α+β=2n，αβ=(-3n-2)/4( 22于是，(α-β)=(α+β)-4αβ， 2=4n+3n+2; 由第二个方程得 [x-(2n+2)][x+(n-1)]=0， 解得两根为x1=2n+2，x2=-n+1; 2若x1为整数，则4n+3n+2=2n+2( 于是n1=0，n2=-1/4( 当n=0时，x1=2是整数; n=-1/4时，x=3/2不是整数，舍去( 2若x2为整数，则4n+3n+2=1-n( 有n3=n4=-1/2(此时x2=3/2不是整数，舍去( 综合上述知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数 根( 专题九 一元二次方程应用(一) 一(典型例题 例1.在Rt?ABC中，?C=90?，a、b、c分别是?A、?B、?C的对边，a、b是关于x 的方程x2-7x+c+7=0的两根，那么AB边上的中线长是() A、32 B、52 C、5 D、2 分析:由于a、b是关于x的方程x2-7x+c+7=0的两根，由根与系数的关系可知:a+b=7， 222222ab=c+7;由勾股定理可知:a+b=c，则(a+b)-2ab=c，即49-2(c+7)=c，由此求 出c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长( 2解:?a、b是关于x的方程x-7x+c+7=0的两根， ?根与系数的关系可知:a+b=7，ab=c+7; 222由直角三角形的三边关系可知:a+b=c， 22则(a+b)-2ab=c， 2即49-2(c+7)=c， 解得c=5或-7(舍去)， 再根据直角三角形斜边中线定理得:中线长为5/2( 答案:AB边上的中线长是5/2( 例2. 若a2+11a+16=0，b2+11b+16=0，则根号b/a-根号a/b= - 19 - www.czsx.com.cn 解: 由已知条件知a、b是方程x2+11x+16=0的两个根， ? a+b=-11 ab=16 ?a,0，b,0， (1)a=b, 根号b/a-根号a/b=0 (2)a?b 化简 根号b/a-根号a/b=(a-b)/ 根号ab=1/4(a-b) =?1/4根号[(a+b)2-4ab]=?1/4根号(121-64)=?1/4根号57 故本题解为??1/4根号57 例4.方程(1995x)平方-1994?1996x-1=0的较大根为m,x平方+1994x-1995=0的较小根为 n，求m-n的值 解: 因方程(1995X)^2,1994×1995X ,1=0 ?(1995X)^2,(1995,1)(1995，1)X,1=0 得(1995X)^2,1995^2X，X,1=0 (1995X，1)(X,1),0 所以m=1 又X^2，1994X,1995=0 ?(X,1)(X，1995)=0 所以n=,1995 m,n=1996 例5.设一元二次方程x平方+2ax+6-a=0的根分别满足下列条件，试求实数a的范围.(1), 两根均大于1，(2)，一根大于1，一根小于1 - 20 - www.czsx.com.cn 22例6.设a、b、c为三个不同的实数，使得方程x+ax+1=0和x+bx+c=0有一个相同的实数 22根，并且使方程x+x+a=0和x+cx+b=0也有一个相同的实数根，试求a+b+c的值( 22222分析:设x1+ax1+1=0，x1+bx1+c=0，得x1=(c-1)/(a-b)，同理，由x2+x+a=0，x2+cx2+b=0，得x2=(a-b)/(c-1)(c?1)，再根据韦达定理即可求解( 22解答:解:设x1+ax1+1=0，x1+bx1+c=0，两式相减，得(a-b)x1+1-c=0， 解得x1=(c-1)/(a-b)， 22同理，由x2+x2+a=0，x2+cx2+b=0，得x2=(a-b)/(c-1)(c?1)， 故x2=1/x1，另一方面，由韦达定理知1/x1是第一个方程的根， 22这就表明x2是方程x+ax+1=0和x+x+a=0的公共根， 因此两式相减有(a-1)(x2-1)=0， 当a=1时，这两个方程无实根， 故x2=1，从而x1=1， 于是a=-2，b+c=-1， 所以a+b+c=-3( 例6.如图，已知?ABC中，?ACB=90?，过C点作CD?AB，垂足为D，且AD=m，BD=n，AC2:BC2=2:1，又关于x的方程14x2-2(n-1)x+m2-12=0两实数根的差的平方小于192，求:m，n的值 分析:根据?ABC??ACD，求出m和n之间的关系式;再根据根与系数的关系求出m、n的取值范围，然后估算，即可求得一次函数的解析式( 解答:解:易证?ABC??ACD， 22?AC/AD=AB/AC，AC=AD•AB，同理BC=BD•AB， 22?AC/AD=AB/AC，?AC/BC=2/1，?m/n=2/1，?m=2n„?， 22?关于x的方程1/4x-2(n-1)x+m-12=0有两实数根， 22??=[-2(n-1)]-4?1/4?(m-12)?0， 22?4n-m-8n+16?0，把?代入上式得n?2„?， 22设关于x的方程1/4x-2(n-1)x+m-12=0的两个实数根分别为x1，x2， 2则x1+x2=8(n-1)，x1•x2=4(m-2)， - 21 - www.czsx.com.cn 22依题意有(x1-x2),192，即[8(n-1)]2-16(m-12),192， 22?4n-m-8n+4,0，把?式代入上式得n,1/2„?， 由?、?得1/2,n?2， ?m、n为整数，?n的整数值为1，2，m的整数值为2、4 二(同步巩固 1.CD是Rt?ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根，则?ABC的面积为 2分析:由AD、BD是方程x-6x+4=0的两根可以得到AD+BD=6，AD•BD=4，易证?DBC??DCA，可得到CD=根号(AD?BD)=2，而?ABC的面积=1/2?(AD+BD)?CD，由此可以求出面积( 解答:解:?AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根， ?AD+BD=6，AD•BD=4， ??ACB=90?，CD?AB于D， ??DBC??DCA， 2?CD=AD•BD， ?CD=根号(AD?BD)=2， ?S?ABC=1/2?(AD+BD)?CD=6( 2.?ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求m的取值范围( 2分析:根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到(x1-x2),25， 2把两根之积与两根之和代入(x1-x2)的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围( 解答:解:由根与系数的关系可得:x1+x2=6，x1•x2=m2， 又有三角形的三边关系可得:|x1-x2|,5， 2则(x1-x2),25， 2即(x1+x2)-4x1•x2,25， 即:36-2m,25 解得:m,11/2; 既然方程有两个实根，则??0， 解得m?18( 故本题答案为:112,m?18( - 22 - www.czsx.com.cn 3.已知3m平方-2m-5=0,5n平方+2n-3=0,其中m,n为实数，则(m-1/n)的绝对值为 解: 3m?-2m-5=0 (3m-5)(m+1)=0 解得m=5/3或者m=-1 5n?+2n-3=0 (5n-3)(n+1)=0 解得n=3/5,n=-1 所以 ?m-1/n?=?5/3-5/3?=0,或者?m-1/n?=?5/3-(-1)?=8/3 或者?m-1/n?=?-1-5/3?=8/3,或者?m-1/n?=?-1-(-1)?=0 5. 已知两数积ab?1(且 a b 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则=______ 解(由已知条件可知 a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程 3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成: - 23 - www.czsx.com.cn 6. 已知实数a，b，c满足a,b,c，且有a+b+c=1，a2+b2+c2=1(求证:1,a+b,4/3( 分析:由题意可得a，b是方程x?-(1-c)x+c?-c=0的两个不等实根，由判别式大于0可得-1/3,c,1(再由(c-a)(c-b),0，解得c,0，或c,2/3，取交集得到-1/3,c,0，从而得到1,a+b,4/3( 解答:证明:因为a+b=1-c，ab=[(a+b) ?-(a2+b2)]/2=c?-c，所以a，b是方程x?-(1-c)x+c?-c=0的两个不等实根， 则?=(1-c)?-4(c?-c),0，得-1/3,c,1， 而(c-a)(c-b)=c?-(a+b)c+ab,0，即c?-(1-c)c+c?-c,0，解得c,0，或c,2/3， 所以-1/3,c,0，即1,a+b,4/3( 7.设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式: b2+c2=2a2+16a+14?bc=a2-4a-5?(求a的取值范围( 分析:先通过代数式变形得(b+c)?=2a?+16a+14+2(a?-4a-5)=4a?+8a+4=4(a+1)?，即有b+c=?2(a+1)(有了b+c与bc，就可以把b，c可作为一元二次方程x??2(a+1)x+a?-4a-5=0?的两个不相等实数根，由?=4(a+1)?-4(a?-4a-5)=24a+24,0，得到a,-1(再排除a=b和a=c时的a的值(先设a=b和a=c，分别代入方程?，求得a的值，则题目要求的a的取值范围应该是在a,-1的前提下排除求得的a值( 解答:解:?b?+c?=2a?+16a+14，bc=a?-4a-5， ?(b+c)?=2a?+16a+14+2(a?-4a-5)=4a?+8a+4=4(a+1)?， 即有b+c=?2(a+1)( 又bc=a?-4a-5， 所以b，c可作为一元二次方程x??2(a+1)x+a2-4a-5=0?的两个不相等实数根， 故?=4(a+1)?-4(a?-4a-5)=24a+24,0， 解得a,-1( 若当a=b时，那么a也是方程?的解， ?a??2(a+1)a+a?-4a-5=0， 即4a?-2a-5=0或-6a-5=0， 解得，a=(1?根号21)/4或a=-5/6( 当a=c时，同理可得a=-5/6或(1?根号21)/4( 所以a的取值范围为a,-1且a?-5/6且a?(1?根号21)/4( - 24 - www.czsx.com.cn 8.当n=1,2,3„2004时，关于x的一元二次方程n(n+1)x的平方-(2n+1)x+1=0的两根为an,bn, 试求 (1),|a1-b1|+|a2-b2| ,(2),|a1-b1|+|a2-b2|+.....+|a1995-b1995|的值 解:方程 n[n+1]x^2-[2n+1]x+1=0的两根分别为1/n,1/(n+1), |An-Bn|=1/n-1/(n+1) |A1-B1|+|A2-B2|=1-1/2+1/2-1/3=1-1/3=2/3 |A1-B1|+|A2-B2|+.....+|A1995-B1995| =1-1/2+1/2-„+1/1995-1/1996 =1-1/1996 =1995/1996 9. 已知方程x?+a1x+a2a3=0与方程x?+a2x+ala3=0有且只有一个公共根( 求证:这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x?+a3x+a1a2=0的根 分析:设方程x?+a1x+a2a3=0的两根为α、β，方程x?+a2x+ala3=0的两根为α、γ，其中α为两方程的公共根，根据一元二次方程根与系数的关系得到a1+β=-a1，a1β=a2a3，a1γ=a1a3，然后解得β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0，若β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的根，则两根代入，证明两根代入后方程为0( 证明:设方程x?+a1x+a2a3=0的两根为α、β， 方程x?+a2x+ala3=0的两根为α、γ，其中α为两方程的公共根， 则α?+a1α+a2a3=0„?，α?+a2α+ala3=0„?， ?-?得(a1-a2)α+a3(a2-a1)=0， 因为两个方程只有一个公共根，a1?a2，解得α=a1， 有一元二次方程根与系数的关系得:a3+β=-a1，a3β=a2a3，a3γ=a1a3， 所以β=a1，γ=a1，a1+a2+a3=0， ?β?+a3β+a1a2=a2?+a3•a2+a1a2=a2(a1+a2+a3)=0， γ?+a3γ+a1a2=a1?+a3•a1+a1a2=a1(a1+a2+a3)=0， 所以β、γ是方程x2+a3x+a1a2=0的两根( - 25 - www.czsx.com.cn 专题十 一元二次方程应用(二) 一(典型例题 例1.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元(下列所列方程中正确是( ) A. 168(1+a)2=128 B.168(1-a%)2=128 C(168(1-2a%)=128 D(168(1-a2%)=128 分析:本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程( 解:当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168(1-a%); 当商品第二次降价a%后，其售价为168(1-a%)-168(1-a%)a%=168(1-a%)2( ?168(1-a%)2=128(故选B( 例2.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个(设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A(50(1+x)2=182 B(50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C(50(1+2x)=182 D(50+50(1+x)+50(1+2x)2=182 分析:主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量?(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程( 解:依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2， ?50+50(1+x)+50(1+x)2=182( 故选B 2例3.三角形的每条边的长都是方程x-6x+8=0的根，则该三角形的周长为( ) A(12或6 B(12或10 C(12或10或6 D(以上都不对 分析:用因式分解法先求得方程的两根，再根据三角形的三边关系定理确定构成三角形三边的所有可能情况( 解:由方程x2-6x+8=0，得(x-2)(x-4)=0， 解得x1=2，x2=4， ?三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根， ?构成三角形的三边为:2，2，2或4，4，4或2，4，4( - 26 - www.czsx.com.cn ?三角形周长为:6或12或10( 故选C( 例4. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望(为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售( (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子(开发商还给予以下两种优惠

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以供选择:?打9.8折销售;?不打折，送两年物业管理费(物业管理费是每平方米每月1.5元(请问哪种方案更优惠, 分析:(1)根据每次的均价等于上一次的价格乘以(1-x)(x为平均每次下调的百分率)，可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率; (2)根据两种优惠方案分别算出两种不同方案的优惠价格，比较其大小即可知哪种方案更优惠( 解:(1)设平均每次下调的百分率为x 则有:5000(1-X)2=4050， 解得:x1=10%，x2=190%(舍去)， 答:平均每次下调的百分率为10%; (2)方案?:可优惠价为:4050?100?0.01=4050， 方案?:可优惠价为:2?12?1.8?100=4320， 4050,4320， 故方案?更优惠 例5. 某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件;第二个月为增加销售量，决定降价销售，经调查发现，单价每降低1元，可多售出10件;第二个月结束后，批发商将对剩余T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元(设第二个月单价降低x元( (1)填表(不需化简):时间 第一个月 第二个月 清仓时单价(元) 80 40 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价(元) 80 40 销售量(件) 200 (2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应为多少元, 分析:(1)第二个月的单价=第一个月的单价-降低的价格，销售量=200+10?降低的单 - 27 - www.czsx.com.cn 价;清仓时的销售量为:800-第一月的销售量-第二个月的销售量; (2)等量关系为:总售价-总进价=9000(把相关数值代入计算即可( 解: (1) 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价(元) 80 80-x 40 销售量(件) 200 200+10x 800-200-(200+10x) (2)80?200+(80-x)(200+10x)+40?[800-200-(200+10x)]-800?50=9000 x2-20x+100=0( 解得:x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70( 答:第二个月的单价应为70元( 二(同步巩固 1. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A(x(x-1)=10 B(x(x-1)2=10 C(x(x+1)=10 D(x(x+1)2=10 分析:如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x-1)次，x人共需握手x(x-1)次;而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手:x(x-1)2次;已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程( (次); 解:设x人参加这次聚会，则每个人需握手:x-1 依题意，可列方程为:[x(x-1)]/2=10; 故选B( 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A(8人 B(9人 C(10人 D(11人 分析:由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有(1+x)人患了流感，经过第二轮后有[(1+x)+x(1+x)]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程( 解:设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 那么由题意可知(1+x)2=100， 解得x=9或-11 x=-11不符合题意，舍去( 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人( - 28 - www.czsx.com.cn 故选B( 3. 是否存在一个三角形的三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一内角2倍的?ABC,证明你的结论( 存在满足条件的三角形 当 ?ABC 的三边长分别为 a,6，b,4，c,5时，?A,2?B 如图，当?A,2?B时，延长BA至点D，使AD,AC,b，连结CD，则?ACD为等腰三角形 ??BAC为?ACD的一个外角，??BAC,2?D 由已知?BAC,2?B，则?B,?D ??CBD为等腰三角形 又?D为?ACD与?CBD 的一个公共角，??ACD??CBD 于是AD/CD,CD/BD，即b/a,a/(b，c) ?a?,b(b，c) ?6?,4(4，5)，?此三角形满足题设条件 故存在满足条件的三角形 说明:满足条件的三角形不是唯一的 若?A,2?B，得a?,b(b，c)，有以下三种情形: (1)当a,c,b时，设a,n，1，c,n，b,n,1(n为大于1的正整数) 代入a?,b(b，c)，得(n，1)?,(n,1)(2n,1) 解得n,5 ?a,6，b,4，c,5 (2)当c,a,b时，设c,n，1，a,n，b,n,1(n为大于1的正整数) 代入a?,b(b，c)，得n?,2n(n,1) 解得n,2 ?a,2，b,1，c,3，此时不能构成三角形 (3)当a,b,c时，设a,n，1，b,n，c,n,1(n为大于1的正整数) 代入a?,b(b，c)，得(n，1)?,n(2n,1) 即n?,3n,1,0，此方程无整数解 所以，三边长恰为三个连续的整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的 - 29 - www.czsx.com.cn 三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件 4. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/m2下降到5月分的12600元/m2 (1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少,(参考数据:0.9?0.95) (2)如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2,请说明理由( 分析:(1)等量关系为:3月底的价格?(1-平均每月降价的百分率)2=5月底的价格，把相关数值打入求合适的解即可; (2)7月份该小区的商品房成交均价=5月底的价格?(1-平均每月降价的百分率)2，把相关数值代入计算，与所给单价比较即可( 解答:解:(1)设平均每月降价的百分率为x( 14000?(1-x)?=12600， 解得?(1-x)2=0.9， ?x1?0.05=5%，x2?1.95(不合题意，舍去)( ( 答:4、5两月平均每月降价的百分率是5%; (2)7月份该小区的商品房成交均价为12600?(1- 5 %)?= 11317.5,10000比较， 由此可知7月分该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m2 5. 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系(每盆植入3株时，平均单株盈利3元;以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元(要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株, 分析:根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(3-0.5x)元，由题意得(x+3)(3-0.5x)=10求出即可( 解:设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株， 平均单株盈利为(3-0.5x)元， 由题意得(x+3)(3-0.5x)=10( 化简，整理，的x?-3x+2=0( 解这个方程，得x1=1，x2=2， 答:每盆应植4株或者5株( - 30 - www.czsx.com.cn 6. 某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长(元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡(问这间宿舍里住有多少位学生( 设有x个学生，y个管理员( ?该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x(x-1)(乘法原理)张贺卡; ?每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy(乘法原理)张贺卡; ?每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡; 所以根据题意列出方程:x(x-1)+xy+y=51(加法原理)，然后根据生活实际情况解方程即可( 解:设有x个学生，y个管理员( 该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x(x-1)张贺卡;每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡; 每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡; ?x(x-1)+xy+y=51， ?51=x(x-1)+xy+y?x(x-1)+x+1=x2+1(当y=1时取“=”)， 解得，x?7; x(x-1)+(x+1)y=51 ?51是奇数，而x和x-1中，有一个是偶数， ?x(x-1)是偶数， y是奇数， ?(x+1) ?x是偶数， 而x?7，所以x只有2 4 6三种情况; 当x=2时，y=49/3(不是整数，舍去); 当x=4时，y=39/5(不是整数，舍去); 当x=6时，y=3( 所以这个宿舍有6个学生( 6.已知某两位数再加上它的十位数与个位数之积后，恰好为它的十位数与个位数之和的平方，求所有这样的两位数( - 31 - www.czsx.com.cn 专题十一 一元二次方程应用(3) 一(典型例题 例1. 体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的 矩形ABCD(设边AB的长为x(单位:米)，矩形ABCD的面积为S(单位:平方米)( (1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围); (2)若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB,AD，请求出此时AB的长。 解;(1).根据题意，AD=(30-2x)/2=15-x S=x(15-x)=-x?+15x (2).当s=50时，-x?+15x=50 整理得;x?-15x+50=0 X1=5 x2=10 .当AB=5时，AD=10 当AB=10时，AD=5 因为AB,AD 所以AB=5 例2.已知:如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10(且点E在下底边BC上，点F在腰AB上( (1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示?BEF的面积; (2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分,若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由; (3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:3两部分,若存在，求出此时BE的长;若不存在，请说明理由( - 32 - www.czsx.com.cn 分析:(1)先作AK?BC于K，FG?BC于G，根据等腰梯形的性质，可得BK=1/2(BC-AD)=3，在Rt?ABK中，利用勾股定理可求出AK=4，由于AK、FG垂直于同一直线故平行，可得比例线段，求出FG=[4(12-x)]/5，利用面积公式可得S?BEF=-2/5x2+24/5x (7?x?10，因为BF最大取5，故BE最小取7，又不能超过10); (2)根据题意，结合(1)中面积的表达式，可以得到 1/2S梯形ABCD=-2/5x2+24/5x，即14=-2/5x2+24/5x，解得，x1=7，x2=5(不合题意，舍去); (3)仍然按照(1)和(2)的步骤和

方法

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去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1:3就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式?，由于?,0，故不存在实数根( 解:(1)由已知条件得: 梯形周长为24，高4，面积为28( 过点F作FG?BC于G， ?BK=1/2(BC-AD)=1/2?(10-4)=3， ?AK=(AB2-BK2)根号=4， ， ?EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x ?BF=12-x， 过点A作AK?BC于K ??BFG??BAK， ?FG/AK=BF/BA， 即:FG/4=(12-x)/5， 则可得:FG=(12-x)/5?4 ?S?BEF=1/2BE•FG=-2/5x2+24/5x(7?x?10);(3分) (2)存在(1分) 由(1)得:-2/5x2+24/5x=14， x2-12x+35=0， (x-7)(x-5)=0， 解得x1=7，x2=5(不合题意舍去) ?存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7; (3)不存在(1分) - 33 - www.czsx.com.cn 假设存在，显然是:S?BEF:SAFECD=1:3，(BE+BF):(AF+AD+DC+CE)=1:3(1分)， 梯形ABCD周长的四分之一为6，面积的四分之一为7(因为BE=x， 所以BF=(6-x)，FG=[(6-x)?4]/5， 所以?BEF的面积为[(6-x)?4•x[/5?1/2=7， 整理得:-2x2+12x-35=0， ?=144-280,0 ?不存在这样的实数x( 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:3的两部分 例3. 如图，将正方形沿图中虚线(其中x,y)剪成????四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)( (1)画出拼成的矩形的简图; (2)求x/y的值( )已知中的?和?，?和?形状大小分别完全相同，结合图中数据可知??分析:(1 能拼成一个直角三角形，??能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形; (2)利用拼图前后的面积相等，可列:[(x+y)+y]y=(x+y)?，整理即可得到答案( 解: (1)如图;(5分)(说明:其它正确拼法可相应赋分() (2)解:由拼图前后的面积相等得:[(x+y)+y]y=(x+y)?，、 ?[(x+y)+y]/x+y=(x+y)/y， ?1+y/(x+y)=x/y+1， ?y/(x+y)=x/y， - 34 - www.czsx.com.cn ?(x+y)/y=y/x， ?x/y+1=y/x， ?x/y(x/y+1)=y/x?x/y， 因为y?0，整理得:(x/y)2+x/y-1=0， 解得:x/y=(5根号-1)、2(负值不合题意，舍去);、 例4.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止(已知在相同时间内，若BQ=xcm(x?0)，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm( (1)当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形; (2)当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形; (3)以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形,如果能，求x的值;如果不能，请说明理由 (1)以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC?BC即x+3x?20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND?AD即2x+x2?20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm(所以可以根据这两种情况来求解x的值( (2)以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧(当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND;当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD(所以可以根据这些条件列出方程关系式( (3)如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND?AD即2x+x2?20cm，BQ+MC?BC即x+3x?20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x?0(这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形(解答:解:(1) - 35 - www.czsx.com.cn 当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD 或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形( 解:(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩 形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形( ?当点P与点N重合时， 2(舍去)( 由，得，xxxx，,,,,,,22021121112 因为+=，此时点与点不重合( BQCMQMxx，,,,34(211)20 x,,211所以符合题意( ?当点Q与点M重合时， 由得xxx，,,320,5( 2DNx,,,2520此时，不符合题意( 故点Q与点M不能重合( 211,所以所求x的值为( (2)由(1)知，点Q 只能在点M的左侧， ?当点P在点N的左侧时， 2由， 20(3)20(2),，,,，xxxx xx,,0()2舍去，解得( 12 当x=2时四边形PQMN是平行四边形( ?当点P在点N的右侧时， 2由， 20(3)(2)20,，,，,xxxx xx,,,10()4舍去，解得( 12 当x=4时四边形NQMP是平行四边形( xx,,24或所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形( (3)过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F( 由于2x>x， 所以点E一定在点P的左侧( 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， - 36 - www.czsx.com.cn 223xxxx,,,即( xx,,0()4舍去，解得( 12 由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形( 例5.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的

设计

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方案( (1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗,若不符合，请用方程的方法说明理由; (2)你还有其他的设计方案吗,请在图中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明( 分析:(1)利用等量关系花园的长?花园的宽=荒地面积的一半得到路的宽度，跟小芳所给的道路比较即可; (2) 利用同底等高的三角形的面积等于矩形的面积的一半，可得另一方案;保证阴 影部分的面积等于荒地面积的一半即可( - 37 - www.czsx.com.cn 解:(1)不符合( 设小路宽度均为xm，根据题意得: (16-2x)(12-2x)=1/2?16?12， 解这个方程得:x1=2，x2=12( 但x2=12不符合题意，应舍去，?x=2( ?小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m( (2)答案不唯一((6分) 左边的图形，取上边长得中点作为三角形的顶点，下边的长的两个端点为三角形的另外两 个顶点，此三角形的面积等于矩形面积的一半; 右图横竖两条小路，且小路在每一处的宽都相同，其小路的宽为4米时，除去小路剩下的 面积为距离面积的一半( 二(同步巩固 1. 如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA=a， OB=OC=OD=1，则a等于( ) A((5根号+1)/2 B((5根号-1/2 C(1 D(2 易证?BOC??ABC，即可得BO/AB=BC/AC，即1a=aa+1，解得a的值即可解题( 解:??BAC=?BCA=?OBC=?OCB， ??BOC??ABC， 所以BO/AB=BC/AC， 即1a=aa+1， 所以，a2-a-1=0( 由a,0， 解得a=1+52( 故选A( - 38 - www.czsx.com.cn 2. 如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2+17)cm，正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x,0)(求这两段铁丝的总长( 解:由已知得(正五边形周长为，正六边形周长为( 因为正五边形和正六边形的周长相等(所以 整理得，，配方得(解得，(舍去) 故正五边形的周长为 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm. 答:这两段铁丝的总长为420cm 3. 如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆(设矩形的宽为x，面积为y( (1)求y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围; (2)生物园的面积能否达到210平方米,说明理由( 分析:(1)设矩形的宽为x，则长为40-2x，根据矩形面积公式“面积=长?宽”列出函数的关系式( (2)令y=210，看函数方程有没有解, 解:(1)设矩形的宽为x，则长为40-2x， y=x(40-2x)=-2x2+40x又要围成矩形， 则40-2x,x，x,40/3( x的取值范围:0,x,40/3; - 39 - www.czsx.com.cn (2)令y=210，则-2x2+40x=210变形得: 2x2-40x+210=0 又??=40?40-4?2?210,0 ?方程无实数解， ?生物园的面积达不到210平方米( 4. 如图，是上海世博园内的一个矩形花园，花园长为100米，宽为50米，在它的四角各建有一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花草(已知种植花草部分的面积为3600米2，那么矩形花园各脚处的正方形观光休息亭的周长为多少米, 分析:可设正方形观光休息亭的边长为x米，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解( 解:设正方形观光休息亭的边长为x米( 依题意，有(100-2x)(50-2x)=3600(3分) 整理，得x2-75x+350=0(4分) 解得x1=5，x2=70(5分) ?x=70,50，不合题意，舍去，?x=5(6分) 答:矩形花园各角处的正方形观光休息亭的周长为20米(7分) 5. 象棋比赛有奇数个选手每两人比一局,记分办法:胜1分,和0.5分,输0分.知其中两人共得8分,其余人平均分为整数，求参加比赛的人数, - 40 - www.czsx.com.cn 6. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间(据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出(每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间(该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元( (1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间, (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元, 分析:(1)直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间; (2)设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益=租金-各种费用=275万元作为等量关系列方程求解即可( 解:(1)?30000?5000=6 ?能租出30-6=24间( (2)5000元=0.5万元， 设每间商铺的年租金增加x万元，则 (30-x/0.5)?(10+x)-(30-x/0.5)?1-x/0.5?0.5=275 2x2-11x+5=0 ?x=5或0.5 ?每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元( 专题十二 勾股定理 一(典型例题 例1. 如图所示(已知:在正方形ABCD中，?BAC的平分线交BC于E，作EF?AC于F，作FG?AB于G(求证:AB2=2FG2 - 41 - www.czsx.com.cn 分析:注意到正方形的特性?CAB=45?，所以?AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，进而证明?ABE??AFE，即可得AF=AB，根据AF2=AG2+FG2=2FG2即可解题( 证明:?AE是?FAB的平分线，EF?AF，又AE是?AFE与?ABE的公共边， ?Rt?AFE?Rt?ABE(AAS)， ?AF=AB(? 在Rt?AGF中，??FAG=45?， ?AG=FG， ?AF2=AG2+FG2=2FG2(? 由?，?得AB2=2FG2( 例2. 如图，?ABC的BC边的中点为M，证明:AB,+AC,=2(AM,+BM,)( 注:证线段的平方和(或平方差),一般要考虑用勾股定理,没有直角三角形可添辅助线构造直角三角形 思路:过A作AD?BC于D,运用勾股定理并结合乘法公式可获证. 证明:作BC边上的高AD. 由勾股定理,得AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+DC2. 又因为 AD2=AM2-MD2,BM=MC 所以AB2+AC2=2AD2+BD2+DC2 =2AM2-2MD2+(BM+MD)2+(MC-MD)2 =2AM2-2MD2+BM2+2BM?MD+MD2+MC2-2MC?MD+MD2 =2AM2+2BM2 =2(AM2+BM2) - 42 - www.czsx.com.cn 例3 如图所示(求证:任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍( 分析:对角线中点连线为PQ，可看作?BDQ的中线，分别计算BQ2，DQ2，代入2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2(即可计算出即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2( 证明:设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P( 在?BDQ中，BQ,+DQ,=2PQ,+2•2(BD/2) ,=2PQ,+BD,/2 (利用例2证明结果) 即2BQ,+2DQ,=4PQ,+BD,(? 在?ABC中，BQ是AC边上的中线， 所以BQ,=1/4(2AB,+2BC,-AC,)(? 在?ACD中，QD是AC边上的中线， 所以DQ,=1/4(2AD,+2DC,-AC,)(? 将?，?代入?得1/2(2AB,+2BC,-AC,)+1/2(2AD,+2DC,-AC,) =4PQ,+BD,， 即AB,+BC,+CD,+DA,=AC,+BD,+4PQ,( 例4 如图所示(已知?ABC中，?C=90?，D，E分别是BC，AC上的任意一点(求证:AD,+BE,=AB,+DE,( - 43 - www.czsx.com.cn 分析:由勾股定理可得:AD2=AC2+CD2，BE2=CE2+BC2，CD2+CE2=DE2，AC2+BC2=AB2，即:AD2+BE2=AC2+BC2+CD2+CE2，将DE2，AB2等价替换其中相应的值即可 证明:(1)??C=90?，由勾股定理可得: AD,=AC,+CD,，BE,=CE,+BC,， 又?CD,+CE,=DE,，AC,+BC,=AB,， ?AD,+BE,=AC,+BC,+CD,+CE,=AB,+DE,; 例5 求证:在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍( 如图2-25所示(设直角三角形ABC中，?C=90?，AM，BN分别是BC，AC边上的中线(求证: 4(AM,+BN,)=5AB, 分析:分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，可从勾股定理入手(我们分别把M，N当成所在边的中点，那么可直接利用AM,+BN,=AB,+MN, 证明:连接MN，线段MN称为?ABC的中位线，?MN?AB且MN=1/2AB AM,+BN,=AB,+MN,， 所以4(AM,+BN,)=4AB,+4MN,( 由于M，N是BC，AC的中点， 所以MN=1/2AB( 所以4MN,=AB,( ?4(AM,+BN,)=5AB,( - 44 - www.czsx.com.cn 例6.已知:如图1，Rt?ABC中，?ACB=90?，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE?DF, 求证;EF2=AE2+BF2 证明:延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM( ?AD=BD，?ADM=?BDF， ??ADM??BDF( ?AM=BF，?MAD=?B( ?AM?BC(??MAE=?ACB=90?( 又DE?DF，MD=FD，?EF=EM( ?AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2(7分) 二(同步巩固 1. 如图,在三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,点D、E在BC上,角DAE=45度,求证:BE2+CD2=DE2 - 45 - www.czsx.com.cn 证明: 过A点做AF?AD，并截取AF=AD 连接FD，FE，FB ??FAD=90?，?EAD=45? ??FAE=90?-45?=45? ??FAE=?DAE 又:AE=AE，AD=AF ??FAE??DAE ?FE=DE ??FAB=?FAD-?BAD，?DAC=?BAC-?BAD 又:?FAD=?BAC=90? ??FAB=?DAC=90?-?BAD 又:AF=AD，AB=AC ??FAB??DAC ?BF=CD ??FAB??DAC ??ABE=?C=45? 又:?ABC=45? ??FBE=45?+45?=90? ??FBE是直角三角形 ?BE^2+BF^2=FE^2 又:BF=CD，FE=DE ?BE^2+CD^2=DE^2 - 46 - www.czsx.com.cn 2. 已知如图，在?ABC中，?A=90?，DE为BC的垂直平分线，求证，BE2=AC2+AE2 DE为BC的垂直平分线 所以三角形CED=三角形BED BE=CE ?A=90? CE^2=AC^2+AE^2 所以BE^2=AC^2+AE^2 3. 如图，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置(如图?所示)时，易证得结论:PA2+PC2=PB2+PD2( 以下请你探究:当P点分别在图?、图?中的位置时，即P在矩形ABCD的内部和外部时，线段PA2，PB2，PC2，PD2又有怎样的数量关系,请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图?(P在矩形ABCD的内部)的结论( - 47 - www.czsx.com.cn 4. 由?ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F(求证: AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2 分析:连接OA、OB、OC，构造直角三角形:?AOF，?AOE，?BOF，?BOD，?COD，?COE，根据勾股定理，分别用AE2、AF2、FO2、EO2、DO2、BF2、BD2、CD2、CE2表达OA2，OB2，OC2(即可证明该题( 证明: 连接OA、OB、OC， AO2=AE2+EO2; AO2=AF2+FO2， BO2=BF2+FO2，BO2=BD2+OD2; CO2=CD2+DO2，CO2=CE2+EO2; AO2+BO2+CO2=AF2+FO2+BD2+OD2+CE2+EO2=AE2+EO2+BF2+FO2+C D2+DO2， 整理得:AF2+BD2+CE2=BF2+CD2+AE2 5(如图2-31所示(从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF(求证:BC2=AB?BF+AC?CE( - 48 - www.czsx.com.cn 证明:根据勾股定理， BC^2=BF^2+FC^2 BC^2=CE^2+BE^2 展开得 BC^2=AB^2-2AB*AF+AC^2 BC^2=AC^2-2AC*AE+AB^2 所以AB*AF=AC*AE 因此BC^2=AB^2-2AB*AF+AC^2 =AB^2-AB*AF+AC^2-AC*AE =AB(AB-AF)+AC(AC-AE) =AB*BF+AC*CE 6. 如图将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处，BF交AD于点E， AD=10，AB=6.求?BDE的面积是多少 解:?将该长方形沿对角线BD折叠， ??C′BD=?DBC， ?四边形ABCD是长方形， ?AD?BC， ??ADB=?DBC， ??ADB=?FBD， ?BE=DE， 设BE=DE=x， ?AE=10-x， ?四边形ABCD是长方形， ??A=90?， ?AE,+AB,=BE,， (10-x),+6,=x2 x= - 49 - www.czsx.com.cn ?S?EDB= 专题十三勾股定理逆定理 一(典型例题 例1.已知|x-12|+|x+y-25|与z,-10z+25互为相反数，则以,x,y,z为三边的三角形是( )三角形 分析:由已知得|x-12|+(y-13)2+z2-10z+25=0，则可求得x、y、z三边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形形状 解:?|x-12|+(y-13),+z,-10z+25=0， ?|x-12|+(y-13),+(z-5),=0， ?x=12，y=13，z=5， ?5,+12,=13, ?以x，y，z为边的三角形为直角三角形( 例2. 已知:在?ABC中，CD?AB于D，且CD2=AD•BD( 求证:?ABC总是直角三角形( 证明:?AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， ?AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD•BD+BD2=(AD+BD)2=AB2， ??ACB=90?( ??ABC总是直角三角形( 例3.,如图四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB垂直BC,求四边形ABCD的面积 - 50 - www.czsx.com.cn 连接ac 由勾股定理易得ac=根号5 由勾股定理的逆定理得?acd为直角三角形 S四边形ABCD=1*2/2+根号5*2/2=1+根号5 例4. 如图，在?ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求证，?ABD为直角三角形 证明一 过C作CE//AD交BA延长线于点E ?BD=DC ?AD是?EBC的中位线 ?CE=2AD=13 AE=AB=5 而AC=13 ?AC?=AE?+EC? ??AEC是Rt?，?E=90? ?AD//CE ??BAD=?E=90? 证明二延长AD到E,使DE=DA=6,连接CE. 又BD=CD;角BDA=角CDE. 故:?BDA?ΔCDE(SAS),得:CE=BA=6;角E=角BAD,得CE平行AB. CE?+AE?=25+144=169; AC?=169; 即CE,+AE,=AC,,故:角E=90度=角DAB,即三角形ABD为直角三角形 例5. 如图，在四边形ABCD中，已知AB,BC,DA的长分别为2,2,2，且CD2=12，AB?BC,求?DAB的度数 - 51 - www.czsx.com.cn 例6，如图，在?ABC中，BC=6，AC=8，在?ABE中DE是AB边上的高， DE=7，?ABE的面积为35,求?C的度数 S?ABE=AB*DE/2 所以 AB*7/2=35 AB=10 在?ABC中 AB=10,AC=8,BC=6 有 AB,=AC,+BC, 即三角形ABC是直角三角形 即 ?C=90 例7.已知:如图，正方形ABCD，F为DC的中点，E为CB的四等分点且 CE=1/4CB，求证;AF?FE - 52 - www.czsx.com.cn 证明:边长为4a AF2=(4a)2+(2a)2=20a2，EF2=(2a)2+a2=5a2，AE2=(4a)2+(3a)2=25a2( ?AF2+EF2=AE2， ??AFE是直角三角形 例8. 如图，在?中，?ACB=90?，AC=BC,P是?ABC内的一点，且PB=1，PC=2， PA=3，求?BPC的度数 证明一，如图， ??ACP绕点C逆时针旋转90?得到?BCD， ?CP=CD=2，?DCP=90?，DB=PA=3， ??CPD为等腰直角三角形， ?PD=根号2?PC，?CPD=45?， 在?PDB中，PB=1，PD=2根号2，DB=3， 而1,+(2根号2),=3,， ?PB2+PD2=BD2， ??PBD为直角三角形， ??DAB=90?， ??BPC=45?+90?=135?( - 53 - www.czsx.com.cn 证明二.ABC外侧做?QBC使QC=PC=2,QB=PA=3,则 ?QBC??PAC. 有?QCB=?PCA,??QCP=?QCB+?PCB=?ACB=Rt?. ??QPC=45?根据勾股定理,得PQ=2?2. 又PB=1,BQ=3,有PB^2+PQ^2=BQ^2. ??BPQ=90?. ?BPC=?BPQ+?QPC=90?+45?=135? 专题十四勾股定理及定理的应用 一(典型例题 例1.正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE=a，AF=b，且SEFGH=23，则|b-a|的值 分析:由四边形ABCD与四边形ABCD是正方形，易证得?DEH=?AFE，然后由AAS证得?AEF??DHE，根据全等三角形的对应边相等可得AF=DE，所以a+b=1，根据a+b=1，且a2+b2=23的等量关系求解，即可求得答案( 解:?四边形ABCD与四边形ABCD是正方形， ??A=?D=?FEH=90?，EF=EH， ??AEF+?DEH=90?，?AEF+?AFE=90?， ??DEH=?AFE， 在?AEF和?DHE中， EH=EF ?EAF=?DAE ?DEH=?AFE， ??AEF??DHE， ?AF=DE=b， ?DE+AE=1， - 54 - www.czsx.com.cn ?a+b=1?， ?SEFGH=EF,AE,+AF,=2/3 即:a,+b,=2/3， ?ab=1/2 [(a+b),-(a,+b,)]=1/6 ?|b-a|=根号(a,+b,-2b2)=根号3/3 例2. 如图，?ABC中，AB=10，BC=9，AC=17,求?ABC的面积 分析:作辅助线BD，AD，根据直角?ABD和直角?ACD中关于AD的计算方程求AD，BD;AD即BC边上的高( 解:延长CB，作AD?CB延长线与D点，设AD=x，BD=y， 在直角?ADB中，AB2=x2+y2， 在直角?ADC中，AC2=x2+(y+BC)2， 解方程得 y=6，x=8， 即AD=8，?AD即BC边上的高， ?BC边上的高为8( 答:BC边上的高为 8( 例3. 如图，四边形ABCD中?DAB=60?，?B=?D=90?，BC=1，CD=2，则对角线AC的长为( ) - 55 - www.czsx.com.cn 分析:延长DC与AB交于一点K(解直角三角形求出DK，再求出AD，AK的长，求出AB，利用勾股定理求出AC( 解1延长DC交AB的延长线于点K; 在Rt?ADK中，?DAK=60??AKD=30?，BC=1，?CK=2，BK=3， ?DK=CD+CK=4， AD=4根号3/3，AK=8根号/3 AB=5根号3/3，AK=2根号 解2.AB、CD交于点E 由，?DAB=60?，?B=?D=90?可得角BCD=120 所以?E=30?，因为?EBC=90,BC=1 所以EC=2 又角D=90?，所以AD=4/?3 AC=2?21/3 解3.，延长BC和AD，设交点为E 在直角三角形ECD中，因为?DCE=60?，因此EC=2DC=4 在直角三角形ABE中，因为?DAB=60?，因此AB=EB/根号3=5/根号3 在直角三角形ABC中，已有BC=1，AB=5/根号3，由勾股定理算得AC=2*根号21 /3 - 56 - www.czsx.com.cn 例4. 如图，在四边形ABCD中，?ABC=30?，?ADC=60?，AD=DC(证明:BD2=AB2+BC2 ( 分析:要证明BD2=AB2+BC2，想到勾股定理，由于BD，AB，BC不在同一个三角形中，连接AC，将?DCB绕点C旋转60?到?ACE的位置，连接EB，证明?ABE是直角三角形即可( 证明:如图，连接AC， ?AD=CD，?ADC=60?， ??ADC是正三角形( ?DC=CA=AD( 将?DCB绕点C顺时针旋转60?到?ACE的位置，连接EB， ?DB=AE，CB=CE，?BCE=?ACE-?ACB=?BCD-?ACB=?ACD=60?， ??CBE为正三角形( ?BE=BC，?CBE=60?( ??ABE=?ABC+?CBE=90?( 在Rt?ABE中，由勾股定理得AE2=AB2+BE2( ?BD2=AB2+BC2( 例5. 如图:在?ABC中，CE平分?ACB，CF平分?ACD，且EF?BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2的值 - 57 - www.czsx.com.cn 分析:根据角平分线的定义推出?ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2( 解:?CE平分?ACB，CF平分?ACD， ??ACE=1/2ACB，?ACF=1/2ACD，即?ECF=1/2?ACB+?ACD)=90?， 又?EF?BC，CE平分?ACB，CF平分?ACD， ??ECB=?MEC=?ECM，?DCF=?CFM=?MCF， ?CM=EM=MF=5，EF=10， 由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100( 例6. 如图，?ABC是直角三角形，?CAB=90?，D是斜边BC上的中点，E,F分别是AB边上的点，且DE垂直DF.. (1).(如图1).若AB=AC,BE=12，CF=5，求?DEF的面积 (2).(如图2).求证，BE,+CF,=EF, . (1.)中点,所以AD垂直平分BC, 因此也平分等腰直角三角形ABC.即?DAC=45,AD=DC,S?ADC=1/2*S?ABC 因为?ADF+?FDC=?ADF+?EDA=90,所以?FDC=?EDA,因此?ADE??CDF,则AE=5,AF=12 因为S?ADC=S?ADF+S?CDF=S?ADF+S?ADE=SAEDF 则S?DEF=SAEDF-?AEF=S?ADC-?AEF =1/2*S?ABC-?AEF =1/2*1/2*17*17-1/2*5*12=42.25 (2)连结EF， 在直角三角形AEF中， AE,+AF,=EF, 在等腰直角三角形中， D是中点， 所以AD也是三角形ABC的垂线，即角ADC为直角 - 58 - www.czsx.com.cn 角DAB,45度，角ACB=45度，即角DAB=角ACB 又因DE垂直DF，即角EDF为直角 所以角AEB=角FDC 所以 三角形DAE全等于三角形DCF 所以 AE=CF 同理 AF=BE 所以 BE,+FC,=EF, 二，同步巩固 1.如图，四边形ABCD中，角ACB=90?，CD垂直AB于点D，若AD=8，BD=2，求CD的长度 1.如图，在Rt?ABC中，?ACB=90?，CD?AB于D，若AD=1，BD=4，则CD的长度 解:Rt?ACB中，?ACB=90?，CD?AB; ??ACD=?B=90?-?A; 又??ADC=?CDB=90?， ??ACD??CBD; ?CD2=AD•BD=4，即CD=2( 2. 如图，P是等边?ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作?PBQ=60?，且BQ=BP,连接CQ,PQ,若PA:PB:PC=3:4:5，试判断?PQC的形状 - 59 - www.czsx.com.cn 分析:根据等边三角形的性质利用SAS判定?ABP??CBQ，从而得到AP=CQ;设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定?PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定?PQC是直角三角形( 解:由PA:PB:PC=3:4:5， 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a， 连接PQ，在?PBQ中 由于PB=BQ=4a，且?PBQ=60?， ??PBQ为正三角形( ?PQ=4a( 于是在?PQC中 ?PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2 ??PQC是直角三角形( 3.如图，?ADC和?BCE都是等边三角形，角ABC=30?，试说明;BD2=AB2+BC2 4. 在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E,F分别为AB,AC边上的点，且DE垂直DF。 (1)说明;BE2+CF2=EF2 (2)若BE=12，CF=5,试求?DEF的面积 - 60 - www.czsx.com.cn (1)先连接AD，用角边角证出三角形BED全等于三角形AFD，得出BE=AF，然后用角边角证三角形AED全等于三角形CFD得出AE=CF，又因为三角形AEF为直角三角型，所以AE的平方加AF的平方等于EF的平方，所以CF的平方加BE的平方等于EF的平方 (2)AD垂直平分BC, 因此也平分等腰直角三角形ABC.即?DAC=45,AD=DC,S?ADC=1/2*S?ABC 因为?ADF+?FDC=?ADF+?EDA=90,所以?FDC=?EDA,因此?ADE??CDF,则AE=5,AF=12 因为S?ADC=S?ADF+S?CDF=S?ADF+S?ADE=SAEDF 则S?DEF=SAEDF-?AEF=S?ADC-?AEF =1/2*S?ABC-?AEF =1/2*1/2*17*17-1/2*5*12=42.25 5. 如图?ABC中，?ACB=90?，CD平分?ACB，AE?CD于点D，AE交BC于点E，EF?AB于点F，AC=6，BC=8，(1),比较AC,EC的大小，并说明理由。(2)，求AB的长，(3).求AF的长 - 61 - www.czsx.com.cn 6. 在?ABC中，?ACB=DBC=?90?，E为BC的中点，DE?AB,垂足为F，且AB=DE，求证;?BCD为等腰直角三角形;(2).若BD=10，求AC的长;(3).在(2)的条件下求BF的长 分析:(1)要证?BCD是等腰直角三角形，只需证BC=DB，由已知BD?BC，EF?AB，可证?2=?3，由已知AC?BC，DB?BC，可证AC?BD，得?A=?2，即可证得?A=?3，又已知?ACB=?EBD=90?，AB=DE，符合三角形全等的判定定理AAS，即可证得?ACB??EBD，所以BC=DB，即证?BCD是等腰直角三角形( (2)由(1)知?ACB??EBD，得到AC=EB，又因为BD=8cm，即BC=8cm(又因为E是BC中点，故BE=4，即可求AC=4cm (1)证明:如图所示， ?BD?BC，EF?AB， ??1+?2=90?，?1+?3=90?， ??2=?3( ?AC?BC，DB?BC， ?AC?BD( ??A=?2( ??A=?3( ?又?ACB=?EBD=90?，AB=DE， ??ACB??EBD( ?BC=DB( ??BCD是等腰直角三角形( (2)解:由?ACB??EBD， ?AC=EB， ?BD=8cm， ?BC=8cm( ?E是BC中点， - 62 - www.czsx.com.cn ?BE=4cm， ?AC=4(cm)( 7. 为了美化环境，计划在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边 分析:由题意知面积是一定的，这是解题的关键，由已知一边长为10，所以要使面积相等就要保证高相等，因三角形不知哪边边长为10，要分为三种情况来讨论 解:分三种情况计算( 不妨设AB=10米，过点C作CD?AB，垂足为D，三角形的高CD=2S?ABC/AB=(2?30)?10=6米， (1)当AB为底边时，AD=DB=5(米)(如图1)AC=BC=根号(6,+5,)=根号61(米); (2)当AB为腰且三角形为锐角三角形时(如图2)AB=AC=10(米) AD=根号(AC,-CD,)=8(米)，BD=2(米) BC=根号(6,+2,)=2根号10(米)(1分); (3)当AB为腰且三角形为钝角三角形时(如图3)AB=BC=10(米) AC=根号(6,+18,)=6根号10(米)( - 63 - www.czsx.com.cn 8. 如图，在?ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，请用学过的知识说明AB2-AP2=PB?PC 分析:本题可通过构建直角三角形求解，作BC边上的高AF;可在Rt?ABF和Rt?APF中，分别用勾股定理表示出AF的长，联立两式即可求得所证的结论 解:过A作AF?BC于F( 在Rt?ABF中，AF2=AB2-BF2; 在Rt?APF中，AF2=AP2-FP2; ?AB2-BF2=AP2-FP2; 即AB2=AP2+BF2-FP2=AP2+(BF+FP)(BF-FP); ?AB=AC，AF?BC， ?BF=FC; ?BF-FP=CF-FP=PC; ?AB2=AP2+BP•PC( 009.已知，如图，等腰RtΔABC中，?ACB=90，AC=BC，p、Q在斜边上，且?PCQ=45 222 求证:PQ=AP+BQ - 64 - www.czsx.com.cn C BAPQ(第8题) 00将ΔBCQ绕C点顺时针旋转90，到达ΔCAD的位置，连结PD，再证ΔDAP=90， ΔCDP?ΔCQP 10. 已知?ABC中，AB=AC,?B=2?A，求证;AB2-BC2=AB?BC 证明:作?B的平分线交AC于D， 则?A,?ABD， ?BDC,?C,2?A ?AD,BD,BC 作BM?AC于M，则CM,DM AB2,BC2,(BM2，AM2),(BM2，CM2) ,AM2,CM2,(AM，CM)(AM,CM) ,AC?AD,AB?BC 专题十五平行四边形 一(典型例题 例1. 如图，已知线段AB?CD,AD与BC相交于点K，BE平分?ABC。AE=1/2AD,猜想线段AB,BC,CD三者之间有怎样的等量关系，请写出你的结论并予以证明 例2.如图，已知CD是?ABC的中线，CN=MN,求证，AM=CB - 65 - www.czsx.com.cn 延长CD到E，使CE?AE，延长AE到F，使BF?AF. 在Rt?ABF中，?AD=BD.?DF=AB/2=AD.?CE是AF的中垂线. ??BCE=?CMN=?AME=?EMF，?BC?FM.?CE?AF，BF?AF.?BF?CE.?得平行四边形BCMF. ?AM=FM=BC 例3.如图所示(?ABCD中，DE?AB于E，BM=MC=DC(求证:?EMC=3?BEM 分析:由于?EMC是?BEM的外角，因此?EMC=?B+?BEM(从而，应该有?B=2?BEM，这个论断在?BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决(利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样?B=?MCF及?BEM=?F，因此，只要证明?MCF=2?F即可(不难发现，?EDF为直角三角形(?EDF=90?)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开( - 66 - www.czsx.com.cn 证明:延长EM交DC的延长线于F，连接DM( ?CM=BM，?F=?BEM，?MCF=?B， ??MCF??MBE(AAS)， ?M是EF的中点(由于AB?CD及DE?AB， ?DE?FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线， 由直角三角形斜边中线的性质知?F=?MDC，又由已知MC=CD， ??MDC=?CMD， 则?MCF=?MDC+?CMD=2?F( 从而?EMC=?F+?MCF=3?F=3?BEM( 例4.如图，在?ABC中，AB=3，AC=4，BC=5.?ABD,?ACE,?BCF都是等 边三角形，求四边形AEFD的面积 由AB=3，AC=4，BC=5，得 ?ABC是Rt?，?BAC=90?。 又因 ?ABD、?ACE、?BCF均为等边三角形， 所以 BC=FC，AC=EC，AB=AD=EF. 则 ?ABC??EFC 同理，可得 ?ABC??DBF 所以 ?FEC=?BAC=90?，EF=AB，DF=AC 所以 AE=DF，EF=AD，则四边形AEFD是平行四边形。 故 AE=AC=4，EF=AD=AB=3. 又 ?AEC=60?，所以 ?AEF=30? 过F作FM?AE，所以 FM=1/2 FE =3/2 所以 S平行四边形AEFD=AE?FM=4?3/2=6 例5.如图，四边形ABCD是矩形，?EDC=?CAB,?DEC=90?。(1)，求证; AC?DE，(2).过点B作BF?AC于点飞，连接EF,试判别四边形BCEF的形 状，并说明理由 - 67 - www.czsx.com.cn 分析:(1)要证AC?DE，只要证明，?EDC=?ACD即可; (2)要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四 边形的两组对边分别相等( (1)证明:?四边形ABCD是矩形， ?AB?CD， ??ACD=?CAB， ??EDC=?CAB， ??EDC=?ACD， ?AC?DE; (2)解:四边形BCEF是平行四边形(理由如下: 在?CDE和?BAF中，?DEC=?AFB ?EDC=?BAF CD=BA， ??CDE??BAF(AAS)， ?CE=BF，DE=AF(全等三角形的对应边相等)， ?AC?DE， ?四边形ADEF是平行四边形， ?AD=EF， ?AD=BC， ?EF=BC， ?四边形BCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)( 例6.如图，在四边形ABCD中，在AD,CD上各取一点E,F使AF=CE，AF与 CE相交于P，求证，PB平分?APC - 68 - www.czsx.com.cn 连接BF，则?ABF的面积=1/2平行四边形ABCD的面积 连接BE，则?BCE的面积=1/2平行四边形ABCD的面积 ??ABF的面积=?BCE的面积 ?AF=CE ?AF和CE上的高相等，即点B到AF，CE的距离相等 所以B在?APC的平分线上 ??APB=?BPC 所以PB平分?APC 二，同步巩固 1. 如图所示(在?ABCD中，AE?BC，CF?AD，DN=BM(求证:EF与MN互相平分 分析:由题中条件可得Rt?ABE?Rt?CDF，从而在Rt?ABE与Rt?CDF中，由于DN=BM，所以可得到ME=FN，进而再由?MAF??NCE，得出MF=NF，即四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分 证明:连接ME，EN，NF，FM( 因为ABCD是平行四边形， 所以AD?BC，且AD=BC，AB?CD，且AB=CD，?B=?D( 又AE?BC，CF?AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF( 所以Rt?ABE?Rt?CDF(HL，或AAS)，BE=DF(又由已知BM=DN，所以 ?BEM??DFN(SAS)， - 69 - www.czsx.com.cn ME=NF(? 又因为AF=CE，AM=CN，?MAF=?NCE， 所以?MAF??NCE(SAS)， 所以MF=NF(? 由?，?，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分( 2.如图，?ABC中，AB=AC，点P、Q分别在AC、AB上，且AP=PQ=BQ=BC， 则?A的大小是 B 过Q作QE//BC，使得QE=QB，连接EP,EC 则四边形BCEQ为菱形，由EC//AB得出?ECP=?A=?PQA PC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ 故?ECP??PQA 故PE=AP=PQ=QE，??PQE为等边三角形， 故图中的x=20?，因此?ACQ=30?. ， ??A=(180/7)?( - 70 - www.czsx.com.cn 3.如图所示(在平行四边形ABCD中，?ABE和?BCF都是等边三角形(求证:?DEF是等边三角形( 分析:等边三角形中，三条边相等，三个角都是60?，则可由60?角及平行四边形对角相等的性质可得?DAE=?1，即?DAE??FCD，得出DF=DE，同理可得出三条边都相等，进而可得出结论( 证明:??ABE和?BCF都是等边三角形， ?AE=AB=CD，CF=BC=AD， ??BAE=?BCF=60?，即?DAE+?BAD=?1+?BCD=60?， 在平行四边形ABCD中，则?BAD=?BCD， ??DAE=?1， ??DAE??FCD，即DF=DE， 同理又可得?BEF??AED，即DE=EF， ?DE=DF=EF，即?DEF是等边三角形( 4.如图所示，在?ABC中，?BAC=90?，AD?BC于D，BE平分?ABC交AD于E，EF?BC交AC于F，那么AE与CF相等吗,请验证你的结论( 分析:过E作EG?CF交BC于G，可得四边形EGCF是平行四边形，则GE=CF，需证AE=GE，可通过证明?ABE??GBE(AAS)证得 解:AE=CF( 理由:过E作EG?CF交BC于G， ??3=?C， ??BAC=90?，AD?BC， - 71 - www.czsx.com.cn ??ABC+?C=90?，?ABD+?BAD=90?， ??C=?BAD， ??3=?BAD， 又??1=?2，BE=BE， ??ABE??GBE(AAS)， ?AE=GE， ?EF?BC，EG?CF， ?四边形EGCF是平行四边形， ?GE=CF， ?AE=CF( 5.实践探究 如图1，?ABC中，AD为BC边上的中线，则S?ABD=S?ADC( 实践探究 (1)在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 (2)在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 (3)在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 解决问题: (4)在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4= - 72 - www.czsx.com.cn 分析:(1)利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可( (2)利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可( (3)利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可( (4)先设空白处面积分别为:x、y、m、n由上得S四边形BEDF=1/2S四边形ABCD，S四边形AHCG=1/2S四边形ABCD，分别求得S1、S2、S3、S4(然后S1+S2+S3+S4=S阴即可( 解:(1)由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点， 设空白处面积分别为:x、y、m、n(见右图) 得S阴=1/2BF•CD=12/AB•CD，S矩形ABCD=AB•CD， 所以S阴=1/2S矩形ABCD; (2)同理可得;S阴=1/2S平行四边形ABCD; (3)同理可得;S阴=1/2S四边形ABCD; (4)由上得S四边形BEDF=1/2S四边形ABCD，S四边形AHCG=1/2S四边形ABCD， ?S1+x+S2+S3+y+S4=1/2S四边形ABCD(S1+m+S4+S2+n+S3=12S四边形ABCD， ?(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S四边形ABCD( ?(S1+x+S2+S3+y+S4)+(S1+m+S4+S2+n+S3)=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S 阴 ?S1+S2+S3+S4=S阴=20( 故答案分别为:(1)S阴=1/2S矩形ABCD; (2)S阴=1/2S平行四边形ABCD; (3)S阴=1/2S四边形ABCD; (4)20( - 73 - www.czsx.com.cn 专题十六 距形 一(典型例题 例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE?BD，PE?AC，E,F分别是垂足，求PE+PF的长 延长CD至M,使DM=CD,连接AM，过P作PN?AM,N为AM上的点。 在?ACM中，AD?CM且CD=DM, 则AD是?ACM的角平分线。 则PF=PN. 又在四边形ABDM中，AB平行等于DM。 则为平行四边形。AM平行BD, 故PE,PN在同一直线上. 那么PE+PF=PE+PN=EN 平行四边形ABDM面积 S=ABxAD=BDxEN 而BD=?(5x5+12x12)=13 则EN=ABxAD/BD=5x12/13=60/13. 例2. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米(点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速移动，如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0?t?6)，那么: (1)当t为何值时，?QAP为等腰直角三角形, (2)求四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论( - 74 - www.czsx.com.cn 分析:(1)若?QAP为等腰直角三角形，则只需AQ=AP，列出等式6-t=2t，解得t的值即可， (2)四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-三角形CDQ的面积-三角形PBC的面积，设DQ=x(根据题干条件可得四边形QAPC的面积=72-1/2x•12-1/2?6?(12-2x)=72-36=36，故可得结论四边形QAPC的面积是矩形ABCD面积的一半( 解:(1)若?QAP为等腰直角三角形，则只需AQ=AP， 根据题干条件知AQ=6-t，AP=2t， 列等式得6-t=2t，解得t=2秒， 即当t=2时，?QAP为等腰直角三角形; (2)四边形QAPC的面积=矩形ABCD的面积-三角形CDQ的面积-三角形PBC的面积， 设DQ=x(根据题干条件可得四边形QAPC的面积=72-1/2x•12-1/2?6?(12-2x)=72-36=36， 故可得结论四边形QAPC的面积是矩形ABCD面积的一半( 例3. 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，如图，若折痕EF长为根号6，求另一边长 例4. 如图所示(矩形ABCD中，CE?BD于E，AF平分?BAD交EC延长线于F(求 - 75 - www.czsx.com.cn 证:CA=CF( 分析:只要证明?CAF是等腰三角形，即?CAF=?CFA即可(由于?CAF=45?-?CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与?CAD相等的角a，使得?CFA=45?-a(为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明?FCH=?CAD( 证明:延长DC交AF于H，显然?FCH=?DCE( 又在Rt?BCD中，由于CE?BD，故?DCE=?DBC( 因为矩形对角线相等， 所以?DCB??CDA，从而?DBC=?CAD， 因此?FCH=?CAD(? 又AG平分?BAD=90?， 所以?ABG是等腰直角三角形， 从而易证?HCG也是等腰直角三角形， 所以?CHG=45?( 由于?CHG是?CHF的外角， 所以?CHG=?CFH+?FCH=45?， 所以?CFH=45?-?FCH(? 由?，??CFH=45?-?CAD=?CAF， 于是在三角形CAF中，有CA=CF( 例5. 如图所示(矩形ABCD中，F在CB延长线上，且BF=BC，E为AF中点，CF=CA(求证:BE?DE( 分析:连接BD，EO，证明AF=AC，根据AC=CF得?ACF为等边三角形，进而求证EO=BO=DO，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质即可求得?BED=90?，即BE?DE( - 76 - www.czsx.com.cn 证明:连接EC,则CE?AF ?BE是RT?ABF斜边上的中线,?BE=AE ??EAB=?EBA ??EAD=?EBC ?AD=BC ??AED??BEC ??AED=?BEC ??AED+?DEC=?AEC=90度 ??BEC+?DEC=90度 ?BE垂直于DE. 例6. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH( (1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形;如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明); (2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设?ADC=α(0?,α,90?)， ?试用含α的代数式表示?HAE; ?求证:HE=HG; ?四边形EFGH是什么四边形,并说明理由( 1)四边形EFGH是正方形 - 77 - www.czsx.com.cn (2)?在平行四边形ABCD中， AB?CD ??BAD=180?-α ??HAD和?EAB是等腰直角三角形 ??HAD=?EAB=45? ??HAE=360?-?HAD-?EAB-?BAD =360?-45?-45?-(180?-α) =90?+α ?证明:??ABE和?GDC是等腰直角三角形 ?AE=?2,2AB，DG=?2,2CD ?四边形ABCD是平行四边形 ?AB=CD ?AE=DG ??HAD和?GDC是等腰直角三角形 ??HDA=?CDG=45? ??HDG=?HDA+?ADC+?CDA =90?+α =?HAE ??HAD是等腰直角三角形 ?HA=HD ??HAE??HDG ?HE=HG ?解:四边形EFGH是正方形 有?同理可得 GH=GF GF=FE ?HE=HG ?GF=GH=FE=HE ?四边形EFGH是菱形 ??HAE??HDG ??DHG=?AHE 又??AHD=?AHG+?DHG =90? ??EHG=?AHG+?AHE =90? ?四边形EFGH是正方形 - 78 - www.czsx.com.cn 二，同步巩固 1.如图:矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将它沿EF折叠，使C与A重合， 求:(1)折痕EF长;(2)若将折叠后的纸片放在桌面上，则纸片覆盖桌面的面积是多少, (2)S?AEF=1/2EF•OA=1/2?15/2?5=75/4， ?覆盖桌面的面积是:S四边形ABCD-S?AEF=48-75/4=117/4cm2( 2. 如图，在?ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN?BC，设MN交角BCA的角平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F，当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形 1)MN‖BC??FEC=?BCE又?角平分线CE??FEC=?BCE=?ECO ?等腰三角形ECO?EO=CO 同理，等腰三角形FOC，?OFC=?OCF?OF=OC即EO=FO (2)?四边形AECF是矩形 - 79 - www.czsx.com.cn ?对角线相互平分，而EO=FO已证， 故须CO=AO，才能证矩形AECF 此时，满足条件CO=AO的O点为AC中点。 3. (1)操作发现: 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将?ABE沿BE折叠后得到?GBE， 且点G在矩形ABCD内部(小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你 同意吗,说明理由( (2)问题解决: 保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求AD/AB的值; (3)类比探求: 保持(1)中条件不变，若DC=nDF，求AD/AB的值( 解:(1)认同， 连接EF 连接DG，由翻折知EG=EA,?EAB=?EGB=90? ?E为AD中点?EG=ED ??EGF??EDF ?DF=GF (2)由翻折知?AEB=?GEB，?ABE=?GBE 由(1)知?EGF??EDF??GEF=?DEF,?BFE=?EFD ??GEB+?GEF=2/1×180?=90? 即?BEF=90???BEA=?BFE??BEA=?EFD ??EFD??BEA ?AE/AB=DF/DE所以AE/AB=DF/AE设FC=a则AB=2a 代入得:AE=a倍根号2?AD=2a倍根号2 AD/AB=根号2 (3)由(2)知 AE/AB=DF/AE设DF=b，则AB=nb 代入得:AE=.b倍根号n，AD=2b倍根号n AD/AB=2倍根号n/n - 80 - www.czsx.com.cn 4. 如图所示，将一长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗,若有，请找出并证明( 分析:根据折叠前后不变的量，找到?ABN??AEM，两边和夹角对应相等( 解:有，?ABN??AEM( 证明:?四边形ABCD是长方形， ?AB=DC，?B=?C=?DAB=90? ?四边形NCDM翻折得到四边形NAEM， ?AE=CD，?E=?D=90?，?EAN=?C=90?( ?AB=AE，?B=?E， ?DAB=?EAN， 即:?BAN+?NAM=?EAM+?NAM， ??BAN=?EAM( 在?ABN与?AEM中， ?B=?E AB=AE ?BAN=?BAM ??ABN??AEM( 5. 在?ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE( (1)如图?，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由; (2)如图?，当EF?GH时，四边形EGFH的形状是 菱形 ; (3)如图?，在(2)的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 菱形 ; (4)如图?，在(3)的条件下，若AC?BD，试判断四边形EGFH的形状， - 81 - www.czsx.com.cn 并说明理由 考点:正方形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;菱形的判定( 分析:(2)当EF?GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH 是菱形; (3)当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同(2); (4)当AC=BD且AC?BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分; 可通过证?BOG??COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的 菱形是正方形即可判断出EGFH的形状( 解答:解:(1)四边形EGFH是平行四边形;(1分) 证明:证?EOD??FOB(ASA) ?OE,OF. 同理可证GO=HO. ?四边形EGFH是平行四边形;(3分) (2)菱形;(1分) (3)菱形;(1分) (4)四边形EGFH是正方形;(1分) 证明:?AC=BD，?平行四边形ABCD是矩形; 又?AC?BD，?平行四边形ABCD是菱形; ?平行四边形ABCD是正方形，?BOC=90? ?BD平分?ABC，AC平分?BCD， 11??GBO,,45?，?FCO,=45?. ，ABC，BCD22 ??GBO=?FCO. 11又?OB,, OC, BDAC22 OB=OC; ?EF?GH， ??GOF=90?; ??BOG+?BOF=?COF +?BOF=90? ??BOG=?COF; ??BOG??COF; ?OG=OF，?GH=EF;(2分) - 82 - www.czsx.com.cn 由(1)知四边形EGFH是平行四边形，又?EF?GH，EF=GH; ?四边形EGFH是正方形((1分) 6. 如图1，在?ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作?APCD，AC与PD相交于点E，已知?ABC=?AEP=α(0?,α,90?)( (1)求证:?EAP=?EPA; (2)?APCD是否为矩形,请说明理由; (3)如图2，F为BC中点，连接FP，将?AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到?MEN(点M、N分别是?MEN的两边与BA、FP延长线的交点)(猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论( 证明:(1)在?ABC和?AEP中， ??ABC=?AEP，?BAC=?EAP， ??ACB=?APE， 在?ABC中，AB=BC， ??ACB=?BAC， ??EPA=?EAP( (2)答:?APCD是矩形( ?四边形APCD是平行四边形， ?AC=2EA，PD=2EP， ?由(1)知?EPA=?EAP， ?EA=EP， 则AC=PD， ??APCD是矩形( - 83 - www.czsx.com.cn (3)答:EM=EN( ?EA=EP， ??EPA=90?- 1/2α， ??EAM=180?-?EPA=180?-(90?- 1/2α)=90?+ 1/2α， 由(2)知?CPB=90?，F是BC的中点， ?FP=FB， ??FPB=?ABC=α， ??EPN=?EPA+?APN=?EPA+?FPB=90?- 1/2α+α=90?+ 1/2α， ??EAM=?EPN， ??AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到?MEN， ??AEP=?MEN， ??AEP-?AEN=?MEN-?AEN即?MEA=?NEP， ??EAM??EPN， ?EM=EN( 专题十七 菱形 一(典型例题 例1. 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长c’E交AD于H，连接 GH，那么EF与GH互相垂直平分吗 已知:将矩形ABCD沿EF折成如图所示的图形,D'F与BE相交于点G,延长C'E交AD 于H,连接GH.求证:EF与GH互相垂直平 证明:?EF是折痕， ??GFE,?HFE, ?D′F和C′E分别是DA、CB的一部分， ?D′F?C′H. ??GFE,?FEH. ??FEH,?HFE(等量代换)。 ?FH,EH。 ?点H在EF的垂直平分线上(和一条线段两端等距的点在这条线段的 垂直平分线上)。 同理可证，点G也在EF的垂直平分线上. ?GH垂直平分EF。 例2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直 - 84 - www.czsx.com.cn 线EF?BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证:四边形BEDF是菱形( 分析:由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD?BC，OB=OD，易证得?OED??OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF?BD，即可证得四边形BEDF是菱形 证明:?四边形ABCD是平行四边形， ?AD?BC，OB=OD， ??EDO=?FBO，?OED=?OFB， ??OED??OFB， ?DE=BF， 又?ED?BF， ?四边形BEDF是平行四边形， ?EF?BD， ??BEDF是菱形( 例3. 已知:在?ABC中，AD为中线，如图1，将?ADC沿直线AD翻折后点C落在点E处，连接BE和CE( (1)求证:BE?CE; (2)若AC=DC(如图2)，请在图2中画出符合题意的示意图，并判断四边形ADBE是什么四边形,请证明你的结论 1、将AD延长，交CE于F， 因?ADE全等?ADC，所以AE=AC，角EAF=FAC， - 85 - www.czsx.com.cn 所以，AF为?AEC的中垂线。所以EF=CF。AF?CE。 因为AD为中线，所以BD=CD。 所以CD:CB=1:2,CF:CE=1:2 所以，?CDF相似?CBE. 因为AF?CE， 所以BE?CE。 2、?ADC折叠后，?ADC全等于?ADE折，角ADE=角ADC。 因为AC=DC，AD为中线，所以AE=AC=DC=BD。 所以?ADE和?ADC为等边三角形。所以2倍角ADC+角C=180，2倍角ADE+角AEC=180。 因为角ADC+角ADE+角EDB=180。所以角ABD=角AED。AE平行BD。 因为AE=BD，所以ADBE为平行四边形。 例4. 如图，梯形ABCD中，AD?BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE?GF交AF于点E( (1)证明?AED??CGF; (2)若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形,并证明你的结论( 分析:(1)由已知得到平行四边形AFCD，推出?FAD=?C，?DEA=?FGC，根据AAS即可证出答案; (2)连接DF，BC=2AD、点F为BC中点，推出AD=BF，证出矩形ABFD，得到?ADF=?DFC=90?，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出DE=FG，得到平行四边形DEFG，证出邻边DG=FG，即可推出答案( 解答:(1)证明;?BC=2AD、点F为BC中点 ?CF=AD， ?AD?CF， ?四边形AFCD为平行四边形 ??FAD=?C， ?DE?FG， - 86 - www.czsx.com.cn ??DEA=?AFG ?AF?CD， ??AFG=?FGC， ??DEA=?FGC， ??AED??CGF( (2)菱形( 证明:连接DF， ?BC=2AD、点F为BC中点， ?AD=BF， ?AD?BF，?B=90?， ?四边形ABFD是矩形， ??ADF=?DFC=90?， ?DE=1/2AF、FG=1/2DC( ?DE?FG，AF?CD， ?四边形DEFG为平行四边形， 又??DFC=90?，点G为DC中点， ?FG=DG， ?平行四边形DEFG为菱形( 答:四边形DEFG是菱形( 例5. 如图:菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、 CD、DA上的内点(已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40(若既约分数mn 为矩形ABCD的周长，求m+n( 分析:由菱形性质知PR?SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知 PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心(由已知可得其中6个三角形的边长分 - 87 - www.czsx.com.cn 别为15、20、25(由对称性知CQ、CR的长为x、y(则Rt?ASP和Rt?CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt?的面积之和(设AS=x、AP=y，即可列出关于x、y的关系式，解得x、y即可计算m+n的值( 解:设AS=x、AP=y， 由菱形性质知PR?SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心(由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25(由对称性知CQ、CR的长为x、y(则Rt?ASP和Rt?CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt?的面积之和(则有: (20+x)(15+y)=6?1/2?20?15+2?1/2xy 则有3x+4y=120 ? 又x2+y2=625 ? 得x1=20x2=44/5 y1=15y2=117/5 当x=20时BC=x+BQ=40这与PR=30不合 故x=44/5y=117/5 ?矩形周长为2(15+20+x+y)=672/5 即:m+n=677 例6. 已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O( (1)如图1，连接AF、CE(求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长; (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿?AFB和?CDE各边匀速运动一周(即点P自A?F?B?A停止，点Q自C?D?E?C停止(在运动过程中， ?已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值( ?若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:cm，ab?0)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式( 解:(1)证明:??四边形ABCD是矩形， - 88 - www.czsx.com.cn ?AD?BC，??CAD=?ACB，?AEF=?CFE， ?EF垂直平分AC，垂足为O，?OA=OC， ??AOE??COF，?OE=OF，?四边形AFCE为平行四边形， 又?EF?AC，?四边形AFCE为菱形， ?设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=(8-x)cm， 在Rt?ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+(8-x)2=x2，解得x=5， ?AF=5cm( (2)?显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形; 同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形( 因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形， ?以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA， ?点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒， ?PC=5t，QA=12-4t， ?5t=12-4t，解得t=4/3， ?以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒( - 89 - www.czsx.com.cn 二，同步巩固 1.如图，在?ABC中，?ACB=90?，BC的垂直平分线DE交BC于D，交 AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE( (1)说明四边形ACEF是平行四边形; (2)当?B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由 分析:(1)证明?AEC??EAF，即可得到EF=CA，根据两组对边分别相等的 四边形是平行四边形即可判断; (2)当?B=30?时，四边形ACEF是菱形(根据直角三角形的性质，即可证 得AC=EC，根据菱形的定义即可判断 (1)证明:由题意知?FDC=?DCA=90?， ?EF?CA， ??AEF=?EAC， ?AF=CE=AE， ??F=?AEF=?EAC=?ECA( 又?AE=EA， ??AEC??EAF， ?EF=CA， ?四边形ACEF是平行四边形( (2)解:当?B=30?时，四边形ACEF是菱形( 理由是:??B=30?，?ACB=90?， ?AC=1/2AB， ?DE垂直平分BC， ?BE=CE， 又?AE=CE， ?CE=1/2AB， ?AC=CE， ?四边形ACEF是菱形 - 90 - www.czsx.com.cn 2. 已知:如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将?ABE沿 BC方向平移，使点E与点C重合，得?GFC( (1)求证:BE=DG; (2)若?B=60?，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形, 证明你的结论( (1)证明: ? 四边形ABCD为平行四边形 ? AB平行于DC ? 三角形GFC由三角形ABE平移得到 ? GF平行于DC ? 角CGF=角GCD ? AD平行于BC ? 角DGC=角GCF 在三角形GFC与三角形CDG中 角CGF=角GCD 角GCF=角DGC GC=GC ? 三角形GFC全等于三角形CDG ? FC=DG ? BE=DG (2) 当AB=2BC/3时，四边形ABFG是菱形 证明:??B=60?，AE?BC ?BE=AB/2 ??ABE??GFC ?BE=FC ?EF=BC-BE-FC=AB/2 ?BF=AB ?ABFG是菱形 - 91 - www.czsx.com.cn 3. 如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形((全部用上，互不重合且不留空隙)，并把你的拼法依照图示按实际大小画出 (1)不是正方形的菱形;(一个) (2)不是正方形的矩形;(一个) (3)梯形;(一个) (4)不是矩形和菱形的平行四边形;(一个) (5)不是梯形和平行四边形的凸四边形;(一个) 分析:菱形的四条边相等，可利用四个直角三角形的斜边作为菱形的四条边(图中的正方形已分割为两个矩形，组合为边长为1，4的长方形即可(把最右边的直角三角形整理到左边，组合为一个等腰梯形即可(把上面得到的梯形的左边不动，右边的直角三角形进行再次拼合，即可得到不是矩形和菱形的平行四边形(不以上述方法，随意拼合，相等的边重合，可得到任意四边形( 解:(1) (2) (3) - 92 - www.czsx.com.cn (4) (5) 4.如图，AD?FE，点B、C在AD上，?1=?2，BF=BC( (1)求证:四边形BCEF是菱形; (2)若AB=BC=CD，求证:?ACF??BDE - 93 - www.czsx.com.cn 分析:(1)根据?1=?2，AD‖FE，可得?1=?FEB，则BF=EF;又BF=BC， 所以EF=BC(根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证; (2)根据已知条件易得四边形ABEF、CDEF都是平行四边形，所以对边相等(运 用SSS判定:?ACF??BDE 解答:证明:(1)?AD‖FE， ??FEB=?2( ??1=?2， ??FEB=?1( ?BF=EF( ?BF=BC， ?BC=EF( ?四边形BCEF是平行四边形( ?BF=BC， ?四边形BCEF是菱形( (2)?EF=BC，AB=BC=CD，AD‖EF， ?四边形ABEF、CDEF均为平行四边形( ?AF=BE，FC=ED( 又?AC=2BC=BD， ??ACF??BDE 5. 如图，将边长为根号2的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标系中(已知?B=45?( (1)画出边AB沿y轴对折后的对应线段A′B′，A′B′与边CD交于点E; (2)求出线段CB′的长; (3)求点E的坐标( - 94 - www.czsx.com.cn 分析:(1)取OB′=OB，连接AB′，就是边AB沿y轴对折后的对应线段A′B′; (2)先求出AO、BO的长度，OC长度就可以求出，所以CB′=OB′-OC; (3)过E作EF?B′C，求出EF、CF的长度，点E坐标便不难求出( 解:(1)如图所示( (2)??B=45?，?AOB=90? ?AO=BO=1/根号2AB=1 ?菱形ABCD， ?BC=AB=根号2 ?CO=根号2-1， 由翻折性质知OB′=OB=1 ?CB′=OB′-OC=1-(根号2-1)=2-根号2; - 95 - www.czsx.com.cn (3)?菱形ABCD， ??B=?ECB′=45?， 又??B=?B′=45? ?CEB′=90?， 过点E作EF?B′C于F ?EF=CF=1/2CB′=1-1/2?根号2 ?OF=OC+CF=根号2-1+1-根号2/2=根号2/2， ?E(根号2/2，1-根号2/2)( 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB， AD的中点，连接EF，OE，OF，求证:四边形AEOF是菱形 分析:要证明四边形AEOF是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或 “一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明( 证明:?点E，F分别为AB，AD的中点 ?AE=1/2AB，AF=1/2AD (2分)， 又?四边形ABCD是菱形， ?AB=AD， ?AE=AF (4分)， 又?菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ?O为BD的中点， ?OE，OF是?ABD的中位线( (6分) ?OE?AD，OF?AB， ?四边形AEOF是平行四边形(8分)， ?AE=AF， ?四边形AEOF是菱形( - 96 - www.czsx.com.cn 专题十八 正方形 一(典型例题 例1.如图，?ABC中，?ACB=90?，AC,BC，分别以?ABC的边AB、BC、CA为一边向?ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设?AEF、?BND、?CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论正确的是( ) A(S1=S2=S3 B(S1=S2,S3 C(S1=S3,S2 D(S2=S3,S1 辅助线都是延长作高，或直接作高 易证S2=S?ABC 角EAH+?PAH=90 ?CAB+?PAH=90 ?EAH=?CAB ?EHA全等?ACB EH=CB 又FA=AC 故S?ACB=S1(等低同高) 同理S3=SACB 例2. 如图，?ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形(若DE=2cm，则AC的长为( ) - 97 - www.czsx.com.cn A(3根号3cm B(4cm C(2根号3cm D(2根号5cm 分析:根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理求出CE，即可得出AC的长 解:?点D、E分别是边AB、AC的中点， ?DE=1/2BC， ?DE=2cm， ?BC=4cm， ?AB=AC，四边形DEFG是正方形( ??BDG??CEF， ?BG=CF=1， ?EC=根号5， ?AC=2根号5cm( 故选D( 例3. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 设其中的两个正方形交于E，F。【比如中间的和右边的，上交点E，下交点F】 设中间的正方形上顶点A，左顶点B，下顶点C，右顶点D 很容易证?O2CF??O2DE【O2D=O2C，角O2CF=角O2DE，角O2FC=角O2ED(根据四边形O2EDF有两个直角)】 那么右边阴影的面积就可以转化为中间正方形的四分之一的那个等腰直角三角形。 左边的阴影部分同理。 两者的和是一个正方形面积的一半。即2x2?2=2 - 98 - www.czsx.com.cn 例4. 如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开(则下列结论中:?CM=DM;??ABN=30?;?AB2=3CM2;??PMN是等边三角形(正确的有() A(1个 B(2个 C(3个 D(4个 分析:根据题给条件，证不出?CM=DM;?BMN是由?BMC翻折得到的，故BN=BC，又点F为BC的中点，可知:sin?BNF=BF/BN=1/2，求出?BNF=30?，继而可求出??ABN=30?;在Rt?BCM中，?CBM=30?，继而可知BC=根号3CM，可以证出?AB,=3CM,;求出?NPM=?NMP=60?，继而可证出??PMN是等边三角形( 解:??BMN是由?BMC翻折得到的， ?BN=BC，又点F为BC的中点， 在Rt?BNF中，sin?BNF=BF/BN=1/2， ??BNF=30?，?FBN=60?， ??ABN=90?-?FBN=30?，故?正确; 在Rt?BCM中，?CBM=1/2?FBN=30?， ?tan?CBM=tan30?=CM/BC=根号3/3， ?BC=根号3CM，AB,=3CM,故?正确; ?NPM=?BPF=90?-?MBC=60?，?NMP=90?-?MBN=60?， ??PMN是等边三角形，故?正确; 由题给条件，证不出CM=DM，故?错误( 故正确的有???，共3个( 故选C( - 99 - www.czsx.com.cn 例5. 已知正方形ABCD，以CD为边作等边?CDE，则?AED的度数是 分析:当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，?ADC=90?，根据等边?CDE，得到CD=DE，?CDE=60?，推出AD=DE，得出?DAE=?AED，根据三角形的内角和定理求出即可; 当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出?ADE=150?，求出即可( 解:有两种情况: (1)当E在正方形ABCD内时，如图1 ?正方形ABCD， ?AD=CD，?ADC=90?， ?等边?CDE， ?CD=DE，?CDE=60?， ??ADE=90?-60?=30?， ?AD=DE， ??DAE=?AED=1/2(180?-?ADE)=75?; (2)当E在正方形ABCD外时，如图2 ?等边三角形CDE， ??EDC=60?， ??ADE=90?+60?=150?， ??AED=?DAE=1/2(180?-?ADE)=15?( 故答案为:15?或75? - 100 - www.czsx.com.cn 例6. 如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，的折痕DG，使AD=2，求AG的长 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 分析:根据勾股定理可得BD=5，由折叠的性质可得?ADG??A'DG，则 -3=2，在Rt?A'BG中根据勾股定理求AG的A'D=AD=3，A'G=AG，则A'B=5 即可 解:在Rt?ABD中，AB=4，AD=3， ?BD=根号(AB,+AD,)=根号(4,+3,)=5， 由折叠的性质可得，?ADG??A'DG， ?A'D=AD=3，A'G=AG， ?A'B=BD-A'D=5-3=2， 设AG=x，则A'G=AG=x，BG=4-x， 在Rt?A'BG中，x,+2,=(4-x), 解得x=3/2， 即AG=3/2( 例7. 以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH( (1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形;如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断:四边形EFGH的形状(不要求证明); (2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设?ADC=α(0?,α,90?)， ?试用含α的代数式表示?HAE; ?求证:HE=HG; - 101 - www.czsx.com.cn ?四边形EFGH是什么四边形,并说明理由( (1)四边形EFGH是正方形 (2)?在平行四边形ABCD中， AB?CD ??BAD=180?-α ??HAD和?EAB是等腰直角三角形 ??HAD=?EAB=45? ??HAE=360?-?HAD-?EAB-?BAD =360?-45?-45?-(180?-α) =90?+α ?证明:??ABE和?GDC是等腰直角三角形 ?AE=?2,2AB，DG=?2,2CD ?四边形ABCD是平行四边形 ?AB=CD ?AE=DG ??HAD和?GDC是等腰直角三角形 ??HDA=?CDG=45? ??HDG=?HDA+?ADC+?CDA =90?+α =?HAE ??HAD是等腰直角三角形 ?HA=HD ??HAE??HDG ?HE=HG ?解:四边形EFGH是正方形 有?同理可得 GH=GF - 102 - www.czsx.com.cn GF=FE ?HE=HG ?GF=GH=FE=HE ?四边形EFGH是菱形 ??HAE??HDG ??DHG=?AHE 又??AHD=?AHG+?DHG =90? ??EHG=?AHG+?AHE =90? ?四边形EFGH是正方形 二，同步巩固 1.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为 CE上任意一点，PQ?BC于点Q，PR?BE于点R，则PQ+PR的值是 分析:连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正 方形对角线的一半( 解:连接BP，过C作CM?BD， ?S?BCE=S?BPE+S?BPC =BC?PQ?1/2+BE?PR?1/2 =BC?(PQ+PR)?1/2=BE?CM?1/2，BC=BE， - 103 - www.czsx.com.cn ?PQ+PR=CM， ?BE=BC=1且正方形对角线BD=根号(2BC)=根号2， 又BC=CD，CM?BD， ?M为BD中点，又?BDC为直角三角形， ?CM=1/2BD=根号2/2， 即PQ+PR值是根号2/2( 2. 已知:如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若?EAF=50?，则?CME+?CNF= 分析:连接AC，利用正方形对角线互相垂直平分，得到NA=NC，MA=MC，利用等腰三角形的性质证明角相等，再利用外角的性质证明?EFA=?MCN，从而使问题得证 解:连接AC， ??CNF=?CAN+?NCA，?CME=?CAM+?MCA， ??CNF+?CME=?CAN+?NCA+?CAM+?CMA=?EFA+?MCN( ?ABCD是正方形， ?BD垂直平分AC， ?NA=NC，MA=MC， ??NCA=?NAC，?MCA=?MAC( ??MCN=?MCA+?NCA=?MAC+?NAC=?EAF=50?( 所以?CNF+?CME=?EFA+?MCN=100?( 故答案为:100? - 104 - www.czsx.com.cn 3. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE=EF=FA(下列结论:??ABE??ADF;?CE=CF;??AEB=75?;?BE+DF=EF;?S?ABE+S?ADF=S?CEF，其中正确的是 分析:由已知得AB=AD，AE=AF，利用“HL”可证?ABE??ADF，利用全等的性质判断???正确，在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，由正方形，等边三角形的性质可知?DAF=15?，从而得?DGF=30?，设DF=1，则AG=GF=2，DG=根号3，分别表示AD，CF，EF的长，判断??的正确性( 解:?AB=AD，AE=AF=EF， ??ABE??ADF(HL)，?AEF为等边三角形， ?BE=DF，又BC=CD， ?CE=CF， ??BAE=1/2(?BAD-?EAF)=1/2(90?-60?)=15?， ??AEB=90?-?BAE=75?， ????正确， 在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF， 则?DAF=?GFA=15?， ??DGF=2?DAF=30?， 设DF=1，则AG=GF=2，DG=根号3， ?AD=CD=2+根号3，CF=CE=CD-DF=1+根号3， ?EF=根号2CF=根号2+根号6，而BE+DF=2， ??错误， ???ABE+S?ADF=2?1/2AD?DF=2+根号3， S?CEF=1/2CE?CF=(1+3),/2=2+根号3， ??正确( 故答案为:????( - 105 - www.czsx.com.cn 4. 如图，在Rt?ABC中，?C=90?，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O，OC=4根号2，则BC边的长为 分析:以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，设B(x，0)，可得O点坐标为((3+x)/2，(3+x)/2)，根据勾股定理即可求出BC边的长( 解:作EQ?x轴， 以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A(0，3)( 设B(x，0)，由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心， ?可得?ACB??BQE， ?AC=BQ=3， ?O为AE中点， ?OM为梯形ACQE的中位线， CM=1/2CQ=(3+x)/2， 所以O点坐标为((3+x)/2，(3+x)/2)， OC=4根号2=根号[(3+x/)2),+(3+x/2),]= 根号2(3+x)/2， 解得x=5， 即BC=5( 故答案为:5 - 106 - www.czsx.com.cn 5. 如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则?CDE的面积等于 分析:过E作EH?CD于H，根据角之间的等量关系可得到?1=?3，从而可利用AAS判定?EDH??DGA，由全等三角形的性质可得EH=AG，根据正方形的面积求角其边长，从而利用勾股定理求得AG的长，再根据三角形的面积公式求解即可 解:过E作EH?CD于H，如图， ??1+?2=90?，?2+?3=90?， ??1=?3， 又??EHD=?DAG=90?，ED=DG， ??EDH??DGA， ?EH=AG， ?SABCD=7cm2，SDGFE=11cm2， ?CD=AD=根号7cm，DG=根号11cm， ?在Rt?ADG中，AG=根号(DG,-AD,)= 根号(11-7)=2(cm)， ?S?CDE=1/2CD?EH=1/2CD?AG=1/2?根号7?2=根号7cm2， 故答案为:根号7( 6. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD相较于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为 - 107 - www.czsx.com.cn 解,正方形ABCD边长为6,则对角线长为6?2,即菱形BEFD边长为6?2,则菱形对角线长分别为6?2和6?6,面积=两条对角线乘积的1/2=36?3. 7. 如图所示，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰是一个菱形，则?EAB= 分析:作E点作EH垂直AC，连接BD，交AC于O点，由正方形的性质可得，OB=1/2AC，又可证四边形BEHO是矩形，则EH=OB=1/2AC=1/2CF，故可知?EAH=30?，进而求出?EAB的大小( - 108 - www.czsx.com.cn 证明:作E点作EH垂直AC，连接BD，交AC于O点 在正方形ABCD中，AC?BD，AC=BD，OB=1/2BD=1/2AC， 又?四边形AEFC是菱形， ?AC=CF，AC?EF， ?EH?AC， ??BOH=?OHE=?OBE=90?， ?四边形BEHO是矩形， ?EH=OB， ?EH=1/2AC=1/2CF， 在直角三角形AHE中， sin?EAH=HE/AE=1/2， 故?EAH=30?，即?EAB=?CAB-?EAH=45?-30?=15?( 故答案为15? 8. 你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图所示图形，如果你所拼得的图形中 正方形(1)的面积为1，且正方形(6)与正方形(3)的面积相等，那么正方 形(5)的面积为 分析:设正方形?的边长是x，则正方形?和正方形?的边长是x+1，正方形 ?的边长是x+1+1，正方形?的边长是x+1+1+1或x+1+x-1，从而建立方程求 解:设正方形?的边长是x( 结合图形，得 x+1+1+1=x+1+x-1， 解，得 x=3( 则正方形?的边长是6，其面积是36( 故答案为:36( - 109 - www.czsx.com.cn 9.如图，正方形ABCD中，AB=根号3，点E、F分别在BC、CD上，且 ?BAE=30?，?DAF=15?，求?AEF的面积( 分析:将?ADF绕A点顺时针方向旋转90?到?ABG的位置，得到?ABG， 求证:?AEF??AEG，要求?AEF的面积求?AEG即可，且AB为底边上的 高，EG为底边( 解:将?ADF绕A点顺时针方向旋转90?到?ABG的位置， ?AG=AF，?GAB=?FAD=15?， ?GAE=15?+30?=45?， ?EAF=90?-(30?+15?)=45?， ??GAE=?FAE，又AE=AE， ??AEF??AEG，?EF=EG， ?AEF=?AEG=60?， 在Rt?ABE中，AB=根号3，?BAE=30?， ??AEB=60?，BE=AB•tan30?=1， 在Rt?EFC中，?FEC=180?-(60?+60?)=60?， EC=BC-BE=根号3-1，EF=2(根号3-1)， ?EG=2(根号3-1)，S?AEG=1/2EG•AB=3-根号3， ?S?AEF=S?AEG=3-根号3( - 110 - www.czsx.com.cn 10. (1)如图?，在正方形ABCD中，?AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求?EAF的度数( (2)如图?，在Rt?ABD中，?BAD=90?，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且?MAN=45?，将?ABM绕点A逆时针旋转90?至?ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由( (3)在图?中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3根号2，求AG，MN的长( 分析:(1)根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解( (2)用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论( (3)设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果( 解:(1)在Rt?ABE和Rt?AGE中，AB=AG，AE=AE， ?Rt?ABE?Rt?AGE( ??BAE=?GAE((1分) 同理，?GAF=?DAF( ??EAF=1/2?BAD=45?((2分) (2)MN,=ND,+DH,((3分) ??BAM=?DAH，?BAM+?DAN=45?， ??HAN=?DAH+?DAN=45?( ??HAN=?MAN( 又?AM=AH，AN=AN， - 111 - www.czsx.com.cn ??AMN??AHN( ?MN=HN((5分) ??BAD=90?，AB=AD， ??ABD=?ADB=45?( ??HDN=?HDA+?ADB=90?( ?NH,=ND,+DH,( ?MN,=ND,+DH,((6分) (3)由(1)知，BE=EG，DF=FG( 设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6( ?CE,+CF,=EF,， ?(x-4),+(x-6),=10,( 解这个方程，得x1=12，x2=-2(舍去负根)( 即AG=12((8分) ?BD=根号(AB,+AD,)=根号(2 AG,)=12根号2( 在(2)中，MN2=ND2+DH2，BM=DH， ?MN,=ND,+BM,((9分) 设MN=a，则a,=(12根号2-3根号2-a) ,+(3根号2) ,( ?a=5根号2(即MN=5根号2((10分) 11. ?ABC是一张等腰直角三角形纸板，?C=Rt?，AC=BC=2， (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大,请说明理由( (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法，在余下的?ADE和?BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2(如图2)，则s2= ;再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为s3，继续操作下去„，则第10次剪取时，s10= ; (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和( - 112 - www.czsx.com.cn ?ABC的面积为2 图1中甲种剪法是分别取各边中点，然后连接而成。所以图甲中正方形的边长是1，面积是?ABC的面积的一半，为1. 图1中乙种剪法，在未知面积情况之前说不清。所以设正方形PQMN的边长为x，过C作CD?AB于D, 交PQ于点H, 则CD=1 , CH=1-x. ??CPQ??CBA , ? PQ?AB=CH?CD ? x?2=(1-x)?1 ,x=2/3 ，面积是4/9. 所以图1中甲种剪法所得的正方形面积更大. (2)S2=?ABC面积二分之一的一半=1/2， 于是，S3=1/4，......,S10=1/(2的9次方)。 (3)第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和等于S10=1/(2的9次方)。 专题十九 梯形 一(典型例题 例1.如图，梯形ABCD中，AD?BC,AB=CD,AC?BD于点O，?BAC=60?，若BC=根号6，则此梯形的面积为 - 113 - www.czsx.com.cn 分析:过O作EF?AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出 ?ABC=?DCB，证?ABC??DCB，推出?DBC=?ACB，求出?DBC=?ACB=45?，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、 OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积( 解:过O作EF?AD交AD于E，交BC于F， ?等腰梯形ABCD，AD?BC，AB=CD， ??ABC=?DCB， ?BC=BC， ??ABC??DCB， ??DBC=?ACB， ?AC?BD， ??BOC=90?， ??DBC=?ACB=45?， ?OB=OC， ?OF?BC， ?OF=BF=CF=1/2BC=根号6/2， 由勾股定理得:OB=根号3， ??BAC=60?， ??ABO=30?， ?AB=2OA， 由勾股定理得:(2OA),=OA,+(根号3) ,， ?OA=1，AB=2， 同法可求OD=OA=1，AD=根号2，OE=根号2/2， S梯形ABCD=1/2(AD+BC)•EF=1/2?(根号2+根号6)?(根号2/2+根号 6/2)=2+根号3( 故答案为:2+根号3( - 114 - www.czsx.com.cn 例2. 如图所示，在梯形ABCD中，AB?CD，E是BC的中点，EF?AD于点F，AD=4，EF=5，则梯形ABCD的面积是 分析:作延长DE交AB延长线于点G，过点G作GH?FE，交FE的延长线上于点H，然后将梯形ABCD的面积转化为梯形AGHF的面积，根据条件首先证明GE=ED，再证出GH=DF，进而得到(GH+AF)的长，HF的长，即可得到答案( 解:延长DE交AB延长线于点G，过点G作GH?FE，交FE的延长线于点H， ?CD?BA，E是BC中点， ??CED??BGE， ?GE=ED，即点E也是GD的中点， ??GHF=?DFH=90?， ?FD?HG， ?点E也是GD的中点， ??GHE??DFE， ?GH=DF，HE=EF=5， ?GH+AF=AF+DF=AD=4， ?梯形ABCD与梯形AGHF的面积相等， ?S梯形AGHF=1/2(GH+AF)•HF=1/2?4?2?5=20， ?S梯形ABCD=20( - 115 - www.czsx.com.cn 例3. 如图所示，在梯形ABCD中，AD?BC，CE是?BCD的平分线，且CE?AB,E为垂足，BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积 解: 延长BA、CD交于F点，过D作DG?BF. 则:?FBC是等腰三角形，?FAD也是等腰三角形。 有:BE=EF=2AE=2AF=4FG=4AG 不难求得EC=4GD 所以:S?ADF=(1/2)AF*GD S?BCE=S?FEC=(1/2)EF*CE=(1/2)*2AF*4GD 所以:S?EFC=8S?AFD,即S?EFC/S?AFD=8 所以:S?AECD/S?ADF=7 而S?AECD=1， ADF=1/7 所以:S? 所以:S?BCE=S?FEC=S?AECD+S?ADF=1+(1/7)=8/7 所以:S梯形ABCD=S?BCE+S?AECD=(8/7)+1=15/7 例4. 用长为1,4,4,5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 分析:梯形的上下两底一定不能相等，因而用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，有梯形的上底为1，下底为5;梯形的上底为1，下底为4;又若用长为1的线段作梯形的腰(共3种情况，分3种情况进行讨论求解即可( 解:梯形的上底为1，下底为5时，两腰长均为4的等腰梯形，S=6根号3; 梯形的上底为1，下底为4时，两腰分别为5和4的直角梯形，S=10; 又若用长为1的线段作梯形的腰时，则无法符合条件的梯形( 故答案是:6根号3或10( - 116 - www.czsx.com.cn 例5. 如图，梯形ABCD中，AD?BC,?DCB=45?，CD=2，BD?CD,过点C作CE?AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG,AF.(1).求EG的长。(2).求证，CF=AB+AF 分析:(1)根据BD?CD，?DCB=45?，得到?DBC=?DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2根号2，根据CE?BE，点G为BC的中点即可求出EG; (2)在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD?CD，BE?CD，推出?EBF=?DCF，证出?ABD??HCD，得到CD=BD，?ADB=?HDC，根据AD?BC，得到?ADB=?DBC=45?，推出?ADB=?HDB，证出?ADF??HDF，即可得到答案( (1)解:?BD?CD，?DCB=45?， ??DBC=45?=?DCB，?BD=CD=2，在Rt?BDC中BC=根号(DB,+CD,)=2根号2， ?CE?BE，点G为BC的中点， ?EG=1/2BC=根号2( 答:EG的长是根号2( (2)证明:在线段CF上截取CH=BA，连接DH， ?BD?CD，BE?CE， ??EBF+?EFB=90?，?DFC+?DCF=90?， ??EFB=?DFC， - 117 - www.czsx.com.cn ??EBF=?DCF， ?DB=CD，BA=CH， ??ABD??HCD， ?AD=DH，?ADB=?HDC， ?AD?BC， ??ADB=?DBC=45?， ??HDC=45?，??HDB=?BDC-?HDC=45?， ??ADB=?HDB， ?AD=HD，DF=DF， ??ADF??HDF， ?AF=HF， ?CF=CH+HF=AB+AF， ?CF=AB+AF( 例6. 如图，一块直角梯形的钢板，两底长分别是4cm，10cm，且有一个内角为60?，问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿出 分析:铁板是否可以从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过，即求直角梯形的最大宽度h与8.7的大小关系:若h,8.7，可以穿过，h,8.7，不能穿过(由于铁板可以任意翻转，故要按照所沿方向的不同进行讨论( 解:如图，AD=4cm，BC=10cm，?C=60?( ?作DE?BC于E，则BE=4，EC=6， 由?C=60?知CD=2EC=12，故DE=根号(12,-6,)=6根号3=根号108 由DE,8.7，BC,8.7，故这两个方向都不能穿过圆洞( ?作BF?CD于F，有CF=1/2BC=5， 得BF=根号(10,-5,)=5根号3,8.7，故沿CD方向可以通过圆洞((7分) - 118 - www.czsx.com.cn 二.巩固练习 1. 如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD 上，AD与GH相较于I点，且AD?HE,若?A=60?，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为 分析:利用菱形和正方形的性质分别求得HE和ID、DE的长，利用梯形的面积计算方法算得梯形的面积即可( 解:?四边形ABCD为菱形且?A=60?， ??ADE=180?-60?=120?， 又?AD?HE ??DEH=180?-120?=60?， 作DM?HE于M点，则?DEM为30?-60?-90?的三角形， 又DE=4 ?EM=2，DM=2根号3， 且四边形EFGH为正方形 ??H=?I=90?， 即四边形IDMH为矩形， - 119 - www.czsx.com.cn ?ID=HM=5-2=3， ?梯形HEDI面积=[(3+5)?2根号3]/2=8根号3( 2. 如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?ABC=90?，?C=60?，BC=2AD=2根 号3，点E是BC边的中点，?DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则?BFG 的周长为 AD=BE=EC=2倍根号3 ?C=60度 AD//BC AB?BC E为BC中点 ?DE?BC ?AB=DE=6 AG=2 FG=2 FB=2倍根号3 GB=4 所以结果为6+2倍根号3 3. 一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长 为 解一.等腰梯形两组对边中点连线段是互相垂直的且互相平分，设长度分别是 a，b，则 a^2+b^2=8 于是(a/2)^2+(b/2)^2=2 ?(a/2)^2+(b/2)^2=?2 - 120 - www.czsx.com.cn 即对角线的一半为?2 于是对角线长为2?2 解二.设等腰梯形ABCD，AD?BC，AB=CD，E、F分别是AD、BC中点，G、H分别是AB、CD中点， ?EF?AD，EF?BC，GH?AD，GH?BC ?EF?GH，且平分GH ?EF2，GH2=8 ?由等腰梯形性质得: AC、BD、EF、GH相交于同一点O 连接GF，在直角?GOF中 GF2=GO2，FO2，而GO=GH?2，OF=EF?2，由EF2，GH2=8，得: 4GF2=8， ?GF=?2 由GF=AC?2 ?AC=2?2 ?等腰梯形对角线长=2?2 4. 如图，在梯形ABCD中，AD?BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间 秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形 AP=t，PD=6-t CQ=2t 1.EQ=8-2t PD=EQ - 121 - www.czsx.com.cn 6-t=8-2t t=2s 2.EQ=2t-8 6-t=2t-8 3t=14 t=14/3 s(?14/3,18/3=6，?此时P未到D点，成立) ?当t=2秒时，PDQE是平行四边形 当t=14/3秒时，PDEQ是平行四边形 5.如图，分别以?ABC的边AC,BC为一边，在?ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证，点P到AB的距离是AB的一半 分析:分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=1/2(ER+FS)，易证Rt?AER?Rt?CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证( 解:分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER?PQ?FS， ?P是EF的中点，?Q为RS的中点， - 122 - www.czsx.com.cn ?PQ为梯形EFSR的中位线， ?PQ=1/2(ER+FS)， ?AE=AC(正方形的边长相等)，?AER=?CAT(同角的余角相等)，?R=?ATC=90?， ?Rt?AER?Rt?CAT(AAS)， 同理Rt?BFS?Rt?CBT， ?ER=AT，FS=BT， ?ER+FS=AT+BT=AB， ?PQ=1/2AB( 专题二十 中心对称图形 一(典型例题 例1. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相较于点O，则图中成中心对称的三角形共有() A(4对 B(3对 C(2对 D(1对 分析:根据平行四边形的性质及中心对称图形的概念解答 解:图中成中心对称的三角形分别是?ACD与?CAB，?ABD与?CDB，?AOD与?COB，?AOB与?COD， 共4对 例2. 如图所示，已知?ABC与?CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论:(1)点E和点F，B和D是关于中心O的对称点;(2)直线BD必经过点O;(3)四边形ABCD是中心对称图形;(4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;(5)?AOE与?COF成中心对称，其中正确的个数为() A(1个 B(2个 C(3个 D(5个 - 123 - www.czsx.com.cn 分析:由于?ABC与?CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，可根据上述特点对各结论进行判断( 解:?ABC与?CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形， 因此点O就是?ABCD的对称中心，则有: (1)点E和点F;B和D是关于中心O的对称点，正确; (2)直线BD必经过点O，正确; (3)四边形ABCD是中心对称图形，正确; (4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确; (5)?AOE与?COF成中心对称，正确; 其中正确的个数为5个，故选D( 例3. 为了学习方便，有人把26个英文字母分成了五类，现在还剩下5个字母(D、M、Q、X、Z(请你根据现有的发类信息把这五个字母填在相应的方格中( 分析:根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各组英文字母的特点填写即可( 解:?的字母既非中心对称图形，又不是轴对称图形，故填Q; ?的字母既是中心对称图形，又是轴对称图形，故填X; ?的字母不是轴对称图形，而是中心对称图形，故填Z; ?的字母仅是轴对称图形，且对称轴为水平的直线，故填D; ?的字母仅是轴对称图形，而对称轴为竖直的直线，故填M( - 124 - www.czsx.com.cn 例4. 如果将点P绕定点M旋转180?后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫对称中心，此时，点M是线段PQ的中点(如图，在直角坐标系中，?ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1，0)、(0，1)、(0，0)，点列P1、P2、P3、„中的相邻两点都关于?ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，„，且这些对称中心依次循环，已知P1的坐标是(1，1)，点P100的坐标为 ( 分析:通过作图可知6个点一个循环，那么P7的坐标和P1的坐标相同，P100的坐标与P4的坐标一样，通过图中的点可很快求出( 解:如图: P2的坐标是(1，-1)，P7的坐标是(1，1)，P100的坐标是(1，-3)( 理由:作P1关于A点的对称点，即可得到P2(1，-1)，分析题意，知6个点一个循环， 故P7的坐标与P1的坐标一样，P100的坐标与P4的坐标一样， 所以P7的坐标等同于P1的坐标为(1，1)，P100的坐标等同于P4的坐标为(1，-3)( 故答案为:(1，-3)( - 125 - www.czsx.com.cn 例5. 1、(1)能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有( )条，它们的共同特点是 (2)如图，已知:AB?CD?FE，AF?BC?DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求:对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图(保留作图痕迹)( (3)自己设计一个图形A(由至少两个基本的中心对称图形B、C组成)，并作出可以将图形A面积分成相等两部分的直线( 分析:(1)根据平行四边形的性质可知能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有无数条，它们的共同特点是均经过两条对角线的交点( (2)延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，P、Q分别为四边形ABMF、四边形CDEM的对称中心，直线PQ即为所求( (3)根据题意先作出图形，分别找到两个图形的对称中心，连接即可( 解:(1)无数(均经过两条对角线的交点( (2)延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求( (3)如图所示 - 126 - www.czsx.com.cn 二.巩固练习 1. 如图三角形ABC的面积是50，M为形内任一点，N,P,Q分别为M关于三角形ABC三边中点的对称点，则三角形NPQ的面积为 分析:连接PQ，根据中心对称的知识可判断出?NPQ是?ABC以点M为中心旋转180?得到的，由此即可得出答案( 解:等边三角形是一般三角形的特殊情况，结论不变， 设AB=BC=CA，?ABC的三条高的交点为M，显然?NPQ是?ABC以点M为中心旋转180?， 所得:S?NPQ=S?ABC=50( 故答案为:50( 2. 如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(1,0),B(5,0),C(5,3),D(1,3)，边CD上有一点E(4,3)，过点E的直线与AB交于点F，若直线EF平分矩形的面积，则点F的坐标为 分析:根据题意，点E的坐标为(4，3)，根据EF平分矩形ABCD的面积，即可求出点F的坐标( 解:?A(1，0)，B(5，0)，C(5，3)，D(1，3)， ?点E(4，3)， - 127 - www.czsx.com.cn EF平分矩形ABCD的面积， ?BF=DE， ?点F的坐标为(2，0)， 故答案为(2，0)( 3. 两个人轮流在一张桌面(长方形或正方形或圆形)上摆放硬币u，规则是每人每次摆一个，硬币不能重叠，也不能有一部分在桌面边缘之外，摆好之后不许移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆下硬币谁就认输，按照这个规则你用什么方法才能取胜 析:根据中心对称的知识，争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，根据对称性可作出解释( 解:你要争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，以后你应该根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚同样大小硬币(这样，由于对称性，只要对方能放得下一枚硬币，你就保证能在其对称位置上放下一枚同样大小的硬币，因此，失败绝对轮不到你( 4. 如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分?BED( (1)试判断?BEC是否为等腰三角形，请说明理由, (2)若AB=1，?ABE=45?，求BC的长( (3)在原图中画?FCE，使它与?BEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形，请说明理由( 分析:(1)易证?BEC=?BCE，从而判定?BCE是等腰三角形( (2)由(1)知BC=BE，而BC是等腰直角?ABE的斜边，AB=BE，运用勾股定理可求( (3)根据中心对称的性质，可知四边形BCFE是平行四边形，又BC=BE，得 - 128 - www.czsx.com.cn 出?BCFE是菱形( 解:(1)?AD?BC， ??DEC=?BCE， ??DEC=?BEC， ??BEC=?BCE， ??BCE是等腰三角形( (2)?在Rt?ABE中，?ABE=45?， ??AEB=?ABE=45?， ?AB=AE=1( ?BE=根号2， ?BC=根号2( (3)如图，??FCE与?BEC关于CE的中点O成中心对称， ?OB=OF，OE=OC， ?四边形BCFE是平行四边形， 又?BC=BE， ?四边形BCFE是菱形( - 129 - www.czsx.com.cn 5.直角坐标系中，已知点P(-2，-1)，点T(t，0)是x轴上的一个动点( (1)求点P关于原点的对称点P′的坐标; (2)当t取何值时，?P′TO是等腰三角形, 分析:(1)根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P′的坐标， (2)要分类讨论，动点T在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t取何 值时，?P′TO是等腰三角形 解:(1)点P关于原点的对称点P'的坐标为(2，1); (2)OP′=根号5， (a)动点T在原点左侧， 当T1O=P′O=根号5时，?P'TO是等腰三角形， ?点T1(-根号5，0)， (b)动点T在原点右侧， ?当T2O=T2P'时，?P'TO是等腰三角形， 得:T2(5/4，0)， ?当T3O=P'O时，?P'TO是等腰三角形， 得:点T3(根号5，0)， ?当T4P'=P'O时，?P'TO是等腰三角形， 得:点T4(4，0)( 综上所述，符合条件的t的值为-根号5，5/4，根号5，4( - 130 -