[六年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边

[]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边 小学奥数平面几何五种模型,等积,鸟头,蝶形,相似,共边, 目标:熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似(含金字塔模型和沙漏模型)，共边(含燕尾模型和风筝模型)， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 AB?等底等高的两个三角形面积相等; S?两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; S12两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比; abCDSSab::, 如右图12 SS,?夹在一组平行线之间的等积变形，如右图; ??ACDBCD AB反之，如果，则可知直线平行于( CDSS,??ACDBCD ?等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ?三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ?两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比( 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形( 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比( 如图在中，DE,分别是ABAC,上的点如图 ?(或D在BA的延长线上，E在?ABC 上)， AC SSABACADAE:():(),，，则 ??ABCADE D A A D EE DBCCB AS1图? 图? S4S2O三、蝶形定理 S3任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): BCSSSS::,SSSS，,，?或者? AOOCSSSS::,，，，，，，124313241243 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问的一个途径(通过构造 a模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边ADS1形内的三角形相联系;另一方面，也可以得到与面积S2S4O对应的对角线的比例关系( S3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): 22CB? SSab::,13b22?; SSSSababab::::::,13242?的对应份数为( ab，S，， 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 AFDE A FDE BCCBGG ADAEDEAF,,,?; ABACBCAG 22SSAFAG:,:?( ??ADEABC 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ?相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比; ?相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ?连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线( 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半( 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具( 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形( 五、共边定理(燕尾模型和风筝模型) ADBE在三角形中，，，相交于同一点，那么ABCCFOASSBDDC::,( ,,ABOACO 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因EF为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称,ABO,ACO O为燕尾定理(该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， BCD它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2(长方形EFGH的面AE,CF, 积为 ( H_ H_ A_ A_ D_ D_ E_ E_ G_ G_ B_ B_ F_ C_ F_ C_ 则长方形的面积是三角形面积的二倍( 【解析】 连接DE，DF，EFGHDEF 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积， S,，,，,,，,,，,,661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH?DEF 面积为33( 【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘ABCD8EBGFBG10米，那么长方形的宽为几厘米, E_ E_ A_ A_ B_ B_ F_ F_ D_ D_ C_ C_ G_ G_ 【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方 形和正方形可以看作特殊的平行四边形)(三角形面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半( 证明:连接((我们通过把这两个长方形和正方形联系在一AG?ABG 起)( 1SABAB,，，?在正方形中，边上的高， ABCD?ABG2 1SS,?(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积?ABGABCD2 的一半) 1SS,同理，( ?ABGEFGB2 ?正方形与长方形面积相等( 长方形的宽ABCDEFGB (厘米)( ,，,,88106.4 2【例 2】 长方形的面积为36cm，、、为各边中点，为边上任EFHADABCDG 意一点，问阴影部分面积是多少, HDA EG BCF 【解析】 解法一:寻找可利用的条件，连接、，如下图: BHHC HDA EG BC F 111SS,SS,SS, 可得:、、，而,,FHBCHB,,DHGDHC,,EHBAHB222 SSSS,，，,36 ABCDAHBCHBCHD,,, 11SSSSSS，，,，，,，,()3618 即; ,,,,,,EHBBHFDHGAHBCHBCHD22 而，SSSSS，，,，,,,,EHBBHFDHGEBF阴影 11111SBEBFABBC,，，,，，，，,，,()()364.5( ,EBF22228 SS,,,,,18184.513.5 所以阴影部分的面积是: ,EBF阴影 解法二:特殊点法(找H的特殊点，把H点与D点重合， 那么图形就可变成右图: (H)DA GE BCF ,DEF 这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有: 1111111SSSSS,,,,,,，，,，，，,，，,3636363613.5( ABCDAEDBEFCFD,,,阴影2222222 P【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边ABCD P二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积( (P)DDDAAA PP CCCBBB 【解析】 (法1)特殊点法(由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，P 假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴PA 11影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为46 1126()15，，,平方厘米( 46 (法2)连接PA、( PC 由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、,PAD,PBCABCD 1下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知ABCD4 1左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴ABCD6 1126()15，，,影部分的面积为平方厘米( 46 【例 3】 如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，ABCDAB,8 ，四边形的面积为 ( AD,15EFGO DA OGE BCF 【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的AOEDOGEFGO面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形AOEDOGEFGO的面积( 由于长方形的面积为，所以三角形的面积为ABCD158120，,BOC 1312030，,1207020，,,，所以三角形和的面积之和为; AOEDOG44 11,,又三角形、和四边形的面积之和为，所以AOEDOGEFGO12030，,,,,24,,四边形的面积为( EFGO302010,, ,另解:从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形EFGOAFC， ,BFDBFD面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长AFC， 方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 分的面积，即，所以四边形的面积为( 1207050,,605010,, 【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则EADAEED,2ABCD 阴影部分的面积为 ( EDAEDA NM OO BCBC 【解析】 如图，连接( OE 1ONNDSSSS,,,:::1:1根据蝶形定理，，所以,,,,COECDECAECDE2 1SS,; ,,OENOED2 11SS,OMMASSSS,,,:::1:4，所以( ,,OEMOEA,,,,BOEBAEBDEBAE52 11SS,,26SS,，,3又，，所以阴影部分面积为:,OED,,OEAOED矩形ABCD34 11362.7，，，,( 25 【例 4】 已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，DEFABC 已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积((丙是三角形 ) HBC A 甲乙 IJFD NMH丙CBE DEFDEDFEF【解析】 因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的ABC 和三中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 角形的面积都等于三角形的一半，即为200( AMCABC SSSSS,,，,根据图形的容斥关系，有， ,,,ABCABNAMCAMHN丙 SS,400 200200,,，,SS即，所以( AMHN丙AMHN丙 SSSSS，,，，又，所以,ADFAMHN乙甲阴影 1SSSSS,，，,,,，,14340043( 乙,ADF甲丙阴影4 【例 5】 如图，已知，，，，线段将图形分成两部ABCD,5DE,7EF,15FG,6 分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面ADG积是 ( AA DECFDEFCGG BB 【解析】 连接，( AFBD ;; 根据题意可知，CF,，，,571527DG,，，,715628 1512721S,SS,SSS,SS,所以，，，，， ,BECBFF,,BECBFC,,,AEDADG,,AEGADG27282728 7122115SS，,SS，,3865于是:;; ,,ADGCBF,,ADGCBF28272827 S,40可得(故三角形的面积是40( ADG,ADG 【例 6】 如图在中，分别是上的点，且，，DE,ABAC,?ABCADAB:2:5,AEAC:4:7,S,16平方厘米，求的面积( ?ABC?ADE A A DDEE BBCC SSADAB::2:5(24):(54),,,，，【解析】 连接BE，， ??ADEABE SSAEAC::4:7(45):(75),,,，，SS:(24):(75),，，，所以，设??ABEABC??ADEABC S,8S,35S,16份，则份，平方厘米，所以1份是2平方厘米，?ADE?ABC?ADE 份就是平方厘米，的面积是平方厘米(由此我们得到一?ABC357070 个重要的定理，共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ( ABADAE【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角ABCAC ADE形的面积等于1，那么三角形的面积是多少, ABC AA DDEE CBCB 【解析】 连接( BE ? ECAE,3 SS,3? ABCABE 又? ABAD,5 SSS,,,,515SS,,1515?，?( ADEABEABCABCADE 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，BDDC,,4 ，，乙部分面积是甲部分面积的几倍, BE,3AE,6 AA EE乙乙甲甲BBCCDD 【解析】 连接( AD ?， BE,3AE,6 SS,3?， ABBE,3ABDBDE 又?， BDDC,,4 SS,2SS,6?，?，( SS,5ABCABDABCBDE乙甲 【例 7】 如图在中，D在BA的延长线上，E在上，且， ?ABCACABAD:5:2, S,12，平方厘米，求的面积( AEEC:3:2,?ABC?ADE DD AA EE CBCB SSADAB::2:5(23):(53),,,，，BE【解析】 连接， ??ADEABE ， SSAEAC::3:(32)(35):(32)5,,，,，，，,,??ABEABC S,6S,25所以，设份，则份，SS:(32):5(32)6:25,，，，,,,?ADE?ABC??ADEABC S,1212平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，?ABC2550?ADE 的面积是平方厘米(由此我们得到一个重要的定理，共角定理:共50 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 8】 如图，平行四边形，，，，，平BEAB,HAAD,4ABCDCFCB,2GDDC,3 行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面2ABCDABCDEFGH 积比( HH BBAAEE GGCCDD FF 【解析】 连接、(根据共角定理 BDAC ?在和中，与互补， ，FBE?ABC?BFE，ABC SABBC,，111?ABC?( ,,,SBEBF,，133?FBE S,3S,1又，所以( ?ABC?FBE S,8S,15S,8同理可得，，( ?GCF?DHG?AEH SSSSSS,，，，，,，，,8815+3+236所以( EFGHAEHCFGDHGBEFABCD???? S21ABCD所以( ,,S3618EFGH 【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少, OC 1313131312D12 BA1212 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接 求面积. 我们可以利用旋转的对图形实施变换: 把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三OABO13 角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新OABOCD 12图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形 的面积. 1212144，,因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理) 【例 10】 如图所示，中，，，，以为一边向,ABC，,:ABC90AB,3BC,5AC,ABC 外作正方形，中心为，求的面积( ACDEO,OBC EE DDOO AA 33 BCFBC55 【解析】 如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置( ,OABO90:,OCF由于，，所以(而， ，,:ABC90，,:AOC90，，，,:OABOCB180，,，OCFOAB所以，那么、、三点在一条直线上( BF，，，,:OCFOCB180C 由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边OBOF,，,，,:BOFAOC90,BOF 12为，所以它的面积为816，,( BF538，,4 51610，,根据面积比例模型，的面积为( ,OBC8 【例 11】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，ABABE ，、BD交于(已知AE、BE的长分别为、，求，,:AEB90ACO3cm5cm三角形的面积( OBE CBCB OOF EE DADA 【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将,ADE顺时针旋转到,ABF的位置( 90:那么，而，AEB也是，所以四边，,，，，,，，，,:EAFEABBAFEABDAE9090:形AFBE是直角梯形，且， AFAE,,3 所以梯形AFBE的面积为: 1235312，，，,cm()( ，，2 22222ABAEBE,，,，,3534,ABE又因为是直角三角形，根据勾股定理，， 122SAB,,17cm所以()( ,ABD2 2SSSSSS,,，,,,,,17125cm那么()， ，，,,,,,BDEABDABEADEABDAFBE 12SS,,2.5cm所以()( ,,OBEBDE2 【例 12】 如下图，六边形中，，，，且有平行ABED,ABABCDEFAFCD,BCEF, 于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知EDAFEFFDBDFD,24CDBC 厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米, BD,18ABCDEF BBG AACC FFDD EE 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重AF,DEFEDAB,BCDCD 合，这样、都重合到图中的了(这样就组成了一个长方形EFBCAG ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为BGFDBGFD 平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米( 2418432，,ABCDEF432 【例 13】 如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且1EDABCACBC ，与交于点(则四边形的面积等于 ( ADBEFBDDC:1:2,DFEC AA 33EEF312FBCBDCD AA EE FF CCBBDD SAESBD1?ABF?ABF1,,,,【解析】 方法一:连接，根据燕尾定理，，, CFSECSDC2?CBF?ACF S,1S,3S,2SS,,3设份，则份，份，份，?BDF?ABF?DCF??AEFEFC 如图所标 55SS,,所以 DCEFABC?1212 11SS,,DE方法二:连接，由题目条件可得到， ??ABDABC33 1121SBF1?ABDSSS,,，,,,，所以， ???ADEADCABC2233FES1?ADE 1111111SSSS,，,，，,，，，,， ????DEFDEBBECABC22323212 2115SS,，，,而(所以则四边形的面积等于( DFEC??CDEABC32312 【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点(阴2FABCDECDE,2DG影部分的面积是多少平方厘米? ADADAD1FE3FEFE2xy33yxGCBBCBCGG 55SS,,S,1【解析】 设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示?BCD阴影?DEF1212平方厘米. 【例 14】 四边形的对角线与交于点(如图所示)(如果三角形BDABDABCDACO 1的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度BCDAO,2DO,3CO3 是的长度的_________倍( DO DDAA GHOO CCBB 【解析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无ABCD 外乎两种处理方法:?利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决;?通过画辅助线来改造不良四边形(看到题目中给出条件SS:1:3,，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法(又ABDBCD 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，垂直BD于，面积比转化为高CGG 之比(再应用结论:三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果(请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题( AOOCSS::1:3,,解法一:?，?，?( OC,，,236OCOD:6:32:,,1,,ABDBDC AHBD,H解法二:作于，于( CGBD,G 111SS,SS,AHCG,?，?，?， ,,AODDOC,,ABDBCD333 1AOCO,?，?，?( OC,，,236OCOD:6:32:1,,3 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求:?三角形的面积;?, BGCAGGC:, DA 1 23G B C S,6S，,，123【解析】 ?根据蝶形定理，，那么; BGCBGC ( ?根据蝶形定理，AGGC:12:361:3,，，,，，，， 【例 15】 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、ABCDO?CEF?OEF?ODF 的面积依次是2、4、4和6(求:?求的面积;?求?BOE?OCF?GCE 的面积( AD O F G BCE 【解析】 ?根据题意可知，的面积为，那么和的?BCD244616，，，,?BCO,CDO 面积都是，所以的面积为; 1628,,?OCF844,, ?由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为?BCO?BOE?OCE ， 862,, EGFGSS::2:41:2,,,根据蝶形定理，，所以,,COECOF SSEGFG::1:2,,， ,,GCEGCF 112SS,,，,2那么( ,,GCECEF，1233 【例 16】 如图，长方形中，，，三角形的面积ABCDBEEC:2:3,DFFC:1:2,DFG 2为平方厘米，求长方形的面积( ABCD DDAAGG FF BBCCEE 【解析】 连接，( AEFE 因为，，所以BEEC:2:3,DFFC:1:2, 3111SSS,，，,()( DEF长方形长方形ABCDABCD53210 111SS,SS,,510AGGF::5:1,,因为，，所以平方AED长方形ABCDAGDGDF2210 1S,12SS,厘米，所以平方厘米(因为，所以长方形AFDAFD长方形ABCD6 的面积是平方厘米( ABCD72 【例 17】 如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点(求图中MADABCD3 阴影部分的面积( CB G DAM 【解析】 因为M是AD边上的中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知AMBC:1:2, 道 22S,1，设份，则SSSS:::1:12:12:21:2:2:4,，，,()()?AGM????AMGABGMCGBCG S,，,123 份，所以正方形的面积为份，1224312，，，，,?MCD S,1SS:1:3,S,，,224份，所以，所以平方厘米( 阴影阴影正方形阴影 【巩固】在下图的正方形EAEBDF中，是边的中点，与相交于点，ABCDBC 三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形面积是 ABCD 平方厘米( DA F BCE 【解析】 连接，根据题意可知，根据蝶形定理得DEBEAD:1:2, 2S,，,()129S,3(平方厘米)，(平方厘米)，那么?ECD梯形 S,12(平方厘米)( ABCD 【例 18】 已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘ABCDBCCE:3:2,ODE米(则阴影部分的面积是 平方厘米( DADA OO BEBCEC 【解析】 连接( AC 由于是平行四边形，，所以， ABCDBCCE:3:2,CEAD:2:3, 22SSSS:::2:23:23:34:6:6:9,，，,根据梯形蝶形定理，，所COEAOCDOEAOD S,9S,6以(平方厘米)，(平方厘米)，又AODAOC SS,,，,6915(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘61521，,ABCACD 米)( ABED【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所ABCD 示(单位:平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米( DDAA 99 2121O 44 BBCCEE 【】 连接(由于与是平行的，所以也是梯形，那么AEADBCAECDSS,( ,,OCDOAE 2S,36SSSS，,，,，,4936蝶形定理，，故， 根据,,,,OCDOAEOCEOAD,OCD S,6所以(平方厘米)( ,OCD 【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所ABEDABCD 示(单位:平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米( DDAA 88 1616O 22 BBCCEE 【解析】 连接(由于与是平行的，所以也是梯形，那么AEADBCAECDSS,( ,,OCDOAE 2SSSS，,，,，,2816S,16根据蝶形定理，，故，,,,,OCDOAEOCEOAD,OCD S,4所以(平方厘米)( ,OCD 11SS,,，，,16812，，另解:在平行四边形ABED中，(平方厘米)， ,ADEABED22 SSS,,,,,1284所以(平方厘米)， ,,,AOEADEAOD 根据蝶形定理，阴影部分的面积为(平方厘米)( 8244，,, 【例 19】 如图，长方形被、DF分成四块，已知其中3块的面积分别ABCDCE 为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________OFBC平方厘米( FFAEBAEB 22 55??OO 88 CCDD SS,【解析】 连接DE、(四边形为梯形，所以，又根据蝶形定理，CFEDCF,EODFOCSSSS,,,SSSS,,,,，,2816，所以，所以,,,,EODFOCEOFCOD,,,,EODFOCEOFCOD S,，,4812S,4(平方厘米)，(平方厘米)(那么长方形的面ABCD,EOD,ECD 12224，,积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘OFBC245289,,,, 米)( 【例 20】 如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交AB,ABCDEFGCD于点(已知正方形的面积48，，则的面积是K,BKDDEFGAKKB:1:3, 多少, AAGGDD KK BBCCMEFEF 【解析】 由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形(在DADEFGBCADBC梯形中，和的面积是相等的(而，所以,BDKADBC,ACKAKKB:1:3,,ACK 111,的面积是面积的，那么的面积也是面积的( ,BDK,ABC,ABC134，4由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么AM,ABCBC 是的中点，而且，可见和的面积都等于正方MAMDE,,ABMBC,ACM 形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为DEFG,ABCDEFG48( 14812，,那么的面积为( ,BDK4 【例 21】 下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是EFHABCDG ，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分ABDABCCD m()mn，的面积之比是最简分数，那么，的值等于 ( n HHDDAA GGEE CCBBFF 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积( DEM如下图所示，在左图中连接(设与的交点为( EGAG 1,AMD左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所AEGDAEGD4 11121，，,AMD以三角形的面积为(又左图中四个空白三角形的面积是248 1114,，,相等的，所以左图中阴影部分的面积为( 82 HHDDAA M GGEE N CCBBFF 如上图所示，在右图中连接、(设、的交点为( EFAFACECN可知?且(那么三角形的面积为三角形面积的EFBEFACACEF,2ABC11111132,,1，，,，所以三角形 的面积为，梯形的面积为( BEFAEFC4288248 中，由于，根据梯形蝶形定理，其四部分的面在梯形AEFCEFAC:1:2, 221:12:12:21:2:2:4，，,积比为:，所以三角形的面积为EFN311111，,，,，那么四边形的面积为(而右图中四个空BENF8122424，，，8246 1114,，,白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为( 63 11:3:2,那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，23 m3,即， n2 那么( mn，,，,325 ?ABCFGBC【例 22】 DEADDFFB,,如图， 中，，，互相平行，， SSS::,则 ( ?ADE四边形四边形DEGFFGCB A ED GF BC S,1【解析】 设份，根据面积比等于相似比的平方， ?ADE 2222所以，， SSADAF::1:4,,SSADAB::1:9,,??ADEAFG??ADEABC S,4S,9因此份，份， ?AFG?ABC 进而有份，份，所以 S,3S,5SSS::1:3:5,?ADE四边形DEGF四边形FGCB四边形四边形DEGFFGCB DEAD,2AE,4【巩固】如图，平行，且，，，求的长( BCAB,5AC A ED BC 【解析】 由金字塔模型得，所以 ADABAEACDEBC:::2:5,,,AC,,，,42510 PQ中，，，，，互【巩固】如图， DE?ABCFGMNBC A相平行， D，则 ADDFFMMPPB,,,,ESSSSS::::, F?ADEG四边形四边形四边形四边形DEGFFGNMMNQPPQCB N ( M 22S,1PQSSADAF::1:4,,【解析】 设份，，因此?ADE??ADEAFG S,4S,3份，进而有份，同理有?AFGC四边形DEGFB S,7S,5S,9份，份，份( 四边形MNQP四边形PQCB四边形FGNM 所以有 SSSSS::::1:3:5:7:9, ?ADE四边形四边形四边形四边形DEGFFGNMMNQPPQCB 【例 23】 如图，已知正方形的边长为4，F是边的中点，E是边上ABCDBCDC S的点，且，AF与BE相交于点，求 DEEC:1:3,G?ABG ABAABB GGGFFF DMDDCCCEEE 【解析】 方法一:连接AE，延长AF，两条线交于点M，构造出两个沙漏，DC 所以有，因此，根据题意有，再根据另ABCMBFFC::1:1,,CM,4CE,3一个沙漏有，所以GBGEABEM::4:7,, 4432SS,,，，,,(442)( ??ABGABE，471111 S,，,,4224方法二:连接AEEF,，分别求，?ABFS,，,，,,，,,,4441232247，根据蝶形定理?AEF 4432SS,,，，,,(442)SSBGGE::4:7,,，所以( ??ABGABE??ABFAEF，471111 EFABAD【例 24】 如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中ABCD BFM点， 交于，求的面积( EC,BMG FDA HE MG BC AIFD H EMG BC 【解析】 解法一:由题意可得，、是、的中点，得，而EFABADEFBD// ， FDBCFHHC::1:2,, 所以， EBCDBGGD::1:2,,CHCFGHEF::2:3,,并得、是的三等分点，所以，所以 HBDGBGGH, 11112SSS,,，,BMBF,，所以，; BGEFBMMF::2:3,,,,BFDABDABCD22245 1212111SS,，，,，，,BGBD,又因为，所以( ,,BMGBFD35354303 解法二:延长交DA于I，如右图， CE 可得，，从而可以确定M的点的位置， AIBCAEEB::1:1,, 21BGBD,BMBF, ，，(鸟头定理)， BMMFBCIF::2:3,,35 212111SSS,，,，，, 可得 ,,BMGBDFABCD5353430 AMNBDEFC,,,,1cmMN,2cm【例 25】 如图，为正方形，且，请问四边ABCD PQRS形的面积为多少, EEFFDDCC RR QQSS PP AAMNMNBB MPPCMQMB,1【解析】 (法)由，有，所以，又，所以 ABCD//PCPM,2,MNDCQCEC 11111SMQQCMC,,PQMCMCMC,,,，所以，所以占的， SAMCFSPQR62236 122S,，，，，,所以1(112)( (cm)SPQR63 12S,，，,448(法)如图，连结，则(， 2AEcm),ABE2 RBER2216RBAB2,,,2SS,,，,cm而，所以，8()( ,,ABRABEABEFEFEF333 11MNMP2SS,,，，，,cm,343()，因为， 而,,MBQANSDCPC22 11142S,，，，,cm所以MPMC,，则24()，阴影部分面积等于 ,MNP3233 16422SSSS,,，,,,，,cm33()( ,,,,ABRANSMBQMNP333 【例 26】 如右图，三角形中，，，求( ABCBDDC:4:9,CEEA:4:3,AFFB: A EOF CBD SSBDCD::4:912:27,,,【解析】 根据燕尾定理得 ??AOBAOC SSAECE::3:412:16,,, ??AOBBOC (都有的面积要统一，所以找最小公倍数) ?AOB SSAFFB:27:16:,,所以 ??AOCBOC 【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我?AOB 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量～ 【巩固】如右图，三角形中，，，求. ABCBDDC:3:4,AECE:5:6,AFFB: A EOF CBD SSBDCD::3:415:20,,,【解析】 根据燕尾定理得 ??AOBAOC SSAECE::5:615:18,,, ??AOBBOC (都有的面积要统一，所以找最小公倍数) ?AOB SSAFFB:20:1810:9:,,,所以 ??AOCBOC 【巩固】如右图，三角形中，，，求. ABCBDDC:2:3,EACE:5:4,AFFB: A EOF CBD SSBDCD::2:310:15,,,【解析】 根据燕尾定理得 ??AOBAOC SSAECE::5:410:8,,, ??AOBBOC (都有的面积要统一，所以找最小公倍数) ?AOB SSAFFB:15:8:,,所以 ??AOCBOC 【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我?AOB 们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达 到解奥数题四两拨千斤的巨大力量～ 【例 27】 如右图，三角形中，，且三角形的ABCAFFBBDDCCEAE:::3:2,,,ABC 面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为1ABEAGE________，三角形的面积为______( GHI AA EE GGFF IIHH BCBCDD 【分析】 连接AH、BI、( CG 222SS,,AEAC,由于，所以，故; CEAE:3:2,,,ABEABC555 SSCDBD::2:3,,SSCEEA::3:2,,根据燕尾定理，，，所以 ,,ACGABG,,BCGABG 49SSS::4:6:9,S,S,，则，; ,,,ACGABGBCG,ACG,BCG1919 2248SS,,，,那么; ,,AGEAGC551995 9EGEHSS::4:9,,S,同样分析可得，则，,,ACGACH,ACH19 EGEBSS::4:19,,，所以，同样分析可得EGGHHB::4:5:10,,,ACGACB ， AGGIID::10:5:4, 55215511SS,,，,SS,,，,所以，( ,,BIEBAE,,GHIBIE1919519101055 【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形ABCAFFBBDDCCEAE:::3:2,,,GHI 1的面积是，求三角形的面积( ABC AA EEHHFF IIGG BBDCDC S,【解析】 连接BG，份 6?AGC SSAFFB::3:26:4,,,根据燕尾定理，，??AGCBGC SSBDDC::3:29:6,,, ??ABGAGC S6?AGCS,4S,9S,19得(份)，(份)，则(份)，因此, ,?BGC?ABG?ABCS19?ABC SSS66196661,,,?ABH?BIC?GHI同理连接AI、CH得,,所以 ,,,,S19S19S1919?ABC?ABC?ABC三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19 中，，，那么的面积是阴【巩固】如图，BDDA,2,ABCCEEB,2AFFC,2,ABC影三角形面积的 倍( AA DD GG FF HHII BBCCEE 【分析】 如图，连接AI( SSBDAD::2:1,,SSCFAF::1:2,,根据燕尾定理，，， ,,BCIACI,,BCIABI 22SSS::1:2:4,SSS,,所以，，那么，( ,,,ACIBCIABI,,,BCIABCABC，，1247 2同理可知,ABH和的面积也都等于面积的，所以阴影三角,ACG,ABC7 2113,，,形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面,ABC,ABC77 积的7倍( DCEAFB1?的面积GHI,,,【巩固】如图在中，,求的值( ?ABCDBECFA2?的面积ABC AA EE HH FF GGII BDBDCC S,【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理?BGC SSAFFB::2:1,,SSBDDC::2:1,,S,2,,得(份)，??AGCBGC??ABGAGC?AGC S2?AGCS,4S,7(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,?ABG?ABCS7?ABC SSS2272221,,,?ABH?BIC?GHI,,所以 ,,,,S7S7S77?ABC?ABC?ABC 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 【例 28】 如图，三角形的面积是，，，三角形1ABCBDDEEC,,CFFGGA,,ABC被分成部分，请写出这部分的面积各是多少? 99 A A G QG PFFMN BDBECDEC 【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N(连接CP，CQ，CM，CN( SSAGGC::1:2,,SSBDCD::1:2,,根据燕尾定理，，，设??ABPCBP??ABPACP 1S,1S,，，,1225S,(份)，则(份)，所以 ?ABP?ABC?ABP5 211213S,S,S,S,,,同理可得，,,而，所以，?ABQ?ABN?ABG?APQ3727535121S,,,( ?AQG3721 311239S,S,S,,,,同理，,所以，?BPM?BDMPQMN四边形3521273570 139511511115S,,,,S,,,,S,,,,,, 四边形MNED四边形NFCE四边形GFNQ3357042321426321642 【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是DEF,ABCBCGAC 边的三等分点，那么四边形的面积是多少, JKIH CC DDFFJJ EEGG KHKHII AABB 【解析】 连接、、( CKCICJ SSCDBD::1:2,,SSAGCG::1:2,,根据燕尾定理，，， ,,ACKABK,,ABKCBK 1111SSS::1:2:4,S,,SS,,所以，那么，( ,,,ACKABKCBK,ACK,,AGKACK，，1247321 2S,类似分析可得( ,AGI15 1SSAFCF::2:1,,SSBDCD::2:1,,S,又，，可得( ,,ABJCBJ,,ABJACJ,ACJ4 1117S,,,那么，( CGKJ42184 17根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的CEHJJKIH84 172161SSS，，，,，，，,22图形的面积之和为，所以四边形JKIHCGKJAGIABE,,8415370 6191,,的面积为( 7070 【例 29】 右图，中，是的中点，D、E、F是边上的四等分点，?ABCGACBCAD与交于M，AF与交于，已知的面积比四边形的BGBGN?ABMFCGN面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米, 7.2?ABC AA GGNN MM BBDCDCEFEF 【解析】 连接、( CMCN SSAGGC::1:1,,SSBDCD::1:3,,根据燕尾定理，，，所以??ABMCBM??ABMACM 1SS,; ??ABMABC5 SSAGGC::1:1,,再根据燕尾定理，，所以??ABNCBN S142?ANGSSSS::4:3,,，所以，那么，ANNF:4:3,,，,????ABNFBNCBNFBNS2437，?AFC 2515,,所以( SSSS,,,，,1FCGNAFCABCABC???,,77428,, 15S,336SS,,根据题意，有7.2，可得(平方厘米) ?ABC??ABCABC528 【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、 的三等分点,求阴影部分面积. CA AA DIDIN EPMEHHQ BBCCFFGG 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧～ 令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP ?求:在中，根据燕尾定理，?ABCS四边形ADMI SSAICI::1:2,,SSADBD::1:2,, ??ABMCBM??ACMCBM S,1S,2S,1S,4设(份)，则(份),(份),(份), ?ABM?CBM?ACM?ABC 1111SSS,,SSS,,SS,所以，所以,, ???ABMACMABC???ADMABMABC??AIMABC431212 111SSS,，,()所以, ??ABCABC四边形ADMI12126 1同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的 ?ABC6?求S:在中，根据燕尾定理?ABC五边形DNPQE SSBFCF::1:2,,SSADBD::1:2,,, ??ABNACN??ACNBCN 11111SSSS,,，,SS,所以,同理 ????ADNABNABCABC??BEQABC3372121 在中，根据燕尾定理?ABC SSBFCF::1:2,,SSAICI::1:2,,, ??ABPACP??ABPCBP 1SS,所以，所以??ABPABC5 11111,,SSSSSS,,,,,,, ?????ABPADNBEPABCABC,,五边形DNPQE52121105,, 11同理另外两个五边形面积是面积的，所以?ABC10511113S,,，,，,133 阴影610570 【例 31】 如图，面积为l的三角形中，、、、、、分别是、、ABCDEFGHIABBC CA 的三等分点,求中心六边形面积. AA DIRDIN EHEPHQSMBCBCFGFG 【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR SSBGCG::.2:1,,在中根据燕尾定理，, ?ABC??ABRACR SSAICI::1:2,, ??ABRCBR 222SS,SS,SS,,同理, 所以??ABRABC??ACSABC??CQBABC777 22211S,,,,,S,1所以，同理 ?RQS?MNP77777 11131S,，,,根据容斥原理，和上题结果 六边形777010 课后练习: 练习1. 已知的面积为平方厘米，BECEADBDCFAF,,,,2,3，求的?DEF7?ABC 面积( A F D BCE SSBDBEBABC:():()(11):(23)1:6,，，,，，,【解析】 ，??BDEABC SSCECFCBCA:():()(13):(24)3:8,，，,，，,??CEFABC SSADAFABAC:():()(21):(34)1:6,，，,，，, ??ADFABC S,24S,4S,4S,9S,,,,,244497设份，则份，份，份，?ABC?BDE?ADF?CEF?DEF S,24份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 7?ABC EAAB,练习2. 如图，四边形的面积是平方米，，，，EFGHCBBF,DCCG,66 HDDA,，求四边形的面积( ABCD HH CGCGDD BBAAFFEE SSCDCBCGCF:():()1:2,，，,【解析】 连接(由共角定理得，即BD??BCDCGF SS,2 ??CGFCDB SS:1:2,SS,2同理，即 ??ABDAHE??AHEABD 所以SSSSS，,，,2()2????AHECGFCBDADB四边形ABCD连接，同理可以得到 ACSSS，,2??DHGBEF四边形ABCD SSSSSSS,，，，，,5????AHECGFHDGBEF四边形四边形四边形EFGHABCDABCD 所以平方米 S,,,66513.2四边形ABCD 练习3. 正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，EABFABCDBC 四边形的面积是 平方厘米( BGHF AD EG HADFBC EG H FM BC 【解析】 欲求四边形的面积须求出和的面积( BGHF,EBG,CHF 1SS,由题意可得到:，所以可得: EGGCEBCD::1:2,,,,EBGBCE3 将AB、DF延长交于M点，可得: ， BMDCMFFDBFFC:::1:1,,, 12CHCE,EHHCEMCDABABCD::():3:2,,，,而，得， 52 1121CFBC,SSS,，,而，所以 ,,,CHFBCEBCE2255 111SABBC,，，,，,12030 ,BCE224 1177SSSSS,,,,,，,3014 ( ,,,,EBCEBCEBCEBC四边形BGHF351515 EFH 本题也可以用蝶形定理来做，连接，确定的位置(也就是 )，同样也能解出( FHHD: 练习4. 如图，已知，，，，则ABAE,,4cmBCDC,，,，,:BAEBCD90AC,10cm 2SS，，,S cm( ,,,ABCACECDE C B C AEBA'D AE DC' 90【解析】 将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形AABCC 和，再连接，显然，，，所AEC'ADC'AC''ACAC,'ACAC,'ACACAC,,''以是正方形(三角形和三角形关于正方形的中心中ACAC''AEC'ADC'O心对称，在中心对称图形中有如下等量关系: ACAC'' SS,SS,SS,;;( ,,AECADC'',,AECADC'',,CEDCDE' 112SSSSSSS，，,，，,,，，,101050cm所以( ,,,,,,ABCACECDEAECACECDEACAC'''22 练习5. 如图，正方形的面积是平方厘米，E是AB的中点，F是的ABCD120BC中点，四边形 的面积是_____平方厘米( BGHF AADD EEGG HH FFBCBC S,1【解析】 连接BH,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理BGGD:1:2,?BHC 127S,2S,2S,，,份，份，因此份，，所S,，，，,(122)210?CHD?BHDBFHG正方形236 7S,,，,1201014以(平方厘米). BFHG6 DEF练习6. 如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，,ABCACBC若的面积为1，那么四边形的面积是_________( ,ABCCDMF AA DDMMNN BBCCFFEE 【解析】 由于点是边的中点，点、是边的三等分点，如果能求出、DEFACBCBN 、三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中MDNM 当然也包括四边形的面积( CDMF 连接、( CMCN SSBFCF::2:1,,SS,2根据燕尾定理，，而，所以,,ABMACM,,ACMADM 4SSS,,24，那么，即BMBD,( BMDM,4,,,ABMACMADM5 BMBF4214147,，，,，，,S,,,SS那么，( ,,BMFBCD四边形CDMFBDBC5321521530 1111SSS,,24SS,,，,另解:得出后，可得， ,,,ABMACMADM,,ADMABD55210 117SSS,,,,,则( ,,ACFADM四边形CDMF31030 练习7. 如右图，三角形中，，且三角形的ABCAFFBBDDCCEAE:::4:3,,,ABC面积是，求角形 的面积( GHI74 AA EEHHFF IIGG BBDCDC S,【解析】 连接BG，12份 ?AGC SSAFFB::4:312:9,,,根据燕尾定理，，??AGCBGC SSBDDC::4:316:12,,, ??ABGAGC S,9S,16S,，，,9121637得(份)，(份)，则(份)，因此?BGC?ABG?ABC S12?AGC, ,S37?ABC SSS1212371212121,,,?ABH?BIC?GHI同理连接AI、CH得,,所以 ,,,,S37S37S3737?ABC?ABC?ABC 1742，,三角形的面积是,所以三角形的面积是 ABCGHI7437 月测备选 【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角 三角形(已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直2cm4cm 角边分别为和，求图中阴影部分的面积( 3cm6cm 22甲甲33乙乙44 66 【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等 于平移后两个长方形面积之和(所以阴影部分面积为: 2346236242211，，，,，,，，,,()()cm 【备选2】 如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积ABCDPMON 是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米( PDC MN O AB ABP【解析】 因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三ABCD 1角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形ABOABCDPMON4 的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是AMOBNO 平方厘米( 18936,,, 又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即ADOBCOABCD 18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)( 18612,, BE【备选3】 如图，已知，，与相交于点,则被分BDDC,3ECAE,2CDO?ABC 成的部分面积各占 面积的几分之几, 4?ABC AA 11EE92OO 213.54.5 BBCC31DD S,1【解析】 连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以CO?AEO S,，，，,1291830份，所以四部分按从小到大各占面积的?ABC?ABC 124.5139313.59，,,,,,, 30306030103020 【备选4】 如图，在中，延长AB至D，使BDAB,，延长至E，使?ABCBC 1CEBC,，是的中点，若的面积是，则的面积是多F2AC?ABC?DEF2 少, A F CBE D 【解析】 ?在和中，与互补， ?ABC?CFE，ACB，FCE SACBC,，224?ABC?( ,,,SFCCE,，111?FCE S,0.5S,2又，所以( ABCFCE S,2S,3，( 同理可得?ADF?BDE SSSSS,，，,,，，,,20.5323.5所以 ?????DEFABCCEFDEBADF AFBF:,【备选5】 如图，,,则 BDDC:2:3,AECE:5:3, A EGF BCD SS:2:310:15,,SS:5:310:6,,【解析】 根据燕尾定理有,,所以??ABGACG??ABGBCGSSAFBF:15:65:2:,,, ??ACGBCG DCEAFB1?的面积GHI【备选6】 如图在中，,,,,求的值( ?ABCDBECFA3?的面积ABC AA EE HH FF GGII BDBDCC S,【解析】 连接BG,设1份，根据燕尾定理?BGC SSAFFB::3:1,,SSBDDC::3:1,,S,3,,得(份)，??AGCBGC??ABGAGC?AGC S3?AGCS,9S,13(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,?ABG?ABCS13?ABCSS3?ABH?BIC,, 13,,SS13?ABC?ABC S133334,,,?GHI所以 ,,S1313?ABC