有关切点弦的问题

有关切点弦的问题 结论 从圆O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP垂直平分。 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线。 1. 从不在椭圆对称轴上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平分，且直线AB和OP的斜率之积为定值。 2. 从不在双曲线对称轴上，也不在渐近线上的任意一点P引双曲线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被直线OP平分，且直线AB和OP的斜率之积为定值。 23. 从任意一点P(不含焦点的一侧)引抛物线y,2px(p,0)的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB被过点P且平行于抛物线对称轴的直线平分。 对推论1进行证明: 如图1，设P(m，n)(mn?0)，可以证明，切点弦AB所在的直线方程为 图1 代入椭圆方程,1中，整理得 设A(x，y)，B(x，y)，弦AB的中点Q(x，y)，由韦达定理得 112200 则 ， 代入直线AB的方程得 因为 所以 点Q在直线OP上 故 直线OP平分切点弦AB 又因为 所以 推论1得证。 用类似的方法可以证明推论2。 下面证明推论3: 如图2，设P(m，n)(mn?0)，可以证明，切点弦AB所在的直线方程为， 代入抛物线方程中，整理得 图2 设 弦AB的中点Q(x，y) 00 由韦达定理得 ， ， 则 代入直线AB的方程 得 所以点Q在直线y,n上。推论3得证。 该方程，如果两圆相交应该为公共弦方程，希望高手们能给出证明。 如果两圆相离，那该方程是什么,在那, 提问者: 召唤之夜月 - 试用期 一级 最佳答案 这个一次方程示的是一条直线，这条直线是两圆的根轴。解释根轴这个概念，我们需要引入一个名词，圆的幂。 我们知道圆幂定理，就是过一个点任意引圆的割线，这个点到割线两端点的有向距离之积是一个定植，我们把这个定值就交做圆的幂。圆周上的点的幂都等于0，圆外的点的幂大于0，圆内点的幂小于0 根轴就是到两圆幂相等的点的集合。它是一条垂直于两圆连心线的直线，且它过两圆所有共切线的中点。特殊的，当两圆相交时，那么根轴就是两圆公共弦所在的直线，当两圆相切时，根轴就是两圆过切点的共切线。当两圆相离或内含时，根轴是一条与两圆都不相交的直线。 所以: 当两圆相交时候，你就可以认为这个直线的方程表示的是两圆的公共弦所在的直线。 当两圆相切(包括内切和外切)时，这个直线方程表示的就是过两圆切点的共切线。 当两圆相离时，这个直线方程表示的是过四条共切线中点的直线。 当两圆内含时，这个直线方程表示的直线有这样的性质:这条直线上的点向两圆引切线，切线长相同。 它们本质上都是圆的根轴。 切点弦方程 问题1:过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点 分别是、，求直线的方程(直线称作切点弦)( 解:如图所示，设切点的坐标为，切点的坐标为( 因为圆的方程是 ? 所作的切线的方程为 所以过圆上一点 ? 由于在直线上，所以 ? 同理，根据点M在切线BM上，得 ? ??表明，点和点都在下面的直线上 ? 因为过两点只有一条直线，所以?就是直线的方程( 即点的切点弦方程为:( 问题1解法的基本思想是设而不求(设了点和点的坐标，但是不求出这些坐标，只是借用 它们的形式，把最终的问题解决( 从问题1中，我们不仅学习了切点弦方程，还学习了设而不求的解题思想(下面看一个与之相关 的问题( 问题2:设是圆内的一点，但不是圆心(过点任意作两条不通过 圆心的弦和，分别过点、作圆的切线相交于点，过点、作圆的切线相 交于点(求直线的方程( 解:如图，设点的坐标为，点的坐标为( 因为圆的方程是 ? 、是过圆外一点所作圆的切线，、是切点，所以切点弦的方程为 ? 同理切点弦的方程为 ? 因为在直线上，所以 ? 同理在直线上，所以 ? ??表明点，点和点都在下面的直线上 ? 因为过两点只有一条直线，所以?就是直线的方程( 不难看出，上述两个问题的紧密联系，同样是用设而不求的思想方法，问题2还运用了问题,的结论，更为有趣的是二者其实还是一个问题的两个方面，具体如下: 一般地，已知圆和平面内的任意点，只要不是圆心(0，0)，总 可以作出对应的直线(这样得到的直线叫做点关于圆的极线(当 在圆外时，也叫切点弦)，点叫作直线的极点( 问题1 是点在圆外时的情况，问题2是点在圆内时的情况，并且同时也给出了作 相应极线的几何作图方法(当然，点在圆上时，它的极线就是过点的圆的切线(三种情 况的极线方程都是，这种高度的统一性真是妙不可言(其实极点、极线的概念 就是切点、切线概念的推广，它们还有很多重要的性质，高等几何里有详细研究(