平方根数列递推公式推导通项公式

平方根数列递推公式推导通项公式 可以用以下关于数列{an}的递推公式来计算平方根（a > 0）的近似值 an = (an − 1 + )（a > 0，n∈N+） 数列{an}的初值为a0，这里a0可以为任意接近于的有理数。可以证明，对于任意的正数a，当n → ∞时，数列{an}收敛，极限为，因此a0也可以取为任意正数。 下面根据数列{an}的递推公式和初值a0导出{an}的通项公式an，推导过程如下 an − = (an − 1 + ) − = an + = (an − 1 + ) + = 以上两式作比值可得 = ()2 为了方便计算，记bn = ，则an = ，可得bn = （n∈N+），于是 bn = = ()2 = (()2)2 = … = （n∈N+） 根据数列{an}的递推公式和an与bn之间的关系，可以得到 a1 = (a0 + ) = ，b1 = = ()2 于是 bn = = = （n∈N+） 因此 an = = （n∈N+） 因为a > 0，a0 > 0，容易证明不等式 − 1 < < 1 即 < 1 当n → ∞时， → 0，因此数列{an}收敛于，即 于是可以得到，数列{an}的通项公式为 an = （a > 0，n∈N+）