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Android彩信发送介绍.doc 含参数不等式恒成立问中参数范围的确定 确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点;然而，怎样确定其取值范围呢,课本中却从未论及，但它已成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点;在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过程中的难点.基于此，下文试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结. 1 分离参数法 xxx，，，，，n,，na，，12？1，，例 1:设，其中a是实数，n是任意给定的自然数，，fx,lg,,n，， 且n?2，若当 时有意义, 求a的取值范围。 ，，，,fxx,,,,1 该题题型新颖，许多学生对函参数的不等式如何确定参数取值范围茫然不知所措。因为这类问题涉及到高中数学的各个分支，在代数，三角，几何，解析几何等的知识，而且这类问题思维要求高，解法也较灵活，故学生难以掌握。但若我们能认真观察分析一下这类问题的特征，其实这类题目的规律性是较强的。下面就结合例子给出解决此类问题的几种方法: 例如上面的这道高考题，我们根据其特征可以用分离参数法来解决。所谓分离参数法也就是将参数与未知量分离于达式的两边，然后根据未知量的取值范围情况决定参数的范围。这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快的解决。我们来分析一下这道题的特征: 因为分母n是正数，要使得当有意义，分子，，，,fxx,,,,1 xxx就必须也是正数。并容易看出，可以将a分离出来。 ，，，，1，2，？，n,1，na 分析: 当时，有意义，故有 ，,，，x,,,,1fx xxx，，121,,,,,,xxx，，，,，,,,,，，，,12？n1na0a？1 ，，,,,,,,,,nnn,,,,,,,,，， xxx，，121,,,,,,,,，，，,令x？1，只要对在上的最大值，此不等式，，，,，，,x,,,1,,,,,,,,,nnn,,,,,,,,，， 成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a。 解: 由时，有意义得: ，,，，x,,,,1fx xxx，，121,,,,,,xxx,,,，，，,a？1，由指，，1，2，？，n,1，na,0,,,,,,,,nnn,,,,,,,,，， xxx，，121,,,,,,,,，，，,数函数单调性知上式右边的函数x？1的最大，，,,,,,,,,,nnn,,,,,,,,，， ，，12n,11,,,,,,值是, ，，1,n1,,，，？，，，,,,,,,,,,2nnn,,,,,,，， 1故 a> ，，1,n2 一般地，利用最值分离参数法来确定不等式 , ( ，，fx,,,0x,D为实参数)恒成立中参数取值范围的基本步骤: , (1) 将参数与变量分离，即化为的形式; ，，，，，，，，，，f,,fx或f,,fx1222 x,(2) 求在D时的最大(或最小)值; ，，fx2 ) 解不等式 得的取值范围。 (3，，，，，，，，f,,fx或,fx,12max2min 思想方法: 把不等式中恒成立问题转化为求函数最值问题。 适用题型:(1) 参数与变量能分离;(2) 函数的最值易求出。 利用这种方法可以顺利解决许多含参数不等式中的取值问题，还可以用来证明一些不等式。 例 2: 已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意求实,，0,，,x,R 数m范围，使 恒成立。 ，，，，fcos2,,3，f4m,2mcos,,0解: ? f(x)在R上为奇函数，且在上是增函数， ,，0,，, ? f(x)在上为增函数 ，，,,,，, 又 ? ，，，，fcos2,,3，f4m,2mcos,,0 ? ,,, ，，，，，，fcos2,,3f4m,2mcos,f2mcos,,4m ? 即 ，，2m2,cos,,3,cos2,cos2,,3,2mcos,,4m ? 2,， ,,,1,3cos, 2,,3,cos24,2cosm,,? 2 2,cos,2,cos, 2,2,cos2,,2，cos,? m> 2,cos,2,cos, 2,,,,， 4[2cos],,2cos 令2,,, cos,,t,t,1,3 2,, ? m>4, t，,,t,, 2 即4,m<在上恒成立 t，,,t,1,3t 2即求在上的最小值 gt,t，,,，，t,1,3t 22 ? gt,t，?2等号成立条件t=,即成立 ，，t,2,,,1,32tt ? ，，gt,22min ? 4,m<即m>4, 2222 m的取值范围为(4,，，?) ?22 5例 3: 设00在上恒成立。 ，，,,ftt,0,1 ,2m ,,02，1 ? ，，f0,2m，1,0 ,2m 0,,,1 2，1或 2,,,4×1×()<0 ，，,2m2m，1 ,2m ,,1 2，1 或 >0 ，，g1,1,2m，2m，1 1解得 : 或或 ,,m,00,m,1m,12 1? ， m,,2 1,,即 m的取值范围为: ,,，,,,2,, 4 数形结合法 某些含参不等式恒成立问题，既不能分离参数求解，又不能转化为某个变量的一次或二次函数时，则可采用数形结合法。因为辨正唯物主义认为:万物皆有形。所以从宏观上讲，抽象的数学问题必存在着形象的直观模型，这是因为数学问题本身就是客观世界事物的抽象。我们在解题时，可以有意识地去认识，挖掘和创造抽象的直观形象，变抽象为直观，充分运用直感，由数思形，以形辅数。数形结合往往能迅速而简捷地找到解题途径。对于解含参不等式恒成立问题，我们可以先把不等式(或经过变形后的不等式)两端的式子分别看成两个函数，且画出两函数的图象，然后通过观察两图象(特别是交点时)的位置关系，从而列出关于含参数的不等式。 811822例8、已知对于一切x，y?R，不等式恒成立，求x，,2xy，2,y,a,02xx 实数a的取值范围。 811881182222解:要使原不x，,2xy，2,y,a,0,a,x，,2xy，2,y22xxxx 811822等式恒成立，又,a,{x，,2xy，2,y}min2xx 99222222x,2xy，y，[()，2()2,y，2,y],2 xx 99222=，考虑到点M,x,,， (x,y)，(，2,y),2xx 2y N,y,-,则点M在曲线C:xy=9上，点N在曲线C:2,y12 22x+y=2(y?0)上。显然|MN|=，此时a.故满32,2,22,6min 足条件的a 的取值范围为 (,,,6] 评析:对一些不等式两边的式子，函数模型较明显、函数图象较x O 容易作出的，可以考虑作出函数图象，用函数图像的直观性解决不等式 或方程的恒成立的问题，也非常容易得到意想不到的效果。 1,,2例9:若不等式在x,0,内恒成立，求实数a的取 3x,logx,0,,a3,, 值范围。 1,,2解: 由题意知 : 在内恒成立。 x,0,3x,logx,,a3,, 2在同一坐标系内分别作出 和 的图象 y,logxy,3xa 1,,2因为时，的图象位于函数的图象上方， x,0,y,logxy,3x,,a3,, 当 a> 1时，显见不成立。 故 0 a4,sin，cos,3，a,0,,8222,, 3又取,0，时均得: ,a,,,257 3由此猜想: a,,82 3a,由于当 时，对一切 ,,R82 2? ， cos,,04,sin,,3 424? 恒成立 ，，a4,sin,，cos,,3，a,a,3，0,3，a,0 3故 为所求。 a,82 数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中不等式的结构特征，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适当方法快速而准确地解出。当然除了以上的方法外，还有许多其它的方法，值得一提的是，各种方法之间并不是彼此孤立的。因此，系统地掌握参数问题的解题方法，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。