高数教案_函数极限3

示当自变量 x 无限增大时, 曲线 y = f (x)上的对应点的纵坐标f (x)会无限接近于数a. 从而曲线 y = f (x)会越来越贴近直线 y=a . 即, 当x无限增大时, 曲线 y = f (x)以直线 y=a为渐近线 即,().afxa,,,，,, lim()0,0,|()|.fxaXxXfxa,,,，,,,,就是，当时有,,x,，, ：：任作直线 y = a,,. (,, > 0), 都存在X > 0. 当 x > X 因此的几何意义是, lim()fxa,x,，, 时, 函数 y = f (x)的图形夹在这两直线之间. 时： limfxa,，，x,, 按定义,作直线 y = a,,. (,, > 0), 存在X > 0. 当 | x | > X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a,, 之间. 由定义1，2，3知： 定理1 的充要条件是=． lim()fxa,lim()fxlim()fxa,x,,x,，,x,,, 1练习：证lim0, x,,x 11解：方法一,lim0,=lim， x,，,x,,,xx 方法二，,,,，要使|1/x|<,只要|x|>1/，取X=1/即可 ,,,0 x,2练习：证明 lim1, x,,x，1 xx,fx()0 引例 从函数图形特征观察函数的极限 如上图左：当时，无限接近２； fxx()1,，x,1 2x,1如上图右：当gx(),时，无限接近于２． x,1x,1 2x,1 函数gx(),与是两个不同的函数，前者在处有定义，后者fxx()1,，x,,x,1 在处无定义．这就是说，当时，fx()，gx()的极限是否存在与其在处x,1x,1x1, 是否有定义无关． ：开区间（x，）称为以 为中心，以 （＞０）为半径的邻x,,x，,,, o域，简称为点x的邻域，记为U（x，Ux(,),x）．用表示的去心邻域，即,00(,)(,)(0)xxxx,，,,,,． 0000 o定义１ 设函数f（x）在 xUx(,),的某一去心邻域内有定义，如果当自变量x在内00 即x时无限接近于时，相应的函数值f（x）无限接近于常数A，则A为0,,,xx,00 xx,fxAxx()(),,fx()时函数的极限，记作lim()fxA,或． 00xx,0 若,,，,,,0,0fxa,,,，当时，有，则称为A0,,,xx,fx，，，，0 xx,xx,limfxA,当时的极限.记作：或（） fxA,，，，，00xx,0 与数列极限定义比较: 将“ x=f (n)”换成f (x), n 将“ N”换成“ , >0”, 将“ n>N” 换成 “ 0<|x,x|<, ”. 数列极限中. n,,. “ 用 n>N” 表示了n充分大0 这一意思. 而x, x, 用“ 0<|x,x|<, ” 表示了这一意思. 00 定义中“ 0<|x,x|<, ”. 表示x , x. 因此, f (x)在x是否有定义与f (x)在x是否有极0000 限无关. 2x,1lim2, 1x,x,1 例：证明 2x,1证：函数f(x)=在x=1时无定义 x,1 练习：证 limsinsinxx,0xx,0 证： ( sinxcosxxx) 00 ： 直观地表示当自变量无限接近于时,lim(),fxaxx,曲线 y = f (x)上对应点0xx,0 的纵坐标会无限接近于 a . 按定义就是当时, 0,0,0|| ,|()|,,，,,,,,,,,,,xxfxaafxa,,,，,,()，即 0 故lim()fxa,的几何意义是： xx,0 ^作直线存在当落在内时函数的图形夹 (0),0, (,),()yaxxyfx,,,,,,,,,,0在两直线之间ya,,,. ,，xx,xx, 00 定义，设f (x)在x的右边附近(左边附近)有定义，若, >0, ， >0. 当0