[精品]三角形的__三条中线_三条高_三条角等分线__与三边的关系

[精品]三角形的__三条中线_三条高_三条角等分线__与三边的关系 A 证明:三角形的三条角平分线必交于一点 证明: 设分别为中及的角平分线BOCOABCBC,,，，D F 并且BO,CO相交于点OO 现证明AO也为的角平分线，AC B E 过点分别作于于OOEBCEODABD,,, OFACF,于 ？BOB为的角平分线， ？OD=OE 同理:OE=OF ？,ODOF 在RTAOD,,与RTAOF中 ？ODOFAO,,为公共边 ？,,,RTAODRTAOF ？，,，OADOAF 即AO为的角平分线，A 若?A的角平分线AE交BC于E A 则OA与OE的比例是多少,AO的长度是多少, 设?ABC的三边长 BCaABcACb,,,,,D 且过O点作MN?BC，交AB于M，交AC于N N M O 过点O作OD?AB于D， C B 显然，OD为?ABC内切圆的半径r E 如右图 ？MNBC// ？，,，MOBOBC MBNC,？？(1)ABAC AMMN,？？(2)ABBC AOMN,？？(3)AEBC 又BO为的角平分线，B ？，,，MBOOBC ？，,，MOBMBO ？,MBMO 同理:NCNO, 设:MBMOx,, xNO则由(1)会有:, cb bx？,,NCNO c bxb？,，,，,，MNMONOxx(1) cc 由(2)得 ABMBMN,, ABBC bxx，cx,c即:, ca ac解得:x, ab，，c bacabc()，MN,，,(1) cabcabc，，，， abc()， AOMNbc，abc，， 由有(3):,,, AEBCaabc，， AObc，？, OEa 下面求长度AO 在RTADO,中 bca，,AD, 2 2SODr,,其中:4()()()()Sabcabcacbbca,，，，,，,，, abc，， (上面为三角形内切圆半径公式)所以: 22AOADOD,， 22bca，,2S,,,,,，,,,,2abc，，,,,, 2()bca，,()()()()abcabca，，，,，,，,cbbca,，244()ab，，c ()[(bca，,，bca,)()()()]abcabcacb，，，，,，,, 4()ab，，c bcbca(，,), abc，， AObc，, AEabc，， 所以: abcabc，，，，bcbca()，,AEAO,, bc，bc，abc，， bcabcbca()()，，，,, bc， 证明:三角形的三条中线相交于一点 A 证明: 设AB中线为CD，AC中线为BF，且CD与BF相交于点O G F D 连接AO并延长交于BC于E O 现证明点E为BC的中点 C 连接DF交AO于G B E 显然DF为?ABC的中位线 DGAD1故:,, BEAB2 1 ？,DGBE？？(1) 2 1 同理:(2)GFEC,？？ 2 ？GFBE// ？,,GFOEBO GFGO ？, EBEO DGGO 同理:, CEEO GFDG ？, EBCE 由有(1),(2)11 ECBE 22, EBCE 即: 1122CEBE, 22 ？,CEBE 即为的中点EBC 即有三角形的三条中线相交于一点 接下来求AO与OE的比例关系 A 显然:AG=GE 且:GO:OE=DG:EC=1:2 故:OE=2OG G F D GE=3OG O AO=AG+GO=4OG C B 所以:AO:OE=4OG:2OG=2:1 E 2 即:AOAE, 3 接下来求AE的长度 设ABcACbBCa,,,,, 显然: 222AEACECACECC,，,2cos 2a2,，,babCcos 4 222abc，, 又cosC, 2ab 所以: 2222aabc，,22AEbab,，, 42ab 2222242()baabc，,，, , 4 2222()bca，, AE, 2 证明三角形的三条高相交于一点 A 证明: ?ABC中，设AB边上的高CD与AC边上的高BF D F 相交于点O，连接AO并延长交BC于E O 下面证明AE?BC C B E 容易证明点B、C、F、D四点共圆 (因为RT?BCD与RT?BCF有公共的斜边) 所以: ?DFB=?DCB(同弧上的圆周角相等)……(1) 另外: RT?BOD?RT?BAF BOBD , BABF 又?OBD是?OBA与?DBF公共角 所以: ?OBA??DBF 所以: ?DFB=?OAB，由(1)有: ?OAB==?DCB 又?OAB+?AOD=90?，?AOD=?COE 所以: ?DCB+?COE=90? 即证明了: AE?BC ()(abcabcacbbca，，，,，,，,))(()2S由海伦公式易得:AE,, a2a 求AO长度 过点A作BC的平行线 过点B作AC的平行线 M A 过点C作AB的平行线 N 且其两两相交于M、N、L D 显然CD?LM F O 平行四边形ABCM C B E 与平行四边形ABLC 所以LC=AB=CM 所以CD为LM的中垂线 同理AE为MN的中垂线 BF为NL的中垂线 L 所以点O为?MNL的外心 且?MNL的边长分别为?ABC的两倍 所以?MNL外接圆的半径为?ABC外接圆半径的两倍，即为2R 即NO=2R，且AN=BC 2222AONOANRa,,,,4 abc R, 4S 4S,(a，b，c)(a，b,c)(a，c,b)(b，c,a) (海伦公式)