反函数的导数和复合函数的导数

反函数的导数和复合函数的导数 第三节 反函数的导数和复合函数的导数 学时:2 重点:反函数求导公式，复合函数求导的法则 难点:复合函数求导 一 反函数求导法则 ,定理2.3 若单调连续函数在点处可导，且，则它的反函数x,,(y),(y),0y 1,f(x),x在对应点可导，且有. y,f(x),(y), x证明 由于单调连续，所以它的反函数也单调连续，给以增量x,,(y)y,f(x) ，从的单调性可知，，从而有 y,f(x),y,f(x，,x),f(x),0,x,0 ,y1 ,,x,x ,y 根据y,f(x)的连续性，当时，必有,y,0 ,x,0 ,x,lim,,(y),0又因为x,,(y)可导，于是 ,y,0,y 所以 ,y111lim,lim,, ,x,0,x,0,x,x,,x,(y)lim,y,0,y,y 1,f(x),xy,f(x)这就是说，在点处可导，且有. ,(y), ，，,1,x,1例2.2.7 求y,arcsinx的导数 ,,，，,1,x,1y,arcsinx解 因为是x,siny(,,y,)的反函数， 22 dx,,,cosy,0x,siny(,,y,)是单调可导的，且导数 dy22 于是，由定理2.3有 11,，，arcsinx,, ,(siny)cosy 22又因为cosy,1,siny,1,x，所以 1,(arcsinx),(,1,x,1) (2.17) 21,x 同理可得 1,(arccosx),,(,1,x,1) (2.18) 21,x 1, (2.19) (arctanx),(,,,x,，,)21，x 1, (2.20) (arccotx),,(,,,x,，,)21，x 二 复合函数的求导法则 先看下面的问题: ,,已知，是否, (sinx),cosx(sin2x),cos2x 这是错误的，因为y,sin2x,2sinxcosx，按积的求导法则有 ,,,,y,(2sinxcosx),2(sinx)cosx，2sinx(cosx) 22，，,2cosx,sinx ,2cos2x y,sinxy,sin2x导致上述错误的原因是什么呢,这是因为是基本初等函数，而是 复合函数，复合函数有自己的求导法则. x,,y,f,(x)定理2.4 设函数y,f(u)，u,,(x)，即是的一个复合函数若 y dudy,,xuu,,(x)y,f(u)在点有导数,,(x)，函数在对应点处有导数,f(u)，则 dxdu ,,xy,f,(x)复合函数在点处可导，并且 dydydu,,,, ,,,f(u),,(x),y,uuxdxdudx 证明(略). 注 ?由定理2.4可知，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量 对自变量的导数. y,f(u)?复合函数求导法则可推广到有限次复合的复合函数的情形.即如果， u,,(v)v,,(x)，，则有 dydydudv,,,,,,,f(u),,(v),,(x) dxdudvdx 例2.2.8 求下列函数的导数 x72xy,coty,(1,2x)y,sinxy,lnsin(e)(1) (2) (3) (4) 2 77y,(1,2x)y,u解(1)函数是由及两个函数复合而成的，而 u,(1,2x) 76,,,,y,(u),7uu,(1,2x),,2， ux 于是有 66,y,7u,(,2),,14(1,2x) 22y,sinxy,u(2)函数是由函数及复合而成的，而 u,sinx 2,,,,y,(u),2uu,(sinx),cosx， ux 所以 , y,2u,cosx,2sinx,cosx,sin2x对复合函数的分解过程掌握熟练之后，就不必再写出中间变量，只要按照函数复合的次 序由外及里逐层求导，直接得出最后结果. x2csc1,1111xxx222,,,(cot)(cot)(csc)()y,,,,,(3) 222224xx2cotcot22 xx12,,tancsc 422 xx,1cose(e)xxx,,y,(sine),,ecote(4) xxsinesine 22,y例2.2.9 已知，求 y,ln(x，x，a) ,12222,,(x，x，a),解 ,,yxxa,ln(，，)22x，x，a ，，,,1111x22,,,xa1,1，(，),， ,,,,222222222x，x，ax，ax，x，ax，a,,，， 1, 22x，a ,y,f(sinx)y例2.2.10 已知，求 ,,,,,解 ,,y,f(sinx),f(sinx),(sinx),f(sinx),cosx y,sinln2x，1例2.2.11 求函数的导数 11cosln2x，1,解 y,cosln2x，1,2, 2x，12x，122x，1 arctanx,，求 例2.2.12 设函数yy,e arctanx11earctanx,解 y,e,21，(x)2x2x(1，x) ,y,x(,例2.2.13 求函数为任意实数)的导数 ,,,,,lnx,lnx,,,1,,解 ，，，，y,x,e,e(,lnx),x,,xx