与三角形“四心”相关的向量问题

与三角形“四心”相关的向量问题 向 量 专 题 复 习 江西省特级教师 龚晓洛 一、与三角形“四心”相关的向量问题 题1:已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P ,,ABAC,,，,[0,)满足, . 则P点的轨迹一定通过?ABC的 OPOA,,，，,,||||ABAC,, A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 ,,ABACACABABAC解:由已知得，是方向上的单位向量，是AP,,，,,||||ABAC||AB||AC,, 方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在?BAC的角平分线 上，故点P的轨迹过?ABC的内心，选B. 练习:在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在?AOB的 ||2OC,OC平分线上，且，则=_________________. ,,，,(0,)略解:点C在?AOB的平线上，则存在使 OAOB103439||2OC,==, 而，可得，,,，,,,,,,OC,，,()(,)(0,1)(,)35555||||OAOB 10310?. OC,,(,)55 题2:已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点POPOAABAC,，，,(),,，,[0,)满足, . 则P点的轨迹一定通过?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 APABAC,，,()解:由已知得，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则 知点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过?ABC的重心，选C. 题3:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 ABAC,,，,[0,)P满足,, 则动点P的轨迹一定通过OPOA,，，,() ||sin||sinABBACC ?ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 ABACAP,，,()解:由已知得， ||sin||sinABBACC ,||sin||sinABBACC,由正弦定理知，?， APABAC,，() ||sinABB 设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射 线上，所以动点P的轨迹一定通过?ABC的重心，故选A . 题4:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 ABACOPOA,，，,(),,，,[0,),, 则动点P的轨迹一定P满足 ||cos||cosABBACC 通过?ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 ABAC解:由已知得， AP,，,() ||cos||cosABBACC ABBCACBC,,? APBC,(),,， ||cos||cosABBACC ||||cos()||||cosABBCBACBCC,,,,,(||||),，BCBC=== 0， ()，, ||cos||cosABBACC APBC,?，即AP?BC，所以动点P的轨迹通过?ABC的垂心，选B. 题5:已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 OBOCABAC，OP,(),,，,[0,)P满足, , 则动点P的轨,，，2||cos||cosABBACC 迹一定通过?ABC的( ) A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 OBOC，解:设BC的中点为D，则， ,OD2 ABACDP,，,()则由已知得， ||cos||cosABBACC ABBCACBC,,DPBC,()? ,,， ||cos||cosABBACC, ||||cos()||||cosABBCBACBCC,,,,,(||||),，BCBC=== 0 . ()，, ||cos||cosABBACC ?DP?BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过?ABC的外心. 选C . CBABCABA题6:三个不共线的向量满足=+) OAOBOC,,OA,，()OB,(||CB||||ABCA||BA BCCA== 0，则O点是?ABC的( ) OC,，() ||||BCCA A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 ABCA，解:表示与?ABC中?A的外角平分线共线的向量，由 ||||ABCA ABCAOA,，()= 0知OA垂直?A的外角平分线，因而OA是?A的平分线， ||||ABCA 同理，OB和OC分别是?B和?C的平分线，故选C . 题7:已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为?ABC的外心，动点P满 1,,，,，，,,,(,0),,,,ROPOAOBOC[(1)(1)(12)]足，则P的轨迹一定 3 通过?ABC的( ) B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点 A. 内心 1CPOPOC,,,，,,,,,,解:= [(1)(1)2(1)]OAOBOC 3 1,,1,,()CACB， ==, [()()]OAOCOBOC,，,33 CACB，,,0由平行四边形法则知必过AB边的中点，注意到，所以P的轨迹在AB边的中线上，但不与重心重合，故选D. OAOBOC，，题8:已知O是?ABC所在平面上的一点，若= 0, 则O点是?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 OAOBOC，，OAOBOC，,,OAOB解:若= 0, 则，以、为邻边作平行四 OAOBOC，,边形OACB，设OC与AB交于点D，则D为AB的中点，有，得111OCOC,,，即C、O、D、C四点共线，同理AE、BF亦为?ABC的中线，所以11 O是?ABC的重心. 选C . 1题9:已知O是?ABC所在平面上的一点，若(其中PPOPAPBPC,，，()3 为平面上任意一点), 则O点是?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 3POOAOPOBOPOCOP,,，,，,解:由已知得， 33POOPOAOBOC，,，，OAOBOC，，?，即= 0，由上题的结论知O点 是?ABC的重心. 故选C . OAOBOBOCOCOA,,,,,题10:已知O是?ABC所在平面上的一点，若， 则O点是?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 OBOAOC,,,()0OAOBOBOC,,,OAOBOBOC,,,,0解:由，则，即， OBCA,,0OBCA,OCAB,OABC,得，所以. 同理可证，. ?O是?ABC的垂心. 选D. 题11:已知O为?ABC所在平面内一点，满足222222||||||||OABCOBCA，,，||||OCAB，=，则O点是?ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 2222||||||||OAOBCABC,,,解:由已知得 (CA,()()OAOBOAOB,,，BCCABC)(),，,= ,BAOAOB,，()BAOAOBACBC,，，，()()CACBBA，,== 0 , ,BAOCBAOC,2= 0，??. OBAC,OACB,同理，. 故选A . 题12:已知O是?ABC所在平面上的一点，若 ()OAOBAB，,()OCOACA，,()OBOCBC，,=== 0，则O点是?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解:由已知得: ()()OAOBOBOA，,,()()OBOCOCOB，,,()()OCOAOAOC，,,=== 0 222222,,,,OBOAOCOBOAOC,== 0 ,,,||||||OAOBOC. 所以O点是?ABC的外心. 选A . aOAbOBcOC，，题13:已知O是?ABC所在平面上的一点，若= 0，则O 点是?ABC的( ) B. 内心 C. 重心 D. 垂心 A. 外心 ()abcOAbABcAC，，，，OBOAAB,，OCOAAC,，解:?，，则= 0，得 bcABACACABABAC. 因为与分别为和方向上的单位AO,，()abc，，||AB||AC||||ABAC ABACAPAPAO向量，设，则平分?BAC. 又、共线，知AO平分AP,， ||||ABAC ?BAC. 同理可证BO平分?ABC，CO平分?ACB，所以O点是?ABC的内心. aPAbPBcPC，，题14:已知O是?ABC所在平面上的一点，若(其中PO,abc，， P是?ABC所在平面内任意一点)，则O点是?ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 bPBcPCcPAbPA，,,bABcAC，解:由已知得=， POPA,，PA，abc，，abc，， bcABACbcABACbABcAC，?==， ()，()，AO,abccb，，abc，，abc，，||||ABAC 由上题结论知O点是?ABC的内心. 故选B. 题15:设O为?ABC的外心，G为?ABC的重心，求证:1. OGOAOBOC,，，()3 证明:根据题9中P点的任意性即可证得. 证明略. OHOAOBOC,，，题16:设O为?ABC的外心，H为?ABC的垂心，则. A 证明:在?ABC的外接圆O中作直径BD，连接 OBOD,,AD、DC，则有:, AD?AB, DC?BC, D H O 又H是垂心，则AH?BC, CH?AB, ?CH?AD, AH?DC, 于是AHCD是平行四边形， B C AHDC,?. OHOAAHOADCOAOCODOAOBOC,，,，,，,,，，?. 练习1:?ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，mOAOBOC()，，OH=，则实数m =____________. 解1:由上题结论知m = 1. ()OBOCBC，,解2:?O为?ABC的外接圆的圆心，所以，又H为三角形 AHAHOBOC,，,()()OBOC，AHBC,的垂心，则，故?，设. mOAOBOC()，，OHOAAHOAOBOC,，,，，,,OH则，又=，所以m=1. 6练习2:?ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ?ABC的外接圆的圆心为O，若 AOABAC,，,,,,,，求实数的值. 1BCACAB,,解:，两边平方得. 分别取AB、AC的中点M、ABAC,,,2 11OMAMAO,,N，连接OM、ON. 则==. ,，,,,,,,ABABAC()()ABAC22 1,OMAB,又O为?ABC的外接圆的圆心，则= 0，即有. ,，,0,22 ,43ONAC,同理有= 0，得. 解得，. ，,,240,,,,,255 二、与三角形形状相关的向量问题 ABACABAC题17:已知非零向量与满足= 0且()，,BC ||||ABAC ABAC1,,，则?ABC为( ) 2||||ABAC A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 ABAC解:由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故?ABC为等腰()，,BC ||||ABAC ABAC,1ABAC1,三角形，即|AB| = |AC|;由， cosA,,,,22||||ABAC,||||ABAC 0，A?= 60 . 所以?ABC为等边三角形，选D . |||2|OBOCOBOCOA,,，,题18:已知O为?ABC所在平面内一点，满足， 则?ABC一定是( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ||||CBOBOAOCOA,,，,解:由已知得 ||||ABACABAC,,，，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，, AC，选B . 所以AB? ||BAtBC,||ACtR,题19:已知?ABC，若对任意，?，则?ABC( ) A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形 C. 必为直角三角形 D. 不确定 ||||||CAACBABC,,,CABABC,,解法1:?，?， ||BAtBC,||BABC,??„„? tBCBP,?式右边表示A、C两点之间的距离，记，则?式左边表示直线 ||PA||CABC外一点A与直线BC上动点P之间的距离，由?恒成立知，A在直 BC，故选C . 线BC上的射影就是C点，所以AC? ||AC||BAtBC,，,ABC,解法2:令，过点A作AD?BC于点D, 由?，2222222||2||BAtBABCtBC,,，||2||BAtBABCtBC,,，||AC得?，令f (t) =， BABC,22||AC||AC则f (t)?恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而当t =2||BC 时，f (t)取最小值，此时: 222222||2||coscos||BABABA,，,,||AC?， 222||AC||sinBA,||sinBA,||AC即?，??，从而有| AD |? | AC | , ,?ACB, 故选C. ，,2 题20:已知a, b, c分别为?ABC中?A, ?B, ?C的对边，G为?ABC的重aGAbGBcGC,，,，,心，且= 0, 则?ABC为( ) A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 GAGBGC，，aGAbGBcGC,，,，,解:?G是?ABC的重心，?= 0, 又= 0, aGAbGBcGAGB，,，()()()acGAbcGB,，,?= 0, 即= 0 . GAGB?, 不共线，?a – c = b – c = 0, 即a = b = c. ??ABC为等边三角形. 选D. 三、与三角形面积相关的向量问题 SSS::1:1:1,命题:平面内点O是?ABC的重心，则有 . ,,,OABOACOBC OAOBOC，，23题21:已知点O是?ABC内一点，= 0, 则: (1) ?AOB与?AOC的面积之比为___________________; (2) ?ABC与?AOC的面积之比为___________________; (3) ?ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________. 解: (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则 OAOEOF，，= 0, 所以O是?AEF的重心. 1111SS:3:2,?，，?. SSS,,SSS,,,,AOBAOC,,,AOCAOFAEF,,,AOBAOEAEF2639 11(2) ?， SSS,,,,,BOCEOFAEF618 11111SSSS,，，?==，又, ，，SSSS,(),,,,ABCAOBAOCBOC,AEF,AEF,,AOCAEF691839 SS:3:1,? . ,,ABCAOC 1151SSS,，(3) =， ，,SSSS,()ABOCAOBAOC,,,,AEFAEF,,ABCAEF36918 SS:6:5,? . ,ABCABOC 四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角) OCOAOB,，,,,,，,1命题:A、B、C三点共线,，且(O为平面上任一 点). 1ADDB,2题22:在?ABC中，已知D是AB边上一点，若，，,，,CDCACB3,则=( ) 2112A. B. C. D. ,,3333 解:由上述命题的结论可知选A . A 题23:如图，在?ABC中，点O是BC的 N 中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同 B C O ABmAM,ACnAN,的两点M、N，若，，则 E m + n =______. 解1:取特殊位置. 设M与B重合，N与C M 重合，则m=n=1, 所以m+n=2. mnmn11AMAN，解2:=，?M、O、N三点共线，?,，,1AOABAC,，222222 ?m + n = 2. BMmAM,,(1)BENCnAN,,,(1)解3:过点B作BE?AC, 则，. ||||BEBM又，?1– m = n –1, ?m + n = 2 . , ||||ANAM PQCACB题24:如图，已知点G是?ABC的重心，若过?ABC的重心，记= a,= C 11CQCPb, = ma , = nb , 则=__________. ，mn 11211Q G 解:=a +b =, CGCM,CPCQ，P 33333mn ?P、G、Q三点共线， A M B 1111?，?= 3 . ，，,1mn33mn 0||1a,||2b,abakb，kab，题25:(1)已知, , 与的夹角为120，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围. amm,,，(2,3)bmm,，,(21,2)ab(2) 已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 22202kakabkb，，,，(1)()()akbkab，,，解:(1) == k + (k + 1)×1×2×cos120 2+ 4k = – k + 5k –1 , 521521,，2依题意，得 – k + 5k –1,0，?. ,,k22 ()()akbkab，,，akb，kab，又当与同向时，仍有,0，此时设akbkab，,，,(),1ab,k,1,,,，显然、不共线，所以，k =, k ==, 取k ==1. 521521,，?且k?1 . ,,k22