裴波那契数列[学习]

裴波那契数列[学习] “斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契(Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨)。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为:(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n}(又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【奇妙的属性】 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1) 如果你看到有这样一个题目:某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你:为什么64,65,其实就是利用了斐波那契数列的这个性质:5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。 斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。 斐波那契数列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……)的其他性质: 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)?f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n?f(n)=(-1)^n?[f(n+1)-f(n)]+1 6.f(m+n)=f(m-1)?f(n-1)+f(m)?f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O(log n)的程序。 7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)?f(n+1) 8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m?-1,且n?1]斐波那契数列 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …… 过第一行的“1”向左下方做45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、…… 斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8………………………翠雀花 13………………………金盏草 21………………………紫宛 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词，意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。 【相关的数学问题】 1.排列组合 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶，有两种登法;登上三级台阶，有三种登法;登上四级台阶，有五种登法…… 1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。 2.数列中相邻两项的前项比后项的极限 当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少, 这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+?5)/2，这个就是黄金分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。 3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式 由数学归纳法可以得到:a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。 【斐波那契数列别名】 斐波那契数列又因数学家列昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子, 我们不妨拿新出生的一对小兔子一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; ,,,,,, 依次类推可以列出下表: 经过月数:---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12 兔子对数:---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89--144 表中数字1，1，2，3，5，8,,,构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是:前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个特点的证明:每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在,算盘全书,中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为:an=1/?[(1，?5/2)n-(1-?5/2) n](n=1,2,3.....) 数列定义: 斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。 它的通项公式为:(1/?5)*{[(1+?5)/2]^n - [(1-?5)/2]^n}(又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。) 数列属性: 1. 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887…… 2.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。 3.斐波那契数列(f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……)的其他性质: 1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1 4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)?f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n?f(n)=(-1)^n?[f(n+1)-f(n)]+1 6.f(m+n)=f(m-1)?f(n-1)+f(m)?f(n)