数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分

数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分 数学史与数学教育( HPM) 的一个案例———刘徽的“割圆术”与微积分 [摘 要]刘徽的“割圆术”是 中国 数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限 问题 的独特认识和致用的处理方式.很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意.刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种 方法 ,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设.通过这些相关知识的 历史 考察,试图以HPM的方法来辅助解决极限概念教学的难题. [关键词]刘徽;割圆术;无限;可积 《高等数学》[1]在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义.实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高超的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不可分量可积”前提、“夹逼准则”等知识证明了圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想.另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率(157?50).郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明.[2] 1 刘徽的“割圆术” 我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟悉圆面积公式“半周半径相乘得积步”.魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800余字的注记———“割圆术”. “ 割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣!觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧.若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径, 以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂.”[3] 2 几则幂不外出矣. 点注记 在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想.第二个是无穷小分割思想. 2.1 数列极限的夹逼准则 刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准则”(Squeeze The orem).他从圆内接正6边形开始割圆,设圆面积为S0,半径为r,圆内接正n边形边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形的边长、周长、面积分别记为:l2n、L2n、S2n. 刘徽用“勾股术”得[4]: 若知Ln,则可求出圆内接正2n边形的面积: 刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,则幂出弧表”: S2nS0Sn+2(S2n-Sn)=S2n+(S2n-Sn), “若夫觚之细者,与圆合体,则表无余径.表无余径,则幂不外出矣.” limn??S2nS0limn??(Sn+2(S2n-Sn))=limn??(S2n+(S2n-Sn)). 即在n趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积. 2.2 折中的无限分割方法 关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限)的假定.而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题则认为一个量是有非常多的极微小的不可分部分组成的. 与西方的数学家不同,中国古代的数学家从未受到无限问题的困扰.刘徽在遇到无理数时采用“开方不尽求微数 ”.显然,尽管刘徽对“开方不尽”的理解比前人深刻,但中国古代数学重视实际的传统的确是限制了对 理论 问题作更深层次的探讨.因而,这也阻碍了无理数的发现.刘徽认为只须得到无限接近的一个值就可以;因此他只关心重要 计算 方法,而根本不用考虑这个无限问题本身的性质.对于割圆术,刘徽显然受墨家思想的 影响 很深,而且刘徽对割圆术的处理也比较符合中国古代数学讲求直观的传统. 另外,从墨家的传统来看刘徽的处理也较好理解,实际上刘徽在无限的运用上,其思想和墨、道两家一脉相承[5].刘徽将道、墨两家的无限思想辩证地统一起来,即无须由于受到无限的困扰.刘徽道“ 割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣 ”.同样,刘徽在“阳马术”(四棱锥体积)中说道:“半之弥少,其余弥细, 至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?”[6]这里刘徽对待无限的态度是作一个可操作的程序“割之”(或阳马术中的“半之”)的动作.同时这个动作又可无限地做下去,那么在极限过程下正多边形的周长即为圆的周长.这种辩证的极限思想使有关“量的可分性”假定都得到了解释,从某种意义上来说刘徽的极限思想与 现代 的微积分思想一致. 2.3 不可分量可积的思想 刘徽受《墨经》的影响认为“不可分量可积”,除无限分割外,刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题.在他的观念里,线可以看成是由一系列点组成的,面可以看成是由一系列线组成的,体可以看成是由一系列面组成的.这样刘徽在处理无限问题而作积分时就有了思想依据.他在“割圆术”中通过对无限分割的独特理解,和夹逼准则的使用,认为极限状态下考虑与圆合体的正无穷多边形,它们是由以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此时,设圆周长为L,每个小等腰三角形的底边长为l,面积为A.刘徽以“不可分量可积”为前提容 易得到所有等腰三角形的底边可积为圆的周长L:Σl=L.于是,Σrl=rΣln=Lr=Σ2A =2ΣA=2S0,“故以半周乘半径而为圆幂”:S0=1/2Lr. 。