带根号的函数最值问题

带根号的函数最值问题 带根号的函数最值问题 数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难 度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。 1. 单调性一致情况 (x?[1,2]) yxx,，，21 分析:这个函数～分成两部分。 x是增的～21x，也是增的。这个函数在定义域上单调增 yxx,，，21于是～最大值最小值就在端点时取到。 y13,25，,，yminmax, 2.单调性不一致的根号中一次项情况 (x?[0,1]) yx1,，,x 分析:单调性不一致～首先考虑换元法 2令 1=t(t[0,1]),x=1-t,,x 3yy,,,1 maxmin4 3(根号中出现二次项情况 2 (x?[-1,1]) yxx,，,，1 分析:单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一:三角换元 cos,sin,我们知道，三角函数、的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角进行运算， 开阔思路，二则去掉根号，简化运算。 cos,设x=,这里为了确定范围，不失一般性，设, ,,,[0,] 22cos,,利用1-=sin,去掉根号很方便。 2yxx,，,，1 ,,,，cossin ,,，2sin(),4 值域就是 [1,2], 方法二:移项平方 这是我们自以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。 2yxx,，,，1 2yxx,,,，1 两边平方 222注意到这里平方的条件是y?x y21,，,,，xyxx 22 2x210,，,,yxy 由于x存在，判别式大于等于0 22 ,,,48(1)yy 2 ,,,840y y,,[2,2] 但要注意到，y?x，于是有y?-1 y,,[1,2] 方法三:求导 求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。 2yxx,，,，1 xy'1,,2,，x1 令y’?0 2解得，不过这个过程颇为艰辛 x,,[1,]2 于是易得 y,,[1,2] 4.双根号明显数形结合的情况 22yxx,，，,，1(4)16求最小值 分析:明显可以看作两点间距离公式类型。这类题难度不大。但要注意～当括号内平方是 展开状况的时候～要学会主动去配方发现。 看作点(x,0)到点(0,1)和(4,4)两点距离之和 如图，在AC线段上显然最小。即取x=1时，有 y,5min 5.涉及圆锥曲线定义情况 2222(5)(5)6xyxy，，,,，, 分析:这类题就是很典型的圆锥曲线定义 22xy,,1这里，双曲线的右半支，即为题设。那么这里y的范围就很清晰 916 y,,,，,(,) 题目也可以考x的范围，那就是 [3,)，, 6.较难的圆锥曲线思路。 2 yxxx,，,，43 分析:导数自然可以尝试～换元法是有些不方便。这里介绍一种圆锥曲线数形结合的解法～ 我们这里把坐标系看作 横轴x轴～纵轴p轴,～至于y就看作常数。 2 yxxx,,,，43 看成两个曲线的交点 2第一个曲线是p=，第二条曲线是p= ,，xyxx,，43第一条曲线就是斜率为-1的，纵截距为y的一条直线 第二条曲线，进行一定化简 2pxx,,，43 22 pxx,,，43 22px,,,,(2)1 22即 (2)1xp,,, 这事实上就是一条双曲线，只是中心是(2，0) 那我们把渐近线也画出来。 这里渐近线的斜率也是-1， ,，xy那么对于直线p=,结合图像可知，纵截距y的范围是 [1,2)[3,),，, 7.三个根号构造向量情况 222222yababab,,，,，，，，，,，,(2)(1)(32)(23)(3)(32)求最小值 注意到的和是定值8 2,32,3,，,aaa 的和为6 1,23,32,，,bbb 那么，看作 (2,1),(32,23),(3,32),,，，,,ababab 三个向量，(或者是点)，画个草图 最小值即为10 8.三个根号内部一次单调性不一致情况 yxxx,，，,，2713 分析:这是一道数学竞赛题。难度颇大。 首先，最大值是可以用柯西不等式求得,我们考虑消去x，并且取到等号 112yxxx,，，,，，，(273(13)2)(1) 32 y,11 y,11,当且仅当x=9时取等号 max 求最小值的历程比较痛苦，求导似乎可以一试 这里考虑将后面两个根号合并 yxxx,，，,，2713 yxxx,，，，,27132(13) x=0时两个根号同时取到最小值 y,，3313min 9.总结 解决该类带根号的函数最值问题时，一般是按以下顺序考虑 ,1,。单调性 ,2,。数形结合 ,3,。换元,包括三角换元, ,4,。求导 ,5,。移项平方判别式,少用:, ,6,。创新思路:分母有理化/分子有理化/构造对偶式/合并根号 另外，一旦提到根式，一定不能忘记，定义域优先～ 根号最值问题较为麻烦～上面所述的例题不多～同学们如果要想熟练掌握～就 一定要做大量的练习。