立方根與高次方根

立方根與高次方根 117 附錄 A1 立方根與高次方根 在本單元裡,我們除了討論立方根的性質和運算規則以外,也要介紹高次方根。 3當實數a為某個實數b的三次方時,,我們就稱b為a的立方ab, 33根,並記作,其中讀作「三次根號a」,並稱a為「被開方數」。ab,a 3333例如:27及,所以及。不同於平方根的被開3,,,82,273,,,,8(2) 方數必須是非負的數,立方根的被開方數可以是任意實數。顯然的,被開方數與它的立方根同號。 在本單元中,我們只討論被開方數為有理數的立方根或高次方根。 【立方根的乘法與除法】 兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形,有下列的規則: 333(1) abab，,; 3aa333=b,0ab,(2) ,其中。 ,3bb 【範例1】計算下列各式: 133335，3(1) (2) ，42 493333(3) (4) 42,,32 333335，53，15【解】 (1) ,, 113333(2) ,,2，4，422 3333(3) ,,42,242, 424924983333(4) ,,,, 3，,,323932273 118 【類題練習1】計算下列各式: 3333(1) (2) 6，3255， 453333(3) (4) 155,, 2516 33333(1)5,，由規則(1)我們知道, (1)。因此,習,555,,,,,， 33慣上,常將改寫成,其中a為正數。 ,a,a 【最簡根式】 如同平方根的情形,當被開方數為整數且不是一個完全立方數時,我們 3可以利用數的標準分解式及立方根的乘法,來化簡根式。例如:化簡720 42322352235，，,，，，時,我們先將720寫成,再化簡求得 32333。 ,7202235290，，，, 當被開方數為有理數時,通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。 823,例如,我們會將改寫成 355 2233322525225，23,,,25:或:。 323333555555， 3ppn3類似平方根的化簡,我們將立方根寫成「最簡根式」:或:nqq p的形式,其中為最簡分數,n為大於1的整數,並且不能被任何大於1q 3的整數的立方整除,我們稱這樣的過程為「立方根化簡」。例如:及29023都是最簡根式。 25 5 119 【範例2】化簡下列各式: 2333(1) (2) (3) 270,432 3 3333【解】 (1) 270,3，10,310 433(2) 因為, ,,,，,,，，43223(23)2 33333,,,，，,,432(23)262所以。 22(3) 我們可先將的分子、分母同乘於後再做化簡,即33 2332231818，33。 ,,,2333333，3 【類題練習2】化簡下列各式: 5333 (2) (3) (1) 135,3000 2 當兩個立方根化為最簡根式後,如果在它們的最簡根式的立方根號內 133有相同的被開方數時,我們就稱這兩個立方根為同類方根。例如,、24 332411333:可化為:和都是同類方根,但是與:可化為:就不是,22224 同類方根。 在化簡根式時,我們可以利用同類方根的合併來簡化數學式。 【範例3】化簡下列各式: 7813333333(1) (2) ,，，,223362534796，，,272 120 333333【解】 (1) ,(26)2,，,，，,22336253(35)3,+ 33 ,4223, 337337813333(2) ,47212，，,4796，，,332722 3373322，，3 ,47212+，,33222，， 3373123 ,47212+，,32 33127 ,47+，23 3 註:和不是同類方根。 77 【類題練習3】化簡下列各式: 21253333333(1) (2) ,，，,42335263328，，,272 對於某些較為特殊的根式,可嘗試利用乘法公式來求乘積。我們先 複習兩個常用的立方公式: 2233 ab，()()abaabb，,，, 2233 ab,()()abaabb,，，, 33333(32)(964)，,，【範例4】利用立方公式化簡。 2233ab，【解】 我們可以利用()()abaabb，,，來化簡。 , 33令a、b,即可得到: ,,32 333333333(32)(964)，,，(3)(2)，, , 32 = 5 + 121 33333【類題練習4】利用立方公式化簡。 (52)(25104),，， 【根式分母的有理化】 如同平方根的有理化技巧,我們也可利用立方乘法公式來做分母含有立方根的根式的有理化。 【範例5】有理化下列各根式的分母: 11(1) (2) 3333964，，21， 【解】 (1) 由立方公式,我們知道 333333213。 (21)(421)，,，,,,(2)1，+ 所以,若想將分母的根號去掉,可對分子與分母同乘以 33即可。因此得到: (421),， 3311(421)，,， ,333321，(21)(421)，,， 33421,， , 3 33(2) 我們對分子與分母同乘以,即得 32, 3311(32)，, ,33333333964，，(964)(32)，，, 3332, ,3333(3)(2), 33。 ,32, 122 【類題練習5】有理化下列各根式的分母: 11(1) (2) 333325104,，21, 【認識高次方根】 23 除了a的立方根記為以外,其實平方根即為讀作「二次aaa 根號a」,但是2可以省略不寫。在高中數學的指數單元中,還會出現 54(讀作「四次根號a」)、(讀作「五次根號a」)、…等高次方根。aa n因此,若n為正整數,且時,我們就稱b為a的n次方根,並記作ab, nn,其中讀作「n次根號a」,並稱a為「被開方數」。在這裡,ab,a n我們假設有意義,例如當n為偶數時,被開方數a必須為非負數;a 當n為奇數時,a可以為任意實數。 事實上,兩個n次方根之間的乘法與除法,也類似於平方根及立方根的 nn運算規則:當a、b有意義時, nnn(1) abab，, naannnb,0=ab,(2) ,其中n2,。 ,,nbb 如同平方根及立方根的情形,我們可以利用數的標準分解式來化簡高次根式。 【範例6】化簡下列各式: 165694416,243,1024192(1) (2) (3) (4) (5) 81 4416【解】 (1) 因為162,所以2。 ,, 555555,3(3),,243 (2) 因為,所以,,。 ,,,，,,243(1)3(3) 123 6666666 (3) 2 192323，23，,,, 9999109999 (4) (2)2,，(2)2,， ,1024,22,,2,,, 441621622,,4 (5) 因為,所以,。 ,,,,48138133,, 因為實數的偶次方必為正數或0,所以偶次方根的被開方數如同平方根必須為非負數,如範例6中的(1)、(3)和(5);而奇次方根的被開方數如同立方根可為任意實數,如範例6中的(2)和(4)。事實上,遇到奇次方根且被開方數為負數時,可先將負號寫在根號外,例如:在範例6(2)中, 5555,3,243,243。 ,3,,, 【類題練習6】化簡下列各式: 32674581(1) (2) (3) ,128 (4) 64, 243 在國中階段,我們學過指數為整數的指數律。事實上,n次方根也可 1/2a以用指數的形式來示。例如:a的二次方根可以記為(讀作a的二分 1/31/2aa,a之一次方),即;a的三次方根可以記為 (讀作a的三分之一 1/n1/33aaa,次方) ,即。所以,a的n次方根可以記為(讀作a的n分之 1/nnaa,一次方),即。 由方根的乘法與除法,我們知道: 1/21/211/21/21/23333333，,，,，,; ; 232323(23)，,，,，,， 31/231/21/21/21/21/21/23(1/2)，，，(2)8222(2)22222,,，，,,，，,,; 124 2221/21/21/21/2333(1/2)3，;等。 2323(),,,,,,(2)(2)22,,,333也就是說,在高中的課程中,指數律的學習將由指數為整數延伸到有理數: mnmn，mmmaaa，,; ; abab，,() ammmmnnmmn()ab,,b,0()()aaa,,; ,其中。 b 【家庭作業】 1. 求下列各數的立方根: 12? 64 ? 729 , 2. 將下列各數化簡成最簡根式: 3312? ? ,4000128 3. 化簡下列各式: 333312? ? 366，645， 334. 化簡 。 4 5. 化簡下列各式: 233333123? ? ,,，,62538223102818，，，3 3336. 化簡(21)(421),，，。 7. 有理化下列各根式的分母: 1112? ? 333331,1684,， 8. 化簡下列各式: 10245455123432,625048? ? ? ? , 3125