行政能力测试排列组合问题

排列组合问题I 一、： 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法 3．排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列 4．排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示 5．排列数：（） 6阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定． 7．排列数的另一个计算公式：= 8组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 9．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示． 10．组合数公式： 或 11组合数的性质1：．规定：；                   2：＝+  二、解题思路： 解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： 特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30个） 科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350） 插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600) 捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240） 排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法. b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30） 三、讲解范例： 例1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数 (1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数 解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步： 第一步将１、３、５、７四个数字排好有种不同的排法； 第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有＝720种不同的排法所以共有720个符合条件的七位数 解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步： 第一步将１、３、５、７四个数字排好，有种不同的排法； 第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙”（包括两端的两个位置）中的三个位置上，有种“插入”方法 根据乘法原理共有＝1440种不同的排法所以共有1440个符合条件的七位数 例２  将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？ 解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法： （１－１－４）分法、（１－２－３）分法、（２－２－２）分法 下面分别计算每一类的方法数： 第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法 解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有种不同的分法 解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以 所以共有＝15种不同的分组方法     第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有＝60种不同的分组方法     第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以，因此共有＝15种不同的分组方法   根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90种不同的方法 例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？ 解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有种不同的“插入”方法根据乘法原理共有＝7200种不同的坐法 排列组合问题II 一、相临问题——整体捆绑法 例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。 练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题. 解    因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有   种排法,其中女生内部也有  种排法,根据乘法原理,共有    种不同的排法. 二、不相临问题——选空插入法 例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？ 解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 . 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。 练习：  学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？ 分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题. 解  先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为  种. 三、复杂问题——总体排除法或排异法 有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。 例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有  个. 解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个. 练习： 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种? 分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程. 解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有      种. 四、特殊元素——优先考虑法　   　对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。   例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法  　种． 解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有  　种. 解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种. 五、多元问题——分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。 例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A  ）     A．42    B．30    C．20    D．12 解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有          种.（以数字作答） 解：区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色． 用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72. 六、混合问题——先选后排法     对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．   例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配共有（    ）     A． 种    B． 种    C． 种    D． 种 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）     A．24种          B．18种          C．12种               D．6种      解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C. 七．相同元素分配——档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解. 例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解. 解： 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有   种. 九．剩余法: 在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法. 例12  袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题. 解  把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有  种取法. 十．对等法: 在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求. 例13  期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性. 解  不加任何限制条件,整个排法有      种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有    种. 十．平均分组问题: 例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本； （3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根据分步计数原理得到：种； （2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理可得：，所以． 因此，分为三份，每份两本一共有15种方法。 （3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法． （4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法． （5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法； ②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法， 所以，一共有90+360+90＝540种方法． 总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。 具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径： （1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。 （2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。 （3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。 三、余数   在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：   65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.   上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是   被除数÷除数=商……余数.   上面两个算式可以写成   65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.   也就是 被除数=除数×商+余数.   通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.   特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.   例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.   解：这个质数能整除   5397-15＝5382，   而 5382＝2×31997×13×23.   因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.   当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.   例18 求645763除以7的余数.   解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成   645763→15763→1763→363→13→6.   如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：   645763→15000→1000→6.   带余除法可以得出下面很有用的结论：   如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.   例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？   解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即   1000-967＝33＝3×11，   2001-1000＝1001＝7×11×13，   2001-967＝1034＝2×11×47.   这个整数是这三个差的公约数11.   请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.   例如，求出差1000-967与2001-1000，   那么差   2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）   ＝1001＋33   ＝1034.   从带余除式，还可以得出下面结论：   甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.   例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.   例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？   解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：   从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为   1998＝ 8×249＋ 6，   所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.   一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是   1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.   这十二个数构成一个循环.   按照七天一轮计算天数是   日，一，二，三，四，五，六.   这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数   0， 1， 2， 3， 4， 5， 6   的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.   循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.   下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：   甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.   例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.   1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.   例 21 191997被7除余几？   解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.   先写出一列数   2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，   2×2×2×2＝16，….   然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：   事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么？请想一想.）   从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.   1997＝ 3× 665 ＋ 2.   就知道21997被7除的余数，与21997 被 7除的余数相同，这个余数是4.   再看一个稍复杂的例子.   例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：   0，1，3，8，21，55，….   问：最右边一个数（第70个数）被6除余几？   解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：   3＝1×3-0，   8=3×3-1，   21=8×3-3，   55=21×3-8，   ……   不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余数的计算办法如下：   将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.   用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：   注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.   从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.   70 ＝12×5+10.   因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.   在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：   “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：   一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.   这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.   例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？   解：除以3余2的数有：   2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….   它们除以12的余数是：   2，5，8，11，2，5，8，11，….   除以4余1的数有：   1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….   它们除以12的余数是：   1， 5， 9， 1， 5， 9，….   一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.   上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.   如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是   5＋ 12×整数，   整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.   例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.   解：先列出除以3余2的数：   2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，   再列出除以5余3的数：   3， 8， 13， 18， 23， 28，….   这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是   8＋15×整数，   列出这一串数是   8， 23， 38，…，   再列出除以7余2的数   2， 9， 16， 23， 30，…，   就得出符合题目条件的最小数是23.   事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.   最后再看一个例子.   例25 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.   解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.   3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.   为了满足“在100至200之间”将54，55，56分别加上3，5，7的最小公倍数105.所求三数是   159， 160， 161.   注意，本题实际上是：求一个数（100～200之间），它被3整除，被5除余4，被7除余5.请考虑，本题解法与例24解法有哪些相同之处？ 关于某些数学应用题目的固定算法(记住在应试中剩时间呦)不断更新中 1     四个连续自然数的积为1680，它们的和为（ ） A 、26   B、52 C、20 D、28 解析：四个连续自然数，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除，选项中只有26符合。 2、    有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？ 答案是256号。 解析：总结出的公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号。 3、    一本300页的书中含“1”的有多少页？ 答案是160页 解析：关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的1/10乘以2，再加上100。 4、    有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余数是几？ A、4 B、5 C、6 D、7 解析：设这个数除以12，余数是A，那么A除以3余数是2；A除以4，余数是1。而在1、2….11中，符合这样条件的A只有5。 5、    中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？ 答案：11次 解析：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S（S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S后算出T的最大值就知道相遇多少次。） 6、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，问一共有多少小立方体被涂上了颜色？ 答案：296 解析：公式：（大正方形的边长的3次方）—（大正方形的边长—2）的3次方。 病句类型有六种，即：搭配不当、语序不当、残缺或赘余、结构混乱、语意不明、不合逻辑。综观历年的高考语文病句辨析试题，其所选的病句错误类型都是十分“典范”的，虽然通过各种措施增加迷惑性，但总体来说，其“病征”是十分突出的，而且也有一些规律可寻，如果抓住这些“病征”顺藤摸瓜，加以甄别，就更容易判断出该句是不是有病，是何种语病。笔者对一些典型的病句进行了比较分析，罗列了以下一些规律： 一、出现了并列的短语，可能是搭配不当、分类不当、语序不当或语意不明 1．有关部门对极少数不尊重环卫工人劳动、无理取闹、甚至殴打侮辱环卫工人的事件，及时进行了批评教育和严肃处理。(搭配不当，“事件”不可以“批评教育”) 2．我们家乡美丽而富饶，这里土地肥沃，特别适宜种果树、棉花、甘庶，此外，还适宜栽种梨树和枣树。(分类不当，“梨树和枣树”都是“果树”) 3．全厂职工讨论和听取了厂长关于改善经营管理的报告。(语序不当，应为“听取和讨论”，有时间上的先后关系) 4．近日新区法院审结了这起案件，违约经营的小张被判令赔偿原告好路缘商贸公司经济损失和诉讼费三千余元。(语意不明，是“经济损失和诉讼费”计“三千余元”还是单“诉讼费”“三千余元”) 二、出现了多重定语和多重状语，可能是语序不当 1．批评和自我批评是有效的改正错误提高思想水平的方法。(应将“有效的”调至“方法”前) 2．昨天，许多代表热情地在休息室里同他交谈。(应将“热情地”调至“同他交谈”前) 3．这期培训班是全国职工教育委员会和国家经委联合于今年五月底举办的，来自全国各地的二百多名职工代表参加了这次培训。(“联合”应调至“举办”前，让位于时间状语) 三、出现了数量短语，可能是语意不明、重复、语序不当、用词不当 1．三个学校的学生会干部在教导处开会，研究本学期第二课堂活动的开展问题。(表意不明，是“三个学校”还是“三个学生会干部”) 2．国产轿车的价格低，适于百姓接受，像“都市贝贝”市场统一售价才6．08万元，“英格尔”是6．88万元，新款“桑塔纳”也不过十几万元左右。(重复，“十几万元”本为约数，不可以再用“左右”) 3．开展批评和自我批评是端正党风、增强党的凝聚力的行之有效的一种方法。(语序不当，“一种”应在“行之有效”之前) 4．华能集团三电厂今年对锅炉设备进行了改造，吨煤发电量增加了1.5倍，煤消耗量域少了1.2倍。(用词不当，“减少”不可以用倍数) 5．中国第一个计算机集成制造系统工程研究中心建成后，国内外同行对其先进的功能大加赞赏，先后有二万三千多人次前来参观。(用词不当，“人次”是复量词，不可以做主语) 6．早晨五六点钟，通往机场的街道两旁便站满了数万名欢送人群。(用词不当，“人群”是集合名词) 四、出现了介词，可能是搭配不当、结构混乱、主客体颠倒、主语残缺 1．他们在遇到困难的时候，并没有消沉，而是在大家的信赖和关怀中得到了力量，树立了克服困难的信心。(搭配不当，应为“从……中”) 2．3月17日，6名委员因受贿丑闻被驱逐出国际奥委会。第二天，世界各人报纸关于这起震惊国际体坛的事件都作了详细报道。(介词使用不当，应为“对”) 3．焦裕禄这个名字对青年人可能还有些陌生，可对四十岁以上的人却是很熟悉的。(主客体颠倒，应为“对青年人来说”、“对四十岁以上的人来说”) 4．为什么对于这种浪费人才的现象，至今没有引起有关部门的重视呢?(滥用介词造成主语残缺，应删去“对于” 五、出现了关联词(连词)，可能是搭配不当、残缺、语序不当 1．只有从根本上解决了为什么人的问题，就能更好地为人民服务。(关联词搭配不当，应为必要条件，用“只有……才”) 2．尽管你的礼品多么微薄，但在农民心上，却象千斤重的砝码。(关联词和副词搭配不当，此处应用确指的“这么”，“无论”和“不管”后应用不确指的“多么”) 3．他虽然是个农民，平常喜爱学习，识不少字，编秧歌也在行。(关联词残缺，应在“平常”前加“但是”) 4．由于技术水平太低，这些产品质量不是比沿海地区的同类产品低，就是成本比沿海的高。   (关联词位置不当，主语不一致，关联词应在主语之前，应将“不是”调至“质量”前) 5．如今“阿Q”一类的“字母词”已遍布汉字文化圈内，不但进入了教科书，而且活跃在各媒体上。(语序不当，出现了递进关系，程度重的应放在后面，应为“不但活跃在各媒体上，而且进入了教科书”) 6．用语不妥贴，造句不合文法，行文缺乏条理，拖沓冗长，就会把意思弄得含混晦涩，令人误解甚至费解。(语序不当，应为“费解甚至误解”) 六、出现了代词，可能是语意不明、重复 1．这个精致的灯笼将作为今天得分最高的嘉宾的礼品赠送给他。(语意不明，“他”到底指谁，指代不明) 2．老人在80岁的时候，还清楚地记得哥哥参加学生运动时对自己的：一个温情主义者。 (语意不明，“自己”到底是指“老人”还是指“老人”的“哥哥”) 3．由于这次交通事故，淮海路宛平路地段的交通为此封闭了近三个小时。(重复，“为此”就是“由于这次交通事故”) 4．我们必须拿出自己的正版计算机游戏软件，否则，不出新软件，就难以抵制不健康的盗版软件。(重复，“否则”即“如果不这样”的意思，与“不出新软件”重复) 七、出现了长宾语，可能是宾语中心语残缺、搭配不当 1．为了全面推广利用菜籽饼或棉籽饼喂猪，加速发展养猪事业，这个县举办了三期饲养员技术培训班。(宾语中心语残缺，应加“的”) 2．认识沙尘暴、了解沙尘暴，是为了从科学的角度达到对沙尘暴进行预防，减少沙尘暴造成的损失。(“达到”的宾语中心语残缺，“损失”后加“的目的) 3．现在，我又看到了那阔别多年的乡亲，那我从小就住惯了的山区所特有的石头和茅草搭成的小屋，那崎岖的街道，那熟悉的可爱的乡音。(搭配不当，“看到”与“乡音”不搭配) 八、出现了多个谓语，可能是搭配不当、偷换主语 1．这个文化站已成为教育和帮助后进青年，挽救和培养失足青年的场所，多次受到上级领导的表彰。(搭配不当，“培养”与“失足青年”不搭配) 2．这家工厂虽然规模不大，但曾两次荣获省科学大会奖，三次被授予省优质产品称号，产品远销全国各地和东南亚地区。(偷换主语，“工厂”不可以“被授予省优质产品称号”) 3．我们也学小孩子一样，掐了一把花，直到花和叶全焉了，才带着抱歉的心情，丢到山涧里，随水漂走了。(偷换主语，前面主语是“我们”，后面已暗换成“花”，所以应改成“把它们丢到山涧里，随水漂走了” 九、出现了疑问旬、否定词，可能是肯否不当 1．雷锋精神当然要赋予它新的内涵，但谁又能否认现在就不需要学习雷锋了呢?(疑问句再加双重否定，变成了三重否定，不合逻辑) 2．近几年来，王芳几乎无时无刻不忘搜集、整理民歌，积累了大量的资料。(“无时无刻不”相当于“每时每刻都”，此处与“忘”用，与后“积累了大量的资料”矛盾) 十、出现了固定结构、下定义，可能是结构混乱 1．《消费者权益保护法》深受广大消费者所欢迎，因为它强化了人们的自我保护意识，使消费者的权益得到最大限度的保护。(有“为……所”和“被……所”的结构，没有“受……所”的结构，要将“所”字去掉) 2．到目前为止，人还不能完全控制自然灾害，农业收成的好坏，在很大程度上还是由于自然条件的好坏决定的。(应为“由……决定的”) 3．它是把事件的结局先写出来，然后再按时间顺序叙述事件发生、发展经过的写法叫倒叙。(应去掉“它是” 十一、出现了文言词语、书面语，可能是重复 1．在交通干线上设卡收费的方案必须经地方人大常委会讨论通过，并公诸于社会。(“诸”即“之于”，“于”与它重复) 2．雅典奥运会开幕式精彩绝伦，可以堪称一流，受到世界舆论的普遍赞誉。(“堪”即“可以”，“可以”与它重复) 3．听了他对事实真相的陈述，我在心里由衷地感谢他。(“由衷”即有“在心里”的意思，重复) 4．《语文大辞典》编委会，为了使辞典有较高的质量，在躬耕修典三个春秋的编纂过程中，着重控制了关键程序。(“躬耕修典”即“编纂”，重复) 注：类似的错误用法还有“过早夭折”、“过分溺爱”、“卫冕桂冠”、“令寒舍蓬荜生辉”等。 十二、出现了“的”字的短语，可能是语意不明、搭配不当(偷换主语)、语序不当 1．天渐渐地黑了下来，外面又刮了风，街上的行人也渐渐稀少了，修伞的心里非常着急。(语意不明，“修伞的”可能是“修伞的顾客”也可能是“修伞的师傅”) 2．2003年8月3日晚，在北京天坛举行了第29届奥运会会徽发布仪式，当晚祈年殿的灯火辉煌，更显得雄伟壮丽。(搭配不当，误用“的”字，偷换主语，造成“灯火”与“雄伟壮丽”不搭配，应删去“的”字) 3．湖南省历史博物馆近日展出了数以万计的八千年前新出土的栽培稻。(语序不当，应将“祈出土的”调至“八千年前”) 十三、出现了两面性的词语，可能是前后肯否不一、不合逻辑 1．电子工业能否迅速发展，并广泛渗透到各行各业中去，关键在于要加速训练并造就一批专门技术人才。(“能否”是两面性的词语，与后面不一致) 2．我怀着恐惧的心情，担心灾难会不会降落到姑妈头上。(“担心”“不会”，不合逻辑) 十四、出现了“避免”、“防止”、“以防”、“以免”、“切忌”、“禁止”等词语，可能是不合逻辑(表意相反) 1．为了防止这类交通事故不再发生，我们加强了交通安全的教育和管理。(“防止”与“不再发生”不合情理，应去掉“不”) 2．睡眠三忌：一忌睡前不可恼怒，二忌睡前不可饱食，三忌卧处不可当风。(“忌”或“不可”去其一) 十五、出现了“前去”、“新生”、“保管”、“没有”、“走”、“和”等多义词或多义短语，可能是语意不明 1．县里的通知说，让赵乡长本月15目前去汇报。(是“15日之前去”还是“15 日这一天去”，意思不明) 2．在喧天的锣鼓声中，这所有名的老校终于迎来了自己的新生。(是“新同学”还是“新生命”，意思不明) 3．此次选举村民委员会主任，他们谁也没有干涉王尔德的权利。(“没有”兼有副词和动词的性质，造成语意不明) 4．独联体国家的人民看不上2002届世界杯足球赛。(是“看不到”还是“瞧不起”， 意思不明) 5．他背着总经理和副总经理偷偷地把这笔钱分别存入了两家银行。(“和”有介词和连词的性质，造成语意不明) 6．教育部就普通高等学校招生全国统一考试范围发出通知，指出物理学科初中教学内容部分不作要求。(是“整个初中教学内容部分”还是“其中的一部分”，含混不清) 十六、出现了使、让、令、把、被等词，可能是主语残缺、主客体颠倒、语序不当 1．经过老主任再三解释，才使他怒气逐渐平息，最后脸上勉强露出一丝笑容。(主语残缺，使动词的主语是“老主任”，应去掉“经过”，或者去掉“使”，将“才”调至“他”后) 2．今年年初美英两国曾集结了令人威慑的军事力量，使海湾地区一度战云密布。(主客体颠倒，“威慑”本身有“吓唬”别人的意思，再用“令”字造成了主客体颠倒，应改成“震慑”) 3．为了争取高速度，我们必须狠抓科学技术的现代化，使它走在生产建设的前边，把国民经济用先进科学技术搞上去。(语序不当，应为“用科学技术”“把国民经济”“搞上去”) 4．与作家不同的是，摄影家们把自己对山川、草木、城市、乡野的感受没有倾注于笔下，而是直接聚焦于镜头。(语序不当，应将“没有”调至“把”之前) 5．我们伟大的祖国再也不是一个四分五裂的、任意被人蹂躏和掠夺的国家了。(语序不当，应将“任意”调至“被人”后) 余数问题感觉比较重要的几条性质 第一次发帖~~希望对大家有点用~也请大家多多关照^(00)^ 一.a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 1.号码分别是101，126，173，193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么打球最多的运动员打了多少盘？ 解：101除3余2，126除3余0，173除3余2，193除 3余1     101：2+0，2+2，2+1分别除3余数是2+1+0=3（盘）   126：0+2，0+2，0+1，分别除3余数是2+2+1=5（盘）   173：2+2，2+0，2+1，分别除3余数是1+2+0=3（盘）   193：1+2，1+0，1+2，分别除3余数是0+1+0=1（盘） 2.有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。 　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。 　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。 二.a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。(感觉这个在求尾数之类的问题当中用的比较多..)   1. 算式7+7×7+……+7×7×……×7（1990个7）计算结果的末两位数字是多少？ 解：1个7是7，2个7相乘末两位是49，3个7相乘末两位是43，4个7相乘末两位是01，5、6、7、8个7相乘两位又是07，49，43，01。把4个加数分成1组，末两位的和是7+49+43+1=100，末两位位是0。 1990/4余2，所以和的末两位是7+49=56。 2.甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？ 分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。 （11×25）÷36=7……23， 　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。 九、出现了疑问旬、否定词，可能是肯否不当 1．雷锋精神当然要赋予它新的内涵，但谁又能否认现在就不需要学习雷锋了呢?(疑问句再加双重否定，变成了三重否定，不合逻辑) 2．近几年来，王芳几乎无时无刻不忘搜集、整理民歌，积累了大量的资料。(“无时无刻不”相当于“每时每刻都”，此处与“忘”用，与后“积累了大量的资料”矛盾) 十、出现了固定结构、下定义，可能是结构混乱 1．《消费者权益保护法》深受广大消费者所欢迎，因为它强化了人们的自我保护意识，使消费者的权益得到最大限度的保护。(有“为……所”和“被……所”的结构，没有“受……所”的结构，要将“所”字去掉) 2．到目前为止，人还不能完全控制自然灾害，农业收成的好坏，在很大程度上还是由于自然条件的好坏决定的。(应为“由……决定的”) 3．它是把事件的结局先写出来，然后再按时间顺序叙述事件发生、发展经过的写法叫倒叙。(应去掉“它是” 十一、出现了文言词语、书面语，可能是重复 1．在交通干线上设卡收费的方案必须经地方人大常委会讨论通过，并公诸于社会。(“诸”即“之于”，“于”与它重复) 2．雅典奥运会开幕式精彩绝伦，可以堪称一流，受到世界舆论的普遍赞誉。(“堪”即“可以”，“可以”与它重复) 3．听了他对事实真相的陈述，我在心里由衷地感谢他。(“由衷”即有“在心里”的意思，重复) 4．《语文大辞典》编委会，为了使辞典有较高的质量，在躬耕修典三个春秋的编纂过程中，着重控制了关键程序。(“躬耕修典”即“编纂”，重复) 注：类似的错误用法还有“过早夭折”、“过分溺爱”、“卫冕桂冠”、“令寒舍蓬荜生辉”等。 十二、出现了“的”字的短语，可能是语意不明、搭配不当(偷换主语)、语序不当 1．天渐渐地黑了下来，外面又刮了风，街上的行人也渐渐稀少了，修伞的心里非常着急。(语意不明，“修伞的”可能是“修伞的顾客”也可能是“修伞的师傅”) 2．2003年8月3日晚，在北京天坛举行了第29届奥运会会徽发布仪式，当晚祈年殿的灯火辉煌，更显得雄伟壮丽。(搭配不当，误用“的”字，偷换主语，造成“灯火”与“雄伟壮丽”不搭配，应删去“的”字) 3．湖南省历史博物馆近日展出了数以万计的八千年前新出土的栽培稻。(语序不当，应将“祈出土的”调至“八千年前”) 十三、出现了两面性的词语，可能是前后肯否不一、不合逻辑 1．电子工业能否迅速发展，并广泛渗透到各行各业中去，关键在于要加速训练并造就一批专门技术人才。(“能否”是两面性的词语，与后面不一致) 2．我怀着恐惧的心情，担心灾难会不会降落到姑妈头上。(“担心”“不会”，不合逻辑) 十四、出现了“避免”、“防止”、“以防”、“以免”、“切忌”、“禁止”等词语，可能是不合逻辑(表意相反) 1．为了防止这类交通事故不再发生，我们加强了交通安全的教育和管理。(“防止”与“不再发生”不合情理，应去掉“不”) 2．睡眠三忌：一忌睡前不可恼怒，二忌睡前不可饱食，三忌卧处不可当风。(“忌”或“不可”去其一) 十五、出现了“前去”、“新生”、“保管”、“没有”、“走”、“和”等多义词或多义短语，可能是语意不明 1．县里的通知说，让赵乡长本月15目前去汇报。(是“15日之前去”还是“15 日这一天去”，意思不明) 2．在喧天的锣鼓声中，这所有名的老校终于迎来了自己的新生。(是“新同学”还是“新生命”，意思不明) 3．此次选举村民委员会主任，他们谁也没有干涉王尔德的权利。(“没有”兼有副词和动词的性质，造成语意不明) 4．独联体国家的人民看不上2002届世界杯足球赛。(是“看不到”还是“瞧不起”， 意思不明) 5．他背着总经理和副总经理偷偷地把这笔钱分别存入了两家银行。(“和”有介词和连词的性质，造成语意不明) 6．教育部就普通高等学校招生全国统一考试范围发出通知，指出物理学科初中教学内容部分不作要求。(是“整个初中教学内容部分”还是“其中的一部分”，含混不清) 十六、出现了使、让、令、把、被等词，可能是主语残缺、主客体颠倒、语序不当 1．经过老主任再三解释，才使他怒气逐渐平息，最后脸上勉强露出一丝笑容。(主语残缺，使动词的主语是“老主任”，应去掉“经过”，或者去掉“使”，将“才”调至“他”后) 2．今年年初美英两国曾集结了令人威慑的军事力量，使海湾地区一度战云密布。(主客体颠倒，“威慑”本身有“吓唬”别人的意思，再用“令”字造成了主客体颠倒，应改成“震慑”) 3．为了争取高速度，我们必须狠抓科学技术的现代化，使它走在生产建设的前边，把国民经济用先进科学技术搞上去。(语序不当，应为“用科学技术”“把国民经济”“搞上去”) 4．与作家不同的是，摄影家们把自己对山川、草木、城市、乡野的感受没有倾注于笔下，而是直接聚焦于镜头。(语序不当，应将“没有”调至“把”之前) 5．我们伟大的祖国再也不是一个四分五裂的、任意被人蹂躏和掠夺的国家了。(语序不当，应将“任意”调至“被人”后) 余数问题感觉比较重要的几条性质 第一次发帖~~希望对大家有点用~也请大家多多关照^(00)^ 一.a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 1.号码分别是101，126，173，193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数。那么打球最多的运动员打了多少盘？ 解：101除3余2，126除3余0，173除3余2，193除 3余1     101：2+0，2+2，2+1分别除3余数是2+1+0=3（盘）   126：0+2，0+2，0+1，分别除3余数是2+2+1=5（盘）   173：2+2，2+0，2+1，分别除3余数是1+2+0=3（盘）   193：1+2，1+0，1+2，分别除3余数是0+1+0=1（盘） 2.有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 　分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。 　由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。 　因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。 二.a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。(感觉这个在求尾数之类的问题当中用的比较多..)   1. 算式7+7×7+……+7×7×……×7（1990个7）计算结果的末两位数字是多少？ 解：1个7是7，2个7相乘末两位是49，3个7相乘末两位是43，4个7相乘末两位是01，5、6、7、8个7相乘两位又是07，49，43，01。把4个加数分成1组，末两位的和是7+49+43+1=100，末两位位是0。 1990/4余2，所以和的末两位是7+49=56。 2.甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？ 分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。 （11×25）÷36=7……23， 　即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。