对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑

对新编高中数学中球面积、球体积公式处理的考虑 对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑 对新编高中数学教材中球面积、球体积公式处理方案的考虑 一、问题的提出 国家教委基础教育司编订的《全日制普通高级中学数学教学大纲》，在必修课的“直线、平面、简单几何体”部分的教学目标中，列入了“掌握球的概念，掌握球的性质，掌握球的面积、体积公式。” 球是一种基本旋转几何体，它的表面积和体积公式是有广泛应用的基本度量公式。在现行《高级中学课本立体几何》中，是如下处理这两个公式的。先讲球的表面积公式,后讲球体积公式。为讲前者，首先证明了预备定理“若球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则圆台的侧面积为”。然后根据预备定理，利用分割逼近的方法，给出球面积公式。为讲体积公式，需先引入祖氏原理“夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若截得的两个截面的面积总相等，则这两个几何体的体积相等。”然后应用祖氏原理，通过比较半球体与内挖圆锥的圆柱体，得出球体积公式。 多年的教学实践证明，在原教材总体系中上述处理方式是比较合理的。在逻辑上比较周密，教学上也比较自然顺畅。然而，原立体几何教材体系也存在过于强调内容与体系的完整严密，内容多且旧的问题。原《立体几何》总课时为57，其中“直线和平面”部分为28课时，“多面体和旋转体”部分为29课时。在几何体中包括了棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，球、球冠、球缺等。对立体几何安排如此多的教学内容和课时，在目前世界各国的中学数学教材中已不多见。为了精简传统内容，给增加新内容提供课时，以适应21世纪的需要，新大纲对立体几何的教学内容做了必要的调整，以“直线、平面、简单几何体”为标题安排立体几何内容，总课时为36。在保留原来的“直线和平面”部分主要内容的基础上，简化了几何体部分，重点讲棱柱、棱锥、正多面体和球。对于圆柱、圆锥、棱台和圆台，则不作为教学内容列出。从中学数学课程和教材的全局来看，以上调整是必要的，也是比较合理的。第一，这样做保留了三维空间几何的最基础的内容，即空间的线线、线面、面面关系。掌握了这些核心内容，就得到立体几何的精髓，就可以不太费力地进而学习立体几何的其他内容，同时也为学习其他涉及立体几何知识的相关分 支和学科储备了基本够用的基础知识。第二，这样做精简了基本几何体，分散处理基本几何体及有关计算问题，节约了课时，为高中数学增加概率与统计、微积分等近代数学知识让出了时间。 鉴于上述新大纲的调整，教材中关于球面积和体积公式的处理必须做相应变化。其理由主要有: 1(教学内容中删除圆台后，原教材中引出球面积公式的预备定理就不能出现了，因此球面积公式的处理不能沿用原教材方式。 2(教学目标中未包含体积公理及柱、锥体积的理论推导，而这些内容恰恰是原教材中球体积公式之前的内容。如果不讨论圆柱、圆锥的体积，而直接用它们来推出球的体积公式，就在逻辑上显得很不协调。人们不仅要问:为什么圆柱、圆锥的体积公式不作理论上的推导，而球的体积公式却要推导呢,