紧扣教材 拓展思维——例谈用cosθ=cosθ_1·cosθ_2求异面直线所成的角

紧扣教材 拓展思维——例谈用cosθ=cosθ_1·cosθ_2求异面直线所成的角 紧扣教材 拓展思维——例谈用cosθ=cos θ_1?cosθ_2求异面直线所成的角 ?:兰 (靖远县第二中学,甘肃靖远730600) [关键词]立体几何;异面直线;射影;所成角 [中图分类号]G633.63[文献标识码]C (文章编号]1004--0463(2010)05(A)一0048一Ol 异面直线所成角的计算是立体几何的重点内 容,也是高考的热点问.求异面直线所成的角一 般是先通过平移转化法,补形法作出或找出异面 直线所成的角,然后通过解三角形求出角的大小. 本文通过对课本中一个结论的探究,得出求异面 直线所成的角的一种方法,该方法简单易记且便 于使用. 人教版《数学》第二册(下)第43页有如 下结论:如图J,AD和平面所成的角是J,CD在平 面内,CO和AO在平面内的射影曰0所成的角是 ,设A0与CO所成的角LAOC=O,则有cosO=cosO? C0$02(证明略). 我们把该结论加以引申:如图J,若Cot,且 MN?CO,则MN与A0异面,则异面直线MN与A0所 成的角等于C0与A0所成的角0,MN与曰D所成的角 等于C0与曰0所成的角,只要知道了A0与所成 的角,就可以用公式cosO=cosOJ?cosO2求出异面直 线MN与Ao豫或讷氖0. 由此可得结论:如图2,已知口,c是两务异面直 线,直线c在平面内.0在平面内的射影是b,若n 与平面所成的角为0,b与C所成的角是,两条异 面直线n与C所成的角为,则C050=C0S01?COS以 使用该结论时,首先要确定,和,而它们都 与射影b有关,因此,如何恰当地选择平面,以便 于作出口在平面Ot内的射影b就成为本结论的关 键.下面就本结论的应用加以例析: 例l:(2007全国I,7)如图3,正四棱柱 ABCD-ACD,中,AAJ=2AB,则异面直线AIB与 AD,所成的角的余弦值为(). 1' A.}.CD. 33jj 解析:由已知,选平面ADD,'为公式中的, 显然A,,44,AD分别为公式中的n,b,C,可得 例2:(2005天津,理l2,文l3)如图4, 上平面ABC,且ACB=90.,PAC= BC=a,则异面直线PB与AC所成的角的正 切值等于. 解析:由已知,选平面ABC为公式中的,显 然船,AB,AC分别为公式中的n,b,C,可得cosO.r= c?删:,c.502:c.5LBAC:2_ ,由 c?O=cosO,.c?02:进一步求得tanO:,/.所 以船与AC所成角的正切值为,/2. 例3:(2O07上海,文7)如图5,在直三棱柱 ABC-AzB,C,中,ACB=90.,AA.r=2,AC=BC=I,则 异面直线A与AC所成角的大小是——(用反 三角函数示). 解析:由已知,选平面ABC为公式中的a,显 然AzB,AB,AC分别为公式中的n,b,c,可得 cO~=eosLA,BA:L ,c02=:cLBAC:一, 则c?O=cosO,.c?:.)_ ,所以AzB与AC所成 角为01"cc. 例4:(2004~津,6)如图6,在棱长为2的正方 体ABCD—』B,C,D,中,0是底面ABCD的中心,E, F分别是CC,,AD的中点,那么异面直线OE和 FD,所成角的余弦值等于(). A.—v76-且— V r 73- ,}n争 解析:由已知,选平面ADD』为公式中的, 设为DD的中点,显然OE,FM,FD分别为公式 中的.,b,c,可得c.sOz=,c.s02=三,则 c?O=cosO.cos02=,故选且 公式cosO=cosOJ?cos02巧妙地把求异面直线所 成角的问题转化成了求线面角及同一平面内的线 线角的问题,不必添加过多的辅助线,降低了问题 的难度,提高了运算的准确率. :: 圜!:墨塑Q:垒