2.2函数的性质与反函数

2.2函数的性质与反函数 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 【考点阐述】函数的单调性.奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 【考试要求】 （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． 【考题分类】 9在同一平面直角坐标系中，函数xye,的图象与的图象关于直线ygx,() 对称。而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则yfx,()ygx,()fm()1,,yx,y m的值是（ ） 11,,ee A． B． C． D．ee 1解：由题知则，选D。 gxxfxx()ln,()ln(),,,,ln(,m),,1m,,e x11若函数fxgxe()(),,分别是上的奇函数、偶函数，且满足，fxgx(),()R 则有（ ） A． B． ffg(2)(3)(0),,gff(0)(3)(2),, C． D．fgf(2)(0)(3),,gff(0)(2)(3),, ,x,x,xfxgxe()(),,,,,即fxgxe()()，,,解： 用代换x得： ，解得： x,xxxe,ee，efx,gx,,，而单调递增且大于等于0，，选D。 f(x)g(0),,1(),()22 26函数fxxx()(1)1(0),,，,的反函数为 ,1,1A．fxxx()11(1),,,,fxxx()11(1),，,, B． ,1,1fxxx()11(2),,,,fxxx()11(2),,,,C． D． ,1xfx()0,解：由原函数定义域是反函数的值域，，排除B,D两个；又原函数不能取 1，fx() 不能取1，故反函数定义域不包括1，选C .(直接求解也容易) 25函数fxxx()(1)1(1),,，,的反函数为（ ） ,1,1A．fxxx()11(1),，,,fxxx()11(1),,,, B． 14 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 ,1,1fxxx()11(1),，,?fxxx()11(1),,,?C． D． 【】B 22【解析】 ？xyxxyxy,,,,，？,,,,,,,,1(1)1,(1)1,11, ,1 所以反函数为fxxx()11(1),,,, 34函数f(x)=x,+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 3解：？fxxx()1sin,,，为奇函数 fa()2,fa()11,, 故即. fa()11,,,,fa()0,, 26已知fxfxxfxxf(4)(),(0,2)()2,(7)，,,,,当时，则在R上是奇函数，且 fx() A.-2 B.2 C.-98 D.98 2ffff(7)(3)(1)(1)212,,,,,,,，,,解：由题设 24函数f(x),x(x,0)的反函数是( ) ,1,1A.f(x),x(x,0)B.f(x),,x(x,0) ,12,1C.f(x),,,x(x,0)D.f(x),,x(x,0) 【答案】B 【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.(1,1),,(1,1),, 也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。 12设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足fx()fx() x，3,,fxf(),的所有x之和为（ ） ,,x，4,, A． B． C． D．,33,88 C x，3解析：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足时，即fxf()(),x，4x，32xx，,,3.时，得，此时又fx()是连续的偶函数，?xx，,,330x,12x，4 x，3x，32fxfx()(),,，?另一种情形是，即，得，xx，，,530fxf()(),,,,xx，4x，4 x，3?xx，,,5.x,，,,,3(5)8.?满足的所有之和为 fxf()(),34x，4 15 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 2若函数为偶函数，则a=（ ） yxxa,，,(1)() A． B． C． D．,2,112C 解析：本小题主要考查函数的奇偶性。 fa(1)2(1),,,ff(1)0(1),,,,？,a1. 6若函数yx,，ln1的图像与函数的图像关于直线对yfx,,(1)yx,称，则（ ） fx(), 21x,2x21x，22x，A． B． C． D．eeee 2121yx,,，，，，2x解析：B. 由 yxxefxefxe,，,,,,,ln1,1,，，，， 8若函数yx,，ln1的图象与函数的图象关于直线对称，yfx,()yx,则（ ） fx(), 22x,2x21x，2+2xA． B． C． D． eeee 解析:本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法。 2－－－－y1y12y22x2y1=lnx,x=e,x=e=e,y=e，，?－??改写为： A?答案为，1．函数的图像关于（ ） fxx(),,x A．轴对称 B． 直线对称 yy,,x C． 坐标原点对称 D． 直线对称 y,x C 1是奇函数，所以图象关于原点对称 fxx(),,x 函数奇偶性的性质 4设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1 解：xa、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关x，1xa,fxxxa()1,，，,,1 于a 对称，因此点、关于对称，所以（直接去绝对值化成分段函数x,1,1x,1a,3 求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） x，3,1已知函数fx()2,fx()，是fx()的反函数，若mn,16 ,,11+fmfn()()，（），则的值为（ ） mn，,R A． B．1 C．4 D．10 ,2 x，,31解：fxfxx()2()log3,,,,于是 2 16 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 ,,11,,,,,,log166462fmfnmnmn()()log3log3log6，,,，,,, 2222 11设定义在上的函数满足，若，fxfxfx,，,213f12,R，，，，，，，，则( ) f99,，， 132（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）132213 1313f3,,【解】：?且 ?，， fxfx,，,213f12,f12,，，，，，，，，，，f12，， 13131313f52,,？，，，， f7,,f92,,，，，，，，f3f52f5，，，，，， 2n为奇数,13, ?ff9921001,，,, ，? 故选C ，，，，fn21,,,，，132n为偶数,,2 【点评】：此题重点考察递推关系下的函数求值； 【突破】：此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解； 1,,２函数yxx,，,,ln21的反函数是( ) ，，,,2,, 1x2x （Ａ） （Ｂ） yexR,,,1yexR,,,1，，，，2 x1x2（Ｃ） （Ｄ）yexR,,,1yexR,,,1，，，，，，2 11yx【解】：?由反解得 ? 从而淘汰（Ｂ）、（Ｄ） yx,，ln21xe,,ye,,11，，，，，，22 11又?原函数定义域为 ?反函数值域为 故选C； x,,y,,22 【考点】：此题重点考察求反函数的方法，考察原函数与反函数的定义域与值域的互换性； 【突破】：反解得解析式，或利用原函数与反函数的定义域与值域的互换对选项进行淘汰； 1,17设函数，，，，fx,0,x,1，，fx的反函数为，则 1,x ,1(A) ，，fx在其定义域上是增函数且最大值为1 ,1(B) ，，fx在其定义域上是减函数且最小值为0 ,1(C) ，，fx在其定义域上是减函数且最大值为1 ,1，，fx(D) 在其定义域上是增函数且最小值为0 17 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 ,1yx,,，1fx()解析：为减函数，由复合函数单调性知为增函数，所以单调fx() ,1,1递增，排除B、C；又fx()fx()的值域为的定义域，所以最小值为0． fx() 3函数yxx,，1(04)??的反函数是（ ） 22A．yxx,,(1)(13)??yxx,,(1)(04)?? B． 22yxx,,1(13)??yxx,,1(04)??C． D． ,1211，,x[,3]yx,，1fxx()(1),,解析：当时，，解得，选A． 04,,x 6若定义在上的函数,f(x)满足：对任意x,x有f(x+x)=f(x)+f(x)+1,,121212则下列说法一定正确的是（ ） (A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 解：令，得，，所以 ff(0)2(0)1,，f(0)1,,fxxfxfx()()()11,,，,，,,x,0 ,即，所以 为奇函数,选C fxfx()()110，,，，,fxfx()1[()1]，,,,，fx()1， x2-1 6函数y=10(0＜x?1＝的反函数是（ ） 11(A) (B)(x＞) yxx,,，1lg()＞yx,，1lg1010 11(C) (＜x? (D) (＜x? 11yx,,，1lgyx,，1lg，，1010【答案】D 22x,1【解析】本小题主要考查反函数的求法。由xy,,1lg得：，yx,,,10(01) 21x,12即。又因为时，，从而有，即原函数,,,,110x,,101xy,，lg101,,x1011值域为。所以原函数的反函数为，故选D。 (,1]yxx,，,,lg1(1)1010 11设函数yfx,()()xR,的图象关于直线及直线对称，x,0x,1 32且fxx(),x,[0,1]时，，则f(),,（ ） 2 1139（A） （B） （C） （D） 244433111112解： fffff()()(1)(1)()(),,,，,,,,,2222224 ,113设函数yfx,()yfx,()yxfx,,()存在反函数,且函数的图象过点 18 武山县第三高级中学 wjhws3z@163.com 2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编 ,1yfxx,,()(1,2),则函数的图象一定过点 . 【答案】(-1,2) 【解析】由函数的图象过点(1,2)得: 即函数过点 yxfx,,()f(1)1,,,yfx,()(1,1),, ,1则其反函数过点yfxx,,()所以函数的图象一定过点 (1,1),,(1,2)., 3,ax14已知函数fxa()(1).,, a,1 （1）若a＞0,则的定义域是 ; fx() (2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . fx()0,1，, 3,，【答案】,,, , ,,,,01,3，，，,,,a,， 33,，【解析】（1）当a＞0时，由,,,x,得,所以的定义域是; fx()30,,ax,,aa,， (2) 当a＞1时，由题意知;当0