1菲尔兹奖

1菲尔兹奖 1.菲尔兹奖 1936年开始颁发的菲尔茨(Fields)奖——数学界的诺贝尔奖,是以已故的加拿大数学家、教育家J.C.菲尔兹(Fields)的姓氏命名的。 J.C.菲尔兹1863年5月14日生于加拿大渥大华。他11岁丧父，18岁丧母，家境不算太好。 J.C.菲尔兹17岁进人多伦多大学攻读数学，24岁时在美国的约翰?霍普金斯大学获博土学位，26任美国阿勒格尼大学教授。1892年他到巴黎、柏林学习和工作，1902年回国后执教于多伦多大学。J.C.菲尔兹于1907年当选为加拿大皇家学会会员。他还被选为英国皇家学会、苏联科学院等许多科学团体的成员。 J.C.菲尔兹强烈地主张数学发展应是国际性的，他对于数学国际交流的重要性，对于促进北美洲数学的发展都抱有独特的见解并满腔热情地作出了很大的贡献。为了使北美洲数学迅速发展并赶上欧洲，是他第一个在加拿大推进研究生教育，也是他全力筹备并主持了1924年在多伦多召开的国际数学家大会(这是在欧洲之外召开的第一次国际数学家大会)。正是这次大会使他过分劳累，从此健康状况再也没有好转，但这次大会对于促进北美的数学发展和数学家之间的国际交流，确实产生了深远的影响。当他得知这次大会的经费有结余时，他就萌发了把它作为基金设立一个国际数学奖的念头。他为此积极奔走于欧美各国谋求广泛支持，并打算于1932年在苏黎世召开的第九次国际数学家大会上亲自提出建议。但不幸的是未等到大会开幕他就去世了。 J.C. 菲尔兹在去世前立下了遗嘱，他把自己留下的遗产加到上述剩余经费中，由多伦多大学数学系转交给第九次国际数学家大会，大会立即接受了这一建议。 J.C. 菲尔兹本来要求奖金不要以个人、国家或机构来命名，而用“国际奖金”的名义。但是，参加国际数学家大会的数学家们为了赞许和缅怀J.C. 菲尔兹的远见卓识、组织才能和他为促进数学事业的国际交流所表现出的无私奉献的伟大精神，一致同意将该奖命名为菲尔兹奖。 第一次菲尔兹奖颁发于1936年，当时并没有在世界上引起多大注意。连许多数学专业的大学生也未必知道这个奖，科学杂志也不报道获奖者及其业绩。然而30年以后的情况就完全不一样了。每次国际数学家大会的召开，从国际上权威性的数学杂志到一般性的数学刊物，都争相报导获奖人物。菲尔兹奖的声誉不断提高，终于被人们确认:对于青年人来说，菲尔兹奖是国际上最高的数学奖。 菲尔兹奖的一个最大特点是奖励年轻人，只授予40岁以下的数学家(这一点在刚开始时似乎只是个不成文的，后来则正作出了明文规定)，即授予那些能对未来数学发展起到重大作用的人。 菲尔兹奖是一枚金质奖章和1500美元的奖金、奖章的正面是阿基米德的浮雕头像(见下图〕。就奖金数目来说与诺贝尔奖金相比可以说是微不足道，但为什么在人们的心目中，它的地位竟如此崇高呢,主要原因有三:第一，它是由数学界的国际权威学术团体——国际数学联合会主持，从全世界的第一流青年数学家中评定、遴选出来的;第二它是在每隔四年才召开一次的国际数学家大会上隆重颁发的，且每次获奖者仅2,4名(一般只有2名)，因此获奖的机会比诺贝尔奖还要少;第三，也是最根本的一条是由于得奖人的出色才干，赢得了国际社会的声誉。正如本世纪著名数学家C.H.H. 外尔，对1954年两位获奖者的评介:他们“所达到的高度是自己未曾想到的”，”“自己从未见过这样的明星在数学天空中灿烂升起”，“数学界为你们二位所做的工作感到骄傲”。从而证明了菲尔兹奖对青年数学家来说是世界上最高的国际数学奖。 菲尔兹奖的授奖仪式，都在每次国际数学家大会开幕式上隆重举行，先由执委会主席 (即评委会主席)宣布获奖名单，全场掌声雷动。接着由东道国的重要人物(当地市长、所在国科学院院长甚至国王、总统)或评委会主席或众望所归的著名数学家授予奖章和奖金。最后由一些权威数学家分别、逐一简要评介得奖人的主要数学成就。 从1936年开始到1999年获菲尔兹奖的已有43人，他们都是数学天空中升起的灿烂明星，是数学界的精英。 2.世界近代三大数学难题 费马最后定理、四色猜想、哥德巴赫猜想。 费马最后定理 被公认执世界报纸牛耳地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有 关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中，终於有人呼叫『 我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的 男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马(Pierre de Fermat)(费马 小传请参考附录)。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极 大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以「业余王子 」之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的 数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定 理(中国古代又称勾股弦定理):x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之 两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有 整数解(其实有很多)，例如:x=3、y=4、z=5;x=6、y=8、z=10;x=5、y=12、z=13… 等等。 费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如:方程式x3 +y3=z3就无法 找到整数解。 当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙 法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百 多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最后定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而后快。 十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和 三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫 斯克尔(P?Wolfskehl)在1908年提供十万马克，给能够证明费马最后定理是正确的人， 有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然 如此仍然吸引不少的「数学痴」。 二十世纪电脑发展以后，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的 ，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确 的(注286243-1为一天文数字，大约为25960位数)。虽然如此，数学家还没 有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解 决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯(Andrew Wiles)所解决。其实威利斯是 利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。 五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志 村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德 国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联 论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。这个结论 由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报 告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的 证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以 修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6 月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金 ，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。 要证明费马最后定理是正确的 (即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解) 只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数)，都没有整数解。 四色猜想 四色猜想即四色问题，其内容是:“任何一张地图只用四种 颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两 个区域得到相同的数字。” 四色猜想来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象:“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢,他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大 会战 。1878,1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题:先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色;随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。 哥德巴赫猜想 哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6,3，3，12,5，7等等。 1742年6月7日，哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3(3亿，都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目，猜想也应是对的，然而不能作出证明。欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为(99)。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年，数学家拉德马哈尔证明了(7，7);1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6，6);1938年，数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年，他又证明了(4，4);1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3，3);1958年，我国数学家王元证明了(2十3)。随后，我国年轻的数学家陈景润也投入到对哥德巴赫猜想的研究之中，经过10年的刻苦钻研，终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)。至此，哥德巴赫猜想只剩下最 后一步(1，1)了。陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视，从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”。1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠，“在距离哥德巴赫猜想(1，1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身 后，将会有更多的人去攀登这座高峰。 3.世界七大数学难题 世界七大数学难题即“千年大奖题”。 2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。具体是: NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨,米尔斯理论、纳卫尔,斯托可方程、BSD猜想。 其中有一个已被解决(庞加莱猜想),还剩六个.(庞加莱猜想，已被我国中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东破解了。) 整个计算机科学的大厦就建立在图灵机可计算理论和计算复杂性理论的基础上,一旦证明P=NP,将是计算机科学的一场决定性的突破,在软件实践中,将革命性的提高效率.从工业,农业,军事,医疗到生活,软件在它的各个应用域,都将是一个飞跃.P=NP吗? 这个问题是著名计算机科学家(1982年图灵奖得主)斯蒂文?考克(StephenCook )于1971年发现并提出的. “千年大奖问题”公布以来， 在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。不少国家的数学家正在组织联合攻关。 可以预期， “千年大奖问题” 将会改变新世纪数学发展的历史进程。 ,(多项式算法) 问题对,,(非多项式算法)问题 在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数,,，,,,，,,,可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因式分解为,,,,乘上,,,,，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文?考克于,,,,年陈述的。 霍奇(Hodge)猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。 庞加莱(Poincare)猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 6月3日，新华社报道，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东破解了国际数学界关注上百年的重大难题——庞加莱猜想。 黎曼(Riemann)假设 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7„„等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 杨,米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨,米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。 纳维叶,斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶,斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶,斯托克斯方程中的奥秘。 贝赫(Birch)和斯维讷通,戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通,戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。 中山大学教授破解世界级数学难题庞加莱猜想 国际数学界关注了上百年的重大难题——庞加莱猜想，终于被科学家完全破解。昨天，哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布:在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。 低调学者朱熹平: 1982年毕业于中山大学数学系，1984年在中山大学数学系取得硕士学位，1989年在中国科学院武汉数学物理研究所取得博士学位。现任中山大学数学系教授、博士生导师，数学与计算科学学院院长，兼任广东省数学学会理事长，中国科学院晨兴数学中心学术委员会委员。 4.希尔伯特的23个问题 希尔伯特(Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14)是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中，几乎走遍了现代数学所有前沿阵地，从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。希尔伯特是哥廷根数学学派的核心，他以其勤奋的工作和真诚的个人品质吸引了来自世界各地的年青学者，使哥廷根的传统在世界产生影响。希尔伯特去世时，德国《自然》杂志发表过这样的观点:现在世界上难得有一位数学家的工作不是以某种途径导源于希尔伯特的工作。他像是数学世界的亚历山大，在整 个数学版图上，留下了他那显赫的名字。 1900年，希尔伯特在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究，这就是著名的"希尔伯特23个问题"。 1975年，在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上，数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计，约有一半问题已经解决了，其余一半的大多数也都有重大进展。 1976年，在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中，有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决。由此可见，能解决希尔伯特问题，是当代数学家的无上光荣。 下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况: 1(连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。 2(算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。 3(两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。 4(两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即:是否每一个局部欧氏群都有一定是李群,中间经冯?诺伊曼(1933，对紧群情形)、邦德里雅金(1939，对交换群情形)、谢瓦荚(1941，对可解群情形)的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。 6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。 7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α?0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。 8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润(1966)，但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。 9(在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家高木贞治(1921)和德国数学家E.阿廷(1927)解决。 10(丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性,1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。 11(系数为任意代数数的二次型 H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这个问题上获得重要结果。 12(将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。 13(不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程 的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x (a，b，c)。这个函数能否用二元函数表示出来,苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形(1957)，维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形(1964)。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。 14(证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。 15(舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是:在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交,舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。 16(代数曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论 的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。 17(半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式,1927年阿廷证明这是对的。 18(用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫(1910)、荚因哈特(1928)作出部分解决。 19(正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。 20(一般边值问题 这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。 21(具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。 22(由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。 23(变分法的进一步发展出 这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。 这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展 5.王元院士谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作 日期:2007-03-31 来源:《科学时报》 作者:王丹红 这项伟大的成就里有中国数学家的贡献 新闻背景 2004年4月18日，两位年轻的数学家在预印本网站(arXiv:math)贴出一篇50页的论文，宣称证明了“存在任意长的素数等差数列”。一个月之后，2004年5月21日出版的美国《科 学》杂志发表文章指出:这是一项惊天成就。而且，尽管论文尚未正式发表，但当年出版的由俄罗斯数学家马宁等著的《现代数论导引》一书就引用了该论文的结果。 这是个“一步登天”的杰作 1939年，数学家证明:有无穷多个由3个素数组成的等差数列。时隔半个世纪后，2002年，这两位年轻的数学家提出更大胆的设想，希望证明由4个素数组成的等差数列也有无穷多。但证明的结果却出乎意料:由素数构成的等差数列可以任意长。有人认为这是一个“大跃进”;而有人认为:“这简直吓人～” 2005年1月，美国《发现》杂志将这项证明列入“2004年度最重要的100项科学发现之一”。 2006年8月28日，在西班牙首都马德里举行的国际数学家大会的开幕式上，国际数学联盟主席约翰?鲍尔宣布:陶哲轩和俄罗斯人佩雷尔曼、美国普林斯顿大学的欧克恩科夫、法国巴黎第十一大学的沃纳共同获得菲尔茨奖。顷刻间，他们成为数学界的英雄，而对陶哲轩来说，这一天则更为特殊，因为在这一天:美国加州大学洛杉矶分校发布新闻公告称:陶哲轩成为该校第一位获得有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖的数学家;澳大利亚数学科学研究院发布新闻公告称:陶哲轩是第一位荣获崇高的菲尔茨奖的澳大利亚人;在中文世界的媒体上，陶哲轩则被欢呼成继丘成桐之后第二位荣获菲尔茨奖的华裔数学家。 “陶哲轩是作出最伟大成就的最好数学家之一，这个全世界都知道;但很少有人知道，他的这项工作与中国有关，因为他的论文里引用了中国人在40年前的工作——陈氏定理，也就是陈景润„1，2?的论文。这表明中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系。” “今天不谈庞加莱猜想，我对庞加莱猜想的意见已经在6月8日新华社记者的访谈中讲得很清楚了，我的态度是:我是研究数论的，我不懂庞加莱猜想这个几何问题，我没有资格评价这个工作的好坏，国内也没有人能评价，但在感觉上，朱熹平和曹怀东两人做得很不错。今天我给你谈谈华裔数学家陶哲轩获得菲尔茨奖的其中一项重要工作，这个事情与中国有关系。” 2006年8月28日上午，在中国科学院数学与系统科学研究院办公室，王元在接受《科学时报》记者采访时如是说。 “陶哲轩究竟做了什么东西有这么伟大呢,我是这方面的专家，我给你讲讲，他和合作者证明了存在任意长的素数等差序列，而且有无穷多组。任意长素数等差序列的问题比庞加莱猜想要容易懂一些，但它的证明不见得比庞加莱猜想的证明更容易懂。陶哲轩和格林的工作是关于素数的，我这辈子是做素数，因此，我可以解释这个结果，公众是听得懂这个问题的，这也是数学的科普。” “大家都知道他得了菲尔茨奖 但极少有人知道他做了什么” 2004年4月18日，两位年轻的数学家在预印本网站贴出一篇50页的论文，宣称证明了“存在任意长的素数等差数列”;其中一位是加拿大不列颠哥伦比亚大学的本?格林(Ben Green)，另一位是美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)的陶哲轩。 早在1年多前，王元就注意到了陶哲轩和格林的这篇文章，“我根本想不到还能证明这个伟大的问题”，并不止一次地鼓励优秀的年轻人去读这篇文章。他说，“无论如何，陶今天已经是一个明星了，在国内大家都知道他获得了菲尔茨奖，但绝大多数人包括数论学家在内，极少有人知道他的这项伟大证明究竟讲的是什么，以及这项工作与中国数学家的关系。” 实际上，张贴这篇论文的网站与俄罗斯数学家佩雷尔曼在2002年11月公布解决庞加莱猜想的论文所张贴的网站是一样的;不同的是，佩雷尔曼的论文给出的是解决猜想的概要，而这篇论文给出的是猜想的完整证明;在2006年8月22日举行的国际数学家大会上，佩雷尔曼和陶哲轩同时获得菲尔茨奖，但佩雷尔曼拒绝了作1个小时大会报告的邀请，陶哲轩则作了1小时的大会报告，介绍任意长素数等差数列的证明。 王元说，这两项突破都是极端拔尖的，在菲尔茨奖的工作中也是非常突出的，今年的菲尔茨奖有4位获得者，佩雷尔曼和陶哲轩应邀作的是1小时大会报告，另外2位应邀作的是45分钟报告，由此可见差别。 但王元遗憾地对《科学时报》记者说:“在今年3月19日和3月24日纪念陈景润逝世十周年的两次会上，我都讲了陶哲轩在一篇很好的、可能得到菲尔茨奖的论文中引用了陈景润的论文，这是真凭实据，可以认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系，这是真正非常重要的，可是你们在报道中都没有提到我的这个讲话，你们没有意识到它的重要性。” 陶哲轩与格林的证明讲的是什么东西,为什么那么重要呢,它与中国数学家的关系是什么呢, “我不敢想象 天下会有这样伟大的成就” 什么是素数呢,素数是指自然数中大于1且只能被1和自身整除的数，整数可以由素数的乘积表示出来，而且这个表示是唯一的。王元说，素数是数学中最根本的东西，它好像是整数里的一个砖，因此，研究清楚素数的问题非常重要，但是要从素数中得出一条定理是极为困难的。 研究整数性质的数学被称为“数论”，素数性质的研究是数论中最古老与最基本的话题之一，早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德就已经证明素数有无穷多个。2004年，陶哲轩和格林证明了素数构成的等差数列可以任意长。王元说:“我不敢想象天下会有这样伟大的成就。”为什么这样讲呢, 等差数列是指一组数列中前后两个数之差为恒定常数的数列，由素数构成的等差数列就是素数等差数列，比如3、5、7，就是由3个素数构成的等差数列。王元说，早在很久以前，数学家们就认为由素数构成的等差数列可能任意长。1939年，荷兰数学家Johannes van der corput证明:有无穷多个由3个素数构成的等差数列。2002年，陶哲轩和格林想证明，由4个素数构成的等差数列的数目是不是也无穷多, “但是，他们得到的结果几乎是一个不能想象的伟大成就，他们证明由素数构成的等差数列可以任意长，而且有任意多组。4个数的素数等差数列可以有无穷多个的猜想都还没有证明，他们一下就跳这么远。”王元说，“为什么这样讲呢,目前在最先进的计算机上发现的最长的素数等差数列是23，也就是说是由23个素数构成一个等差数列，这已经是一个很惊人的数字了，你可以把这个数列在报纸上抄给公众看看，第一项是素数56211383760397，公差是44546738095860，所以，第23个素数是首项加公差乘以22，这已经是一个复杂得不得了的问题了，而他们推出的是这个数列的长度可以是任意的，也就是说，对于任意值K(比如1亿)，存在K个素数等差级数列，K是100亿也可以，这简直吓人。而且，即使目前最好的计算机也无法找出超过23个数的素数等差数列，因此这个猜想只能用数学方法来证明。” 陶哲轩是天才吗,王元说:“他当然是个天才，而且是难得的天才，是几十年都遇不到的一个大天才，他的论文中提到了中国人的工作，说明我们中国人在数学上并不是很差的。” “这篇论文引用了陈景润的工作” 陶哲轩和格林证明的是“存在任意长度的素数等差数列”，这项工作与陈景润的工作有什么关系呢, “他们的论文中引用了陈景润的文章，这表明认为中国与世界上最重要、最尖端的成就有关系是有真凭实据的。”王元说，“陶哲轩是做出最大成就的最好的数学家之一，这个全世界都知道，他的论文中引用了陈景润40年前所做的工作。陈景润伟大在什么地方呢,这么伟大的工作都引用了他的文章，怎么不重要,这可比徐迟的《哥德巴赫猜想》不知要重要多少倍。” 他讲述了陈景润的工作与陶哲轩工作间的关系。 1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫致信瑞士数学家欧拉，提出两个猜想:(1)任何一个大于2的偶数都是两个素数之和(表为1，1);(2)任何大于5的奇数都是3个素数之和。同年6月30日，欧拉回信表示相信哥德巴赫猜想是对的，但他不能加以证明，容易证明(2)是(1)的推论，所以(1)是最基本的。 哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却实在不易，成为数学中一个著名的难题。在1900年的国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特将哥德巴赫猜想看成是以往遗留的最重要的问题之一，并介绍给20世纪的数学家解决;在1921年的一个国际数学大会上，英国数学家哈代认为，猜想(1)的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。 从18世纪开始，数学家们前赴后继，努力用多种方法推进这项工作。在多位数学家成就的基础上经过多年潜心研究后，1966年5月，我国数学家陈景润在《科学通报》上发布了“1，2”证明的摘要，这篇论文的完整证明发表在1973年的第二期《中国科学》上，在国际数学界引起轰动，并将之命名为“陈氏定理”。王元说:“这是迄今为止世界上关于哥德巴赫猜想(1)最好的成果，无人超越。” 陶哲轩和格林在2004年的论文中引用了“陈氏定理”。中科院晨兴数学中心的田野教授告诉王元:“最近陶哲轩到加拿大蒙特利尔大学作演讲，我去听了，他在黑板上写下了陈景润的两个定理，一个是1，2的定理，另一个是孪生素数对应于1，2的定理。”王元认为，由此可见陶哲轩对陈景润的尊重。 “在陈景润证明„1，2?之后40年，他的工作还与世界上最伟大、最顶尖的工作联系在一起，这就是他工作重要性的一个最好证明。” “我希望 中国的青年人能够向他学习” 王元今年76岁，陶哲轩31岁，两人至今没有会过面。但王元在一年多前读到陶哲轩的这篇素数论文后，认为非常重要，“到处向数论学家推荐，也不止一次鼓励优秀的年轻人去读这篇论文”。 他说，“现在，我们准备在晨兴数学中心搞一个研究班，专门读他的论文，晨兴数学中心近十年来一直将数论作为首要支持项目，丘成桐、杨乐、张寿武等始终支持，对这个项目更多次热情地表示支持。这样我们就可以跟踪世界上最前沿的东西，假如我身体好的话，我会亲自参加，我会给大家作一个公共报告，讲这个猜想是怎么回事，与过去猜想有什么关系，也就是说它的来龙去脉。” 陶哲轩工作的重要性在什么地方呢,王元说:“你不能问这样的工作有什么重要性，就像不能讲庞加莱猜想和哥德巴赫猜想有什么重要性一样，这些猜想最重要的地方是它们带动或由此创造了很多数学的方法和思想，因为证明这些猜想需要用新工具或新方法。我之所以还没有搞清楚陶哲轩这个证明的详细情况，不清楚它的整个结构，就是因为它用的不是过去的老方法，我们现在要当学生来学习他的东西。假如我们连他们的东西都学不会，也弄不清所以然的话，那么我们这里就够不上是一个很好的数论组。”“已经有年轻人经过一年多努力，基本上弄清楚了陶哲轩和格林的论文的细节。” “陶哲轩的工作最重要的地方是用了新方法，佩雷尔曼工作的重要性也在于他用了新方法。我现在动员大家来学陶哲轩的东西，学习要靠年轻人，我希望中国的青年人能够向他学习。” 谈到对学习数学的青年学生的期望，王元说:“在中国现阶段，最要紧的是大家要将名利思想看得淡泊一点，要诚信，不能有丝毫的作假，尤其不能自己欺骗自己，个人的品质是最重要的。” 6.你知道他们“说”的什么吗, Fermat说:"我猜." Euler说:"我证." Wiles说:"我终于证出来了!" Taylor说:"我展." Fourier说:"我也展." Laplace说:"我的展开式最复杂." Peano说:"我有余项." Cauchy说:"我也有余项." Lagrange说:"我的余项最精美." Cramer说:"我法则." L'hospital说:"我也法则." Cauchy说:"我准则." 文正英说:"我正则." D'Alembert说:"我的判别法强." Raabe说:"我的判别法更强!" Gauss说:"我的判别法超强～" Зорич(Zorich)说:"我能断定没有判别法最强." Dirichlet说:"处处不连续." Riemann说:"几乎处处连续." Van der Waerden说:"几乎处处连续却处处不可微." Cantor说:"单调不减，处处连续且导数几乎处处为0." Peano说:"方块儿!" Pythagoras说:"世界万物皆有理数." Hippas说:"根号2呢," Gauss说:"a+bi很复杂(complex)" Hamilton说:"a+bi+cj+dk浪费了我30年的时光!" Galois说:"不能再扩张啦!" Jordan说:"Jordan矩阵." Jacobi说:"Jacobian矩阵." Sylvester说:"Sylvester矩阵." Hesse说:"Hesse矩阵." Smith说:"lambda矩阵." Schwarz说: "我不会洗袜子." Kummer说:"我很郁闷～" Hadamard说:"我其实和阿诗玛没什么关系." Newton和Leibniz说: "我们的公式是微积分的基本定理." Bolzano和Weierstrass说: "极限点引理才是分析的基本基础." Dedekind说: "没有我的实数构造理论,这些都做不了." Archimedes说: "我的原理对此也有巨大的贡献!" Cantor说: "以上这些东西都是建立在我的集合论之上." Russel说: "按康托尔的说法, 理发师的头发谁理?" Zermelo和Fraenkel说:"如此便需要我们的8条公理系统." Hilbert说: "可以建立这样一套理论,是任何一切命题都不能被证明也不能被否定." Choen说: "中间势是否存在谁能告诉我," 维特怒道: "不要吵啦! 不然把你们统统消去!" 7.世界上最迷人的数学难题 随着我国数学科研事业在近几年一直持续迅猛发展～数学爱好者规模日益壮大。都说明数学正在越来越受到人们的关注～这是一个非常可喜的现象。之所以称之为“迷人”～是因为无数数学家看见她们比看见漂亮美眉还痴迷～就想练武之人见到了武功秘籍。 世界最迷人的数学难题评选调查采用的是国际通行的联机调查方式。在问卷中“最世界最迷人的数学难题”一栏～网民可填写一到五个最世界最迷人的数学难题～重复填写同一数学难题只作一个计算～而且根据排名得票分一、二、三等。 答卷的统计～采用经专家论证的统计程序计算。统计程序的执行～通过相应的技术保证使任何人都不可能修改统计结果。 对于非正常答卷的对结果的影响～由于我们在事先已经考虑到问题的艰巨性～因此我们采取了现场面视和统计中的排除技术方法～极好的保证了答卷的合法性。 现场面视的方法是用户在拿到我们的答卷时～必须同时做出我们提供的数学题目一道～同时把用户和他做出的题目用数码相机合影留念。这样～我们很好的防止了那些不具备数学头脑人的投票。 本次调查共回收问卷363538份～经过处理后得到有效答卷202432份,由最后数码相机的照片数得到,。 此次评选的三等奖获得者三名～她们分别是: “几何尺规作图问题”,鼓掌,得票数:38005 获奖理由:这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规～而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 1.化圆为方,求作一正方形使其面积等於一已知圆, 2.三等分任意角, 3.倍立方,求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 4.做正十七边形。 用直尺圆规经有限步骤可解决的。第四个问题是高斯用代数的方法解决的～他也视此为生平得意之作～还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上～但後来他的墓碑上并没有刻上十七边形～而是十七角星～因为负责刻碑的雕刻家认为～正十七边形和圆太像了～大家一定分辨不出来。 “蜂窝猜想”,鼓掌,得票数:45005 获奖理由:四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为蜂窝猜想,但这一猜想一直没有人能证明。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。 “孪生素数猜想”,鼓掌,得票数:57751 获奖理由:1849年～波林那克提出孪生素生猜想 ,the conjecture of twin primes,～即猜测存在无穷多对孪生素数。孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ～5和7～11和13～„～10016957和10016959等等都是孪生素数。1966年～中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果:存在无穷多个素数p～使p+2是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决～但一般人都认为是正确的。 此次评选的二等奖获得者二名～她们分别是: “费马最後定理”,鼓掌,得票数:60352 获奖理由:在三百六十多年前的某一天～费马突然心血来潮在书页的空白处～写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程 式 xn +yn = zn 的正整数解的问题～当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理,中国古代又称勾股弦定理,。 费马声称当n>2时～就找不到满足 xn +yn = zn 的整数解～例如:方程式 x3 +y3 = z3 就无法找到整数解。 始作俑者的费马也因此留下了千古的难题～三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患～极欲解之而後快。 不过这个三百多年的数学悬案终於解决了～这个数学难题是由英国的数学家威利斯,Andrew Wiles,所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。 “四色猜想”,鼓掌,得票数:63987 得奖理由:1852年～毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时～发现了一种有趣的现象:“看来～每幅地图都可以用四种颜色着色～使得有共同边界的国家着上不同的颜色。” 1872年～英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题～于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。 1976年～美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上～用了1200个小时～作了100亿判断～终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明～轰动了世界。 此次评选的一等奖获得者一名～她是: “哥德巴赫猜想”