分层地基上矩形刚性基础的基底反力、沉降和倾斜计算

分层地基上矩形刚性基础的基底反力、沉降和倾斜计算 分层地基上矩形刚性基础的基底反力、沉降 和倾斜计算 第29卷第1期 2008年3月 力学季刊 CHINESEQUARTERLYOFMECHANICS Vo1.29No.1 March2008 分层地基上矩形刚性基础的基底反力,沉降和倾斜计算 艾智勇,吴超 (同济大学地下建筑与工程系,岩土及地下工程教育部重点实验室上海200092) 摘要:从直角坐标系下三维弹性力学控制方程出发,通过关于x,Y的二维Fourier变换得到关于z的一阶常微 分方程组,运用Cayley—Hamilton定理得到了单层地基的传递矩阵;然后根据边界条件和层间接触条件,并利用 传递矩阵法,得到了分层地基在表面受矩形均布荷载时地基表面的位移解;在此基础上对分层地基上矩形刚性 基础的基底反力,沉降和倾斜进行了分析和计算.编制了相应的程序,并将数值计算结果进行了比较和分析 结果表明:土的成层性对基底反力没有影响,但对中心沉降和倾斜影 响较大;矩形刚性基础受偏心荷载时,靠近 荷载作用一侧的基底反力和沉降均较大. 关键词:传递矩阵;分层地基;矩形刚性基础;基底反力;沉降;倾斜 中图分类号:TU433文献标识码A文章编 号:0254—0053(2008)01—113—7 CalculationofReactionForcesofBase.SettlementandlnoIination ofRectangularRigidPlateonMulti—LayeredSoils .4/Zhi—yong.【,Chao (DepartmentofGcotechnicalEngineering,KeyLaboratoryofGeotechnicalandUnderground EngineeringofMinistryofEducation,Ton~iUniversity,Shanghai200092,China) Abstract:Startingfromthegoverningequationsofthreedimensionalelasticity,andtakingFouriertrans— formwithrespecttoxandY.thefirstorderordinarydifferentialequationsintermofZwereobtained. ThetransfermatrixofsinglelayersoilwasobtainedbyemployingCayley—H amiltontheorem.Thetransfer matrixmethodwasappliedtoobtainthesurfacedisplacementsolutionsofmultilayeredelasticsoilssubjec— tedtorectangularuniformloadonthesurfacebytheuseoftheboundaryconditi onsandthecontinuity conditionsbetweenlayers.Thenthereactionforcesofthebase,settlementandinclinationoftherigid rectangularplatewhichisrestingonthemulti—layeredsoilswereanalyzedan dcalculated.Thenumerical analysiswascarriedoutandcomparedwithexistingsolutionbyusingthecorrespondingprogrambasedon thetheory.Theresultshowsthatthecharacteristicoflayeredsoilhavelittleeffectonreactionforcesbut havebigeffectoncentersettlementandinclintion;whentherectangularrigidplateissubjectedtoanec— centriclcad.thereactionforcesofthebaseandthesettlementiSlargerclosetothelcadside. Keywords:transfermatrix;multi—layeredsoils;rigidrectangularplate;reac tionforcesofbase;settle— ment;inciination 在实际工程中,对基础的计算,人们比较关心基础所受的地基反力,沉 降以及倾斜.测量数据表明,有 些建筑物的基础刚度很大,如高层建筑厚筏基础,箱型基础等,其本身 的弯曲变形远小于地基的变形,且大 部分纵向相对弯曲已在早期施工阶段完成,故可视这类基础为绝对 刚性基础.GorbunovPossadov等人 收稿日期:2007-06.11 基金项目:国家自然科学基金资助项目(No.50578121) 作者简介:艾智勇(1966.),男,江西人,博士,副教授.研究方向:岩土及地下工程.E-mail:zhiyongai@mail.tongii.edu.cn 力学季刊第29卷 (1940,1961)[2-3]采用双重幂级数法求出了各向同性弹性半无限体上的矩形刚性板在中心集中荷载和纯 弯矩作用下的解.Brow(1972)E4-1曾用双调和方程的数值积分导出了位于各向同性弹性半空间上矩形刚 性板的解,探讨了各种长宽比下刚性板的承载情况,Poulos和Davis(1974)[5]对其结果进行了概括.袁 聚云等(2005)[6]分析了中心荷载下对称刚性板下地基的沉降和反力.事实上,土体往往是成层分布的, 而并非均匀的弹性半无限体,而且基础所受的荷载也不一定是对称中心荷载.本文研究分层地基上矩形 刚性基础受任意荷载时的基底反力,沉降和倾斜.为此,本文在直角坐标系下,运用传递矩阵法得到了分 层地基表面受矩形均布荷载时地基表面的位移解;同时将矩形刚性基础基底划分成若干个大小相等的矩 形小网格,用矩形均布荷载表示网格的基底反力,利用分层地基的基本解求出每个分块的柔度系数,组成 柔度矩阵;然后根据基础与地基的接触条件和基础的静力平衡条件, 求出分层地基上矩形刚性基础的基底 反力,沉降和倾斜;最后将数值计算结果进行了比较和分析.本文方法 简单易懂,易于编程,精度较高,可 方便地应用于工程实际. 1单层地基的传递矩阵 从弹性力学的几何方程,忽略体力时的平衡微分方程,物理方程等出 发,可得到,,:,,r, r这六个量关于的偏微分方程组 d dz 0 0 0 0 a1,,一 u a,,1一 u 0 0 一 v3一 1Y0002G11 一va一va(一v) 一一 G茅一G1+~3200一v33x2U—一uu— 一 G1+v32一 G32一 ...一 000一3一 0 (1) 式中:,,:分别为,Y,方向的位移,r,r为剪应力,or:为方向的法向应力,G,v 分别为剪切 模量和泊松比. 为了解方程组(1),两边分别进行双重Fourier变换,并令 (,?,:,,,:):』竺』竺(iu,iu?,:,ir,ir,:)e”dxdy(2a) (,,:,r:,r,:)=』竺..』=(一—iu—,一.,.:,一?:,一??z,:)e?dd(2b) 这时得到一个常微分方程组,写成矩阵形式如下 [(,,)]=A(,)(,,)(3) 式中(,,)=[,一U,一U,,,:] A(,): 0 O 0 O 0 1 G 0 0 一一 000一_c一uuu_== 2000 +G,000 000一e一e0 ::”rr ,?:肛 r 1一G0 ee 第l期艾智勇,等:分层地基上矩形刚性基础的基底反力,沉降和倾斜 计算115 由常微分方程理论,方程(3)的解可表示为 (,,)=(,,)(,,0) 式中(,,)=exp(zA(,)).根据Cayley.hamilton定理 exp(zA(,))=a0j+a1A+a2A.+a3A.+a4A+a5A 其中a.,a1,a2,a3,a,a5分别为与有关的系数,j是6x6的单位矩阵. 由det(AI—A)=0,得(.一一).=0 令.:+ 所以矩阵A的特征值为:1,2,3=,.=一,于是可得以下式子 B屯=a0+a1+a2.+a 3 .+a4+a5 B=a1+2a2+3a3.+4a4.+5a5 .B=2a2+6a3手+12a4+20a5. B一=a0,a1+a2.一a 3 .+a 4一a5 一 B一:一a1+2a2一3a3.+4a4.一55 .B一=2a2—6a3+12a4.一20a5. (4) (5) (6) (7) 由式(7)可求出待定系数a0,a1,a2,a3,a4,a5;之后将a0,a1,a2,a3,a4,a5代入式(5)便可 得到传递矩阵(,,),传递矩阵的每项元素均为关于,和的函数,详见附录. 2多层地基的传递矩阵解 如图1,层地基表面上作用矩形均布荷载q(一axa,一bY b),边界条件(基底按固定边界处理)为 :0时,:i:0,.:(8a) 7r,, =H时,U:U=U.=0(8b) 假定层与层之间完全接触,那么在弹性模量不同的两层土的分界面上其 层间接触条件为 Illl. 巨,?,l/.?,,Il /I I , y_?lJ? „: 图1多层地基 Fig.1Multi-layeredsoils U(,yn;)=U(,Y,H>,U(,Y,H)=U(,Y,H),U:(,Y,H):.(,Y,H)?,n, r.(,Y,H)=r(,Y,H),r班(,Y,H)=r(,Y,H),d:(,Y,H)=d.(,Y,H), 式中:U(,Y,H)表示第层上表面的水平位移,U(,Y,H)表示第i层下表面的水平位移,其余类 同. 对层间接触条件进行Fourier变换,把单层地基初始函数的表达式(4)应用于多层地基中的每一层, 于是从底层开始逐层递推可得 虿(,,H)=Ef]6x6(,,0)(10) 式中[,]=(,,?H)(,,?H一)…(,,?H).由边界条件,式(10)可写为 0 0 0 (,,H) i班(,,H) .(,,H) 从而可求得表面的位移分量 = [厂]ee — u(,,0 一 u(,,0) 一 u.(,,0) 0 0 qsin(,a)sin(,b) 7l”2,, (11) 力学季刊第29卷 对式(12)进行 3矩形刚性基础的计算 受矩形均布荷载时地基表面的位移解 由于矩形刚性基础受力后基底仍保持一个平面,因此可以把基底平 面在轴和轴方向平均分成竹 个矩形小网格;每个网格的基底反力可近似地用一个作用在网格区 域内的矩形均布荷载代替;利用前面推 导的矩形均布荷载作用下分层地基表面的位移解,计算每个矩形网 格在荷载下的变形,从而得到地基的柔度矩阵. 地基的变形和基底反力的关系为 {S)=[If]{R)(13) 式中{S)={S.,S,…,S)为地基每个网格中心的变形列向量; [{j]为地基的柔度矩阵,If表示J网格在单位均布荷载作用下 引起i网格中心的沉降;{R)={R.,R,…,R)为每个网格的基 底反力列向量. 对于矩形刚性基础,任一网格中点处的竖向位移?为 l2 6l , ,l 图2矩形刚性基础基底网格的划分 Fig.2Rigidrectangularplatemesh cIJcIJo+0f+0Y(i=1,2,…,)(14) 式中?o为基础底面坐标原点O处的竖向位移;0,0分别为基础绕轴和轴的转角(即为基础的整体 倾斜,以图2所示方向为正);,;为基底任一矩形网格中心的坐标. 假定地基与基础紧贴,则地基变形{S)和基础沉降{?)相等,即 {?)=[]{R)(15) 再根据矩形刚性基础的静力平衡条件可得 f(Rl+R2+…+R)F=P (1Rl+2R2+…+R)F=M(16) 【(Y1R1+2R2+…+YR)F=M 式中F为矩形网格的面积,P为作用在基础上的外荷载合力,M,M分 别为基础上的外荷载对轴和 轴的力矩(以使产生图2所示的转角为正方向.) 将式(14),(15),(16)合并在一起,并用矩阵形式表示 R1 R2 ? ? t R 0? 0 ClJ0 0 0 0 M?F M7F P7F (17) 式(17)可简写为 {隧00:P}3x}l[y].J\{).J\{J… 由式(18)可得{R)=[y底反力,沉降和倾斜计算 轴的转角0和0;再利用式(14)可以很方便地求出各网格中心基础板的沉降{}. 4算例的比较与分析 根据上述理论,本文编制了相应的程序,并将数值计 算结果进行了比较和分析. 4.1弹性半无限体上的矩形刚性基础 假设矩形刚性基础的长宽分别为2a=lOre,2b= lOre,基础中心上作用竖向集中荷载P(P=10000kN). 土的弹性模量E=20000kpa,泊松比v=0.3.计算时将矩 形划分为10×10个大小相等的网格. 图3弹性半无限体上矩形刚性基础基底反力 Fig.3Reactionforcesofthebaseofrigidrectangular plateonelastichalf-space 表1矩形刚性基础中心沉降 Tab.1Centersettlementofrigidrectangularplate 弹性半无限体上受竖向中心集中荷载的矩形刚性基础,其基底反力计算结果见图3,基础中心沉降见 表1,并将结果与GorbunovPossadov等人的解[1]进行了比较.由图3可知,本文基底反力的计算结果与 GorbunovPossadov等人的解总体趋势一致,且吻合较好;即反力呈边缘比中心大,角点比边缘大的分布, 由表1可知,基础中心的沉降也吻合得较好.由于受中心对称的荷载,故没有整体倾斜. 4.2均匀地基上的矩形刚性基础 假设地基为有限厚度的均匀地基,计算时考虑了三种情况,弹性模量依次为:E,2E,4E(E取 20000kpa),泊松比均为v=0.3,土层厚度均为h=70m.计算时取矩形的长宽分别为2a=10m,2b= 5m,并将矩形划分为10×10个大小相等的网格;作用在矩形刚性基础的集中荷载P=5000kN,偏心距e =1.0m,e=0.5m.本例中基底反力只比较了边缘线和中心线,具体见图4.基础中心沉降和倾斜的计 算结果见表2.由图4和表2可知,三种不同情况下均匀地基上的矩形刚性基础的基底反力完全一样,验 证了式(19)的正确性,但沉降和倾斜有较大的差别;弹性模量越大,沉降和倾斜越小,且沉降和倾斜与弹性 模量成反比例关系.同时,在荷载P作用一侧,基底反力较大,并仍有边缘大,中心小的规律;而且荷载作 用点附近处的基础沉降也较大. 表2均匀地基上的矩形刚性基础中心沉降和倾斜计算结果 Tab.2Resultsofcentersettlementandinclinationofrigidrectangularplateon homogeneoussoil 4.3三层地基上的矩形刚性基础 本例中,矩形刚性基础的大小,网格划分,以及作用的荷载大小与4.2完全相同.计算中考虑四种情 况,情况一:弹性模量依次为E,2E,4E;情况二:弹性模量依次为4E,2E,E;情况三:弹性模量依次为 2E,E,4E;情况四:弹性模量依次为E,E,E;三层地基的厚度依次为h,2h,4h(h=10m).计算时E= 20000kpa,泊松比均为v=0.3. 力学季刊第29卷 图4均匀地基上的矩形刚性基础基底反力 Fig.4Reactionforcesofthebaseofrigidrectangular plateonhomogeneoussoil —?一情况一 ,P . —?一情况二4 --- /k--情况三边缘线 . —.x一情况四3 囊_--必——i.一坟 __R_?__—, —.—.—— 图5三层地基上的矩形刚性基础基底反力 Fig.5Reactionforcesofthebaseofrigidrectangular plateonthree-layeredsoil 表3三层地基上矩形刚性基础中心沉降和倾斜的计算结果 Tab.3Resultsofcentersettlementandinclinationofrigidrectangularplateont hree-layeredsoils 边缘线和中心线的基底反力见图5,基础中心沉降和倾斜的计算结果见表3.由图5和表3可知,四 种不同情况下三层地基本上的矩形刚性基础的基底反力一致,这进一步说明基底反力与土的分层性无关; 但四种情况下的沉降和倾斜计算结果差别较大,这说明土的分层性对沉降和倾斜有较大的影响;仔细比较 表2和表3可以发现,沉降和倾斜计算结果与第一层土的参数关系最大,即第一层土的弹性模量越大,沉 降和倾斜越小;第二,三层土的参数对沉降和倾斜计算结果也有一定的影响,当第一层土的模量相同时,第 二层土的模量越大,沉降和倾斜越小;第三层土有类似的规律.与此同时,在荷载P作用一侧,基底反力 较大,并仍有边缘大,中心小的规律,而且在荷载作用点附近的基础沉降也较大. 5结论 本文从直角坐标系下三维弹性力学控制方程出发,运用传递矩阵法得到了分层地基表面受矩形均布 荷载时地基表面的位移解;在此基础上对分层地基上受任意竖向荷载作用矩形刚性基础的基底反力,沉降 和倾斜进行了分析和计算.计算和分析结果表明: (1)对于弹性半无限体上的矩形刚性板问题,本文与已有的级数解析解进行了分析对比,结果吻合得 很好,即中心受荷时基底反力呈边缘比中心大,角点比边缘大的分布,从而验证了本文理论及数值方法的 正确性和可行性. (2)土的分层性对基底反力没有影响,但对沉降和倾斜影响较大;沉降和倾斜计算结果与第一层土的 参数关系最大,即第一层土的弹性模量越大,沉降和倾斜越小;第二,三以及后面各层土的参数对沉降和倾 斜计算结果也有一定的影响,当第一层土的模量相同时,第二层土的模量越大,沉降和倾斜越小,第三层及 后面各层土有类似的规律. (3)矩形刚性基础受偏心荷载时,靠近荷载作用一侧的基底反力和沉降均较大,即基础出现不均匀沉 降,这对建筑物是有害的;故在进行刚性基础设计时,应尽量使上部结构传来的荷载作用在基础的形心,以 减少倾斜并使基础沉降均匀分布. (4)对矩形刚性基础的计算,用矩形均布荷载表示矩形网格的基底反 力是比较合理的;而且该法简单 易懂,易于编程,精度较高,可方便地应用于工程实际. 第1期艾智勇,等:分层地基上矩形刚性基础的基底反力,沉降和倾斜 计算ll9 参考 r1] [23 [33 [43 [53 [63 [73 [83 文献: MilovicD.StressesandDisplacementsforShallowFoundations[M].Elsevie r,Amsmrdam.TheNetherlands.1992,499—514, GorbunovPossadovMI.Analysisofbeamsandplatesonanelastichalfspace[ J].PriklMatMekh,1940,4:60—80. GorbunovPossadovMISerebrjanyiRV,Designofstructuresonelasticfound ations[J].Proc5thIntConfSoilMechFound.Eng.1961. 643—648. 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