3.2.2空间向量与垂直关系

第二课时　空间向量与垂直关系 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量解决线面垂直关系的判断及证明． 问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？ 提示：垂直． 问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？ 提示：垂直． 证明垂直关系的向量方法 线线垂直 线面垂直 面面垂直 证明两直线的方向向量垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量 证明两个平面的法向量垂直 用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键． 证明线线垂直 [例1]　在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. [思路点拨]　→→→ 示出向量与→·＝0→ [精解详析]　以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x， 则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． ∴＝(－x，a，－a)， ＝(a，x－a，－a)． ∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a) ＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. [一点通]　利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量． 1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝(  ) A．1          　    B．－2 C．－3                      D．3 解析：l1⊥l2⇔a⊥b， ∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3. ：D 2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点． 证明：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1. 证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1，0,0)，C(0,1,0)，E(，，0)，B1(1,1,1)． (1) ＝(－1，－1,1)， ＝(－1，1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥，∴BD1⊥AC. (2) ＝(－1，－1,1)，＝(，，1)， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 证明线面垂直 [例2]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点． 求证：EF⊥平面B1AC. [思路点拨]　思路一： →→ 思路二：→证明∥n→ [精解详析]　法一：设＝a，＝c，＝b， 则＝＋＝(＋) ＝(＋)＝(＋－) ＝(－a＋b＋c)． ∵＝＋＝a＋b， ∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b) ＝(b2－a2＋c·a＋c·b) ＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0. ∴⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC. 法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)， B1(2,2,2)，E(2,2,1)， F(1,1,2)． ∴＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)， ＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)， ＝(0,2,0)－(2,0,0) ＝(－2,2,0)． ∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0， ·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴⊥，⊥， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面B1AC. 法三：同法二得＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)， ＝(－1，－1,1)． 设平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)， 则·n＝0，·n＝0， 即取x＝1，则y＝1，z＝－1， ∴n＝(1,1，－1)， ∴＝－n， ∴∥n， ∴EF⊥平面B1AC. [一点通]　法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的． 3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________. 解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v. ∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3. 答案：3 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：法一：设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0. 而＝＋＝＋(＋) ＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋＝(＋)＋ ＝(a＋b)－c， ∴·＝(c＋a＋b)·(b－a) ＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a) ＝c·b－c·a＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥，∴A1O⊥BD. 同理可证，A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O， ∴A1O⊥平面GBD. 法二：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 设正方体棱长为2， 则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)， B(2,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)． 而·＝1－1＋0＝0， ·＝－2＋0＋2＝0， ∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG. 而OB∩BG＝B， ∴OA1⊥平面GBD. 证明面面垂直 [例3]　三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. [思路点拨]　思路一：→ →→ 思路二：→→→ [精解详析]　法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)． ∵D为BC的中点， ∴D点坐标为(1,1,0)． ∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)． ∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， ·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0. ∴⊥    ，⊥.∴BC⊥AD，BC⊥AA1. 又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD. 又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 法二：同证法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 由得 令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1,0)． 由得 令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝(1,1，)． ∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. [一点通]　证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直． 5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 令PA＝PB＝PC＝3， 则A(3,0,0)，B(0,3,0)， C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)， G(1,1,0)，P(0,0,0)， 于是＝(3,0,0)， ＝(1,0,0)， 故＝3，∴PA∥FG. 而PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC. 又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC. 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)． ∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)． 设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)， 则有n⊥，n⊥. ∴令y＝1，得z＝－1，x＝0， 即n＝(0,1，－1)． 显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量． 又n·＝0，∴n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，∴平面EFG⊥平面PBC. 6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz. 设正方体棱长为1， 则E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，，0)，A(1,0,0)． ∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)， ＝(0，，－1)． 设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的一个法向量． 由⇒ 令y1＝1，得m＝(0,1，－2)． 又由⇒ 令z2＝1，得n＝(0,2,1)． ∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤 (1)基向量法 (2)坐标法 2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则(  ) A．α∥β      　            B．α⊥β C．α，β相交但不垂直              D．以上均不正确 解析：u·v＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u⊥v.∴α⊥β. 答案：B 2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为(  ) A．－4                          B．－6 C．－8                          D．8 解析：∵l∥α，平面α的法向量为(1，，2)， ∴(2，m,1)·(1，，2)＝0. ∴2＋m＋2＝0.∴m＝－8. 答案：C 3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于(  ) A．(，－，4)                  B．(，－，－3) C．(，－，4)                  D．(，，－3) 解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4. 又⊥平面ABC， ∴即解得 答案：B 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(  ) A．AC                      B．BD C．A1D                      D．AA1 解析：建立如图所示的坐标系． 设正方体棱长为1， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)， C(0,1,0)，D(0,0,0)， A1(1,0,1)，E(，，1)． ∴CE―→＝(，，1)－(0,1,0) ＝(，－，1)， ＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)， ＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)． ∵·＝(，－，1)·(－1，－1,0) ＝－＋＋0＝0， ∴⊥，∴CE⊥BD. 答案：B 5．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． 解析：由题意得⊥. ∴cos x·(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0. ∴2cos2x－cos x＝0.∴cos x＝0或cos x＝. 又x∈[0，π]，∴x＝或x＝. 答案：或 6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________． 解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确； 由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确； 由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确． 答案：①②③ 7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点． 求证：PC⊥平面BEF. 解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2， 四边形ABCD是矩形， ∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)， B(2,0,0)，C(2,2，0)， D(0,2，0)，P(0,0,2)． 又E，F分别是AD，PC的中点， ∴E(0，，0)，F(1，，1)． ∴ (2,2，－2)，＝(－1，，1)， ＝(1,0,1)， ∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0， ∴⊥，⊥， ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. 8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置． 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则 A(a,0,0)，B(a，a,0)， C(0，a,0)，A1(a,0，a)， C1(0，a，a)． 设E(0，a，e)(0≤e≤a)． (1) ＝(－a，a，e－a)， ＝(－a，－a,0)， ·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， ∴⊥，即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)， n2＝(x2，y2，z2)． ∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)， ∴ 取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)． 由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 文档已经阅读完毕，请返回上一页！